Темы задач к зачёту по курсу
«Моделирование гуманитарных процессов»
Уч. год,
Группы ФИЗБ-О-11/1, МТМ-О-11/1, РФ-О-11/1.
Общие замечания. 1. На зачёте проверяются умения и навыки решения задач. Ниже приведён список тем задач, которых мы касались на семинарах и лекциях. Там же приведены примерные задачи, которые могут быть предложены на зачёте. В общем-то, это задачи из семестровых домашних работ.
2. Сколько задач достанется студенту на зачёте? Первоначально 2 (две) задачи из разных разделов курса. Далее всё зависит от того, какой силы навык решения задач покажет студент. Если студент имеет сильную или слабую подготовку, тут всё достаточно ясно – он получает зачёт или незачёт. В спорной же ситуации студенту могут быть предложены дополнительные задачи и вопросы. Их решения склонят чашу весов в сторону той или иной отметки.
1. Модель Мальтуса.
2. Вывод уравнений логистической кривой как решение модели Ферхюльста.
3. Дальнейшее видоизменение коэффициента смертности в модели Ферхюльста.
4. Модели взаимодействия видов. Модель Лотки-Вольтерра «хищник-жертва».
5. Нахождение классической вероятности.
6. Применение формулы полной вероятности.
7. Применение формулы Байеса.
8. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратичного отклонения, асимметрии и эксцесса случайной величины. Распределения – равномерное (дискретное и непрерывное), биномиальное, показательное, нормальное (гауссовское).
9. Связь между центральными и начальными моментами.
10. Постановка задач линейного программирования.
11. Преобразование задач линейного программирования.
12. Графический метод решения задач линейного программирования.
13. Решение транспортной задачи (методы северо-западного угла, минимального элемента, потенциалов).
Примеры задач к зачёту по курсу
«Моделирование гуманитарных процессов»
1. Игра состоит в одновременном броске двух игральных костей и подсчёте суммарного количества чисел, выпадающих на верхних гранях. При броске идеальной кости числа от 1 до 6 выпадают равновероятно. При броске неидеальной кости числа 2 и 5 выпадают с вероятностью p 2= p 5=0,2. Возможны три варианта выбора костей: 1) обе идеальные; 2) идеальная и неидеальная; 3) обе неидеальные. При каком выборе костей выгоднее играть?
2. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью p имеет дефект. В цехе имеются три контролёра; изделие осматривается только одним контролёром, с одинаковой вероятностью первым, вторым или третьим. Вероятность обнаружения дефекта (если он имеется) для i -го контролёра равна pi (i =1, 2, 3). Если изделие не было забраковано в цехе, то оно попадёт в ОТК (отдел технического контроля) завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью p 0. Определить вероятности событий:
A – изделие будет забраковано;
B – изделие будет забраковано в цехе;
C – изделие будет забраковано в ОТК завода.
3. У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюёт с вероятностью 0,2; на втором месте – с вероятностью 0,6; на третьем – с вероятностью 0,7. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.
4. Выразить эксцесс случайной величины через её начальные моменты.
5. Решить задачу линейного программирования графически:
, 
, 
, 
.
6. Решить задачу линейного программирования графически:
, , 
, .
7. Решить задачу линейного программирования графически:
, 
, 
, 
.
8. Составить задачу линейного программирования в каноническом виде.
Для изготовления сплава из меди, олова и цинка в качестве сырья используют два сплава тех же металлов, отличающиеся составом и стоимостью (см. таблицу).
| Компоненты сплава | Содержание компонентов в % | |
| сплав № 1 | сплав № 2 | |
| Медь Олово Цинк | ||
| Стоимость 1 кг |
Получаемый сплав должен содержать не более 2 кг меди, не менее 3 кг олова, а содержание цинка может составлять от 7,2 до 12,8 кг. Определить количества xj, j =1,2, сплавов каждого вида, обеспечивающие получение нового сплава с минимальными затратами на сырьё.
9. Составить задачу линейного программирования в каноническом виде.
Для изготовления двух видов изделий A 1 и A 2 завод использует в качестве сырья алюминий и медь. На изготовлении изделий заняты токарные и фрезерные станки. Исходные данные задачи приведены в таблице. Определить план производства, при котором достигается максимальная прибыль.
| Виды ресурсов | Объём ресурсов | Нормы расхода на 1 изделие | |
| Изделие A 1 | Изделие A 2 | ||
| Алюминий (кг) Медь (кг) Токарные станки (станко-час) Фрезерные станки (станко-час) | |||
| Прибыль на 1 изделие (тыс. руб.) |
10. Решить транспортную задачу методом потенциалов. Опорный план составить методом минимального элемента. (В ячейках заданы тарифы перевозки.)
| Пункт отправления | Пункт назначения | Запасы | |||
| B1 | B2 | B3 | B4 | ||
| A1 A2 A3 | |||||
| Потребности |
11. Решить транспортную задачу методом потенциалов. Опорный план составить методом северо-западного угла. (В ячейках заданы тарифы перевозки.)
| Пункт отправления | Пункт назначения | Запасы | |||
| B1 | B2 | B3 | B4 | ||
| A1 A2 A3 | |||||
| Потребности |
Литература.
1. Арнольд В. И. «Жёсткие» и «мягкие» математические модели. – М.: МЦНМО, 2000. – 32 с.
2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. – М.: Академия, 2005. – 576 с.
3. Ризниченко Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. – 232 с.
4. Таха Х. А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2001. – 912 с.
5. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – Любое издание.
6. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. – М.: Мир; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 703 с.