Задания с решениями и критериями проверки

Математический марафон старшеклассников

Сентября 2017 г.

ПЛАНИМЕТРИЯ

1. (1 балл). Вокруг четырехугольника описана окружность с центром Чему равен

2. (2 балла). Может ли многоугольник иметь ровно а) 5 диагоналей? б)10 диагоналей? г) 35 диагоналей? Почему?

3. (2 балла) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его боковой стороне, равна 12, а высота, опущенная на основание треугольника, равна 18. Найти площадь треугольника.

4. (3 балла). В треугольнике ABC - медиана. Из точки проведена биссектриса, пересекающая медиану в точке Найти площадь AOM

5. (4 балла). В треугольнике со сторонами угол против стороны длиной равен

1) Докажите, что из отрезков можно построить треугольник.

2) Найдите один из углов этого треугольника

Квадратный трехчлен и теорема Виета

1. (1 балл) Какой из графиков иллюстрирует решение уравнения

2. (2 балла) Точка с координатами (-1;2) является вершиной параболы . Найти коэффициенты a и b.

3. (2 балла) Не решая уравнение , вычислите значение выражения

4. (3 балла) При каких значениях уравнение имеет более двух корней ?

5. (4 балла) При каких значениях параметра корни квадратного уравнения больше 1?

Тождественные преобразования

1. (1 балл) Вычислить

2. (1 балл) Сократите дробь

3. (2 балла) Задание а) необходимо выполнять тем, кто по программе изучал логарифмы, задание б) – тем, кто изучал производную. Баллы выставляются только за одно из заданий или за а) или за б).

а) Найдите значение выражения

б) Прямая является касательной к графику функции Найдите значение параметра , учитывая, что абсцисса точки касания больше нуля.

4. (2 балла) Зная, что найдите отношение неполного квадрата суммы чисел и к неполному квадрату их разности.

5. (3 балла) Докажите тождество:

(3 балла). Докажите, что если то или

Неравенства

1. (1 балл) Найти область определения функции

2. (1 балл) На рисунке изображен график функции (рис.1) укажите множество значений функции

Рис. 1

3. (2 балла) Укажите количество точек с целочисленной абсциссой, принадлежащих графику функции (рис.1) в диапазоне .

4. (2 балла) Оценивается лишь одна из двух задач. Задание а) тем, кто изучал производную, задание b) необходимо выполнять тем, кто по программе изучал логарифмы. Баллы выставляются только за одно из заданий: или только за а) или только за b).

a) Дан график функции y= f (x) (см. рис. 1) сравните значения производных этой функции в точках и . Ответ обоснуйте.

b) Найти область определения функции

5. (3 балла) Решить неравенство: .

6. (3 балла) Сколько натуральных значений параметра a меньших 100 дают ровно шесть целочисленных решений неравенства .

Текстовые задачи

Задача 1 (1 балл)

На рисунке жирными точками показана цена унции золота на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 11 по 27 июля 2000 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – цена унции золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период цена была не выше чем 282 долларов за унцию, но не ниже чем 278 долларов.

Задача 2 (2 балла)

Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах указывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного салона.

Фирма-производитель	Процент от выручки, поступающий в доход салона	Примечания
«Альфа»	7%	Изделия ценой до 20 000 руб.
«Альфа»	3,5%	Изделия ценой свыше 20 000 руб.
«Бета»	4%	Все изделия
«Омикрон»	6%	Все изделия

В прейскуранте приведены цены на четыре софы. Определите, продажа какой софы наиболее выгодна для салона. В ответе запишите, сколько рублей поступит в доход салона от продажи этой софы.

Фирма-производитель	Изделие	Цена
«Альфа»	Софа «Анна»	15 000 руб.
«Альфа»	Софа «Алефтина»	22 000 руб.
«Бета»	Софа «Аркадия»	19 000 руб.
«Омикрон»	Софа «Анастасия»	16 500 руб.

Задача 3 (2 балла)

Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 140 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 84 литра?

Задача 4 (3 балла)

Поезд, идущий с постоянной скоростью из пункта А в пункт В, был задержан у семафора на 8 минут. Расстояние от семафора до пункта В равно 40 км. При каких значениях первоначальной скорости поезд прибудет в пункт В не позже запланированного срока, если после задержки он увеличил скорость на 10 км/ч.

Задача 5 (4 балла)

В двух банках имеется раствор соли. Общий объем растворов 10 литров, а общее количество соли 80 граммов. В первую банку добавили 1 литр воды, а во вторую добавили 60 граммов соли. В результате концентрация раствора в первой банке составила 4 г/л, а во второй – 20 г/л. Сколько граммов соли было первоначально в первой банке?

Уравнения

Задание 1 (1 балл) Решить уравнение:

Задание 2 (2 балла) Решить уравнение:

Задание 3 (2 балла) Решить уравнение:

Задание 4 (3 балла) Решить систему уравнений:

Задание 5 (4 балла) При каких значениях параметра а, уравнение имеет ровно один корень?

Задания с решениями и критериями проверки

ПЛАНИМЕТРИЯ

1. Вокруг четырехугольника описана окружность с центром Чему равен

Ответ:

РЕШЕНИЕ

как вписанный угол измеряется половиной центрального угла , опирающегося на ту же дугу. Так как треугольник - равнобедренный, то

Ответ:

Баллы	Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом
	Получен верный ответ.
	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 балл.

 

2. Может ли многоугольник иметь ровно а) 5 диагоналей?; б)10 диагоналей? в) 35 диагоналей? Почему?

Ответ:a)Да. б)Нет. в) Да (десятиугольник).

Решение. В пятиугольнике 5 диагоналей. Из каждой вершины угольника выходит диагонали. Но каждая диагональ проходит через две вершины. И потому диагоналей

Баллы	Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом
	Приведена верная последовательность всех шагов решения.
	Угаданы все ответы.
	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок.

 

3. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его боковой стороне, равна 12, а высота, опущенная на основание треугольника, равна 18. Найти площадь треугольника.

Ответ: .

РЕШЕНИЕ

 

 

 

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей. Найдем площадь треугольника

Так как в точке пересечения медианы делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то Находим Следовательно площадь AOH равна

Поэтому площадь ABC равна 6

Баллы	Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом
	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Правильно выполнены все этапы доказательства. Получен верный ответ.
	Указано, что медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.
	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок.

4. В -медиана. Из точки проведена биссектриса, пересекающая медиану в точке Найти площадь AOM

Ответ:

Решение. Площадь треугольника найдём по формуле Герона Тогда площадь треугольника Найдём отношение площадей ABC и

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам, между которыми она идёт, поэтому

Баллы	Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом
	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ.
	Приведена верная последовательность всех шагов решения. В результате описки или ошибки возможен неверный ответ.
	Найдена площадь ABM
	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок.

5. В треугольнике со сторонами угол против стороны длиной равен

1) Докажите, что из отрезков можно построить треугольник.

2) Найдите один из углов этого треугольника.

Ответ: 2)

Решение 1) Заметим, что большая сторона исходного треугольника, так как лежит против тупого угла. То есть Так как в любом треугольнике сумма двух сторон больше третьей, то и, следовательно, наибольший из отрезков отрезок длины Для того, чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы сумма двух меньших была больше длины большего. То есть что справедливо в силу

2) По теореме косинусов из исходного треугольника В новом треугольнике

Баллы	Общие критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом
	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Верно обоснованы все моменты решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ.
	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допустимы 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате описки или ошибки возможен неверный ответ.
	Доказан пункт 1. Сделана попытка применения теоремы косинусов. Или пункт 1 не доказан, но правильно использован в дальнейшем.
	Доказан пункт 1.
	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.