Теорема 1. Вероятность появления события А, которое может произойти только совместно с одним из событий 
, образующих полную группу несовместных событий (гипотез), определяется по формуле
(3.1)
где 
.
Формула (3.1) носит название формулы полной вероятности.
Теорема 2. Пусть событие А может наступить при условии одного из несовместных событий , образующих полную группу, причем 
. Тогда вероятность гипотезы 
после того, как имело место событие А, определяется по формуле
(3.2)
Формула (3.2) носит название формулы Байеса.
Пример 3.1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а для второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.
Решение: Обозначим через
,
, 
.
; 
; 
.
По формуле полной вероятности
Пример 3.2. В первой коробке 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.
Решение: Обозначим через
, 
, 
; 
. Условные вероятности 
, 
. По формуле полной вероятности
Пример 3.3. Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
Решение: Обозначим через
, 
, 
. По формуле полной вероятности находим
По формуле Байеса находим искомую вероятность:
Задания:
3.1 Из полного набора костей домино наугад берутся две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.
3.2 Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,25; 0,5 и 0,25. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2 и 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.
3.3 Противник применяет самолеты 5 типов. Известно, что на данном участке фронта сосредоточено примерно равное число самолетов каждого типа. Вероятности сбить самолет соответственно равны для них 0,6; 0,3; 0,2; 0,1 и 0,1. Самолет противника сбит. Чему равна вероятность того, что это самолет I-го типа?
3.4 Имеются 3 партии по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15 и 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращается в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из 3-ей партии.
3.5 Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6; 0,5 и 0,4.
3.6 Имеются 5 урн. В двух урнах – по 2 белых и 1 черному шару, в одной – 10 черных и в двух – по 3 белых и 1 черному шару. Найти вероятность того, что извлеченный из наудачу взятой урны шар окажется белым.
3.7 На сборку поступают детали из трех автоматов. Первый автомат дает 0,3% брака, второй – 0,2%, третий – 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступает 1000 деталей, со 2-го – 2000, а с 3-го – 2500.
3.8 Имются 10 одинаковых урн, из которых в девяти находится по 2 черных и по 2 белых шара, а в одной – 5 белых и 1 черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность, что шар извлечен из урны, содержащей 5 белых шаров?
3.9 В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела – 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: выстрел произведен из винтовки с прицелом или без него?
3.10 Две из четырех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа 1, 2, 3 и 4 лампы соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3 и 0,4.
3.11 Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.
3.12 В тире имеются 5 ружей, вероятности попадания которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.
3.13 В партии 600 лампочек: 200 изготовлены на 1-м заводе, 250 – на 2-м, 150 – на 3-м. Вероятность того, что лампочка окажется стандартной для 1 завода равна 0,97, для 2-го – 0,91, для 3-го – 0,93. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампочка, оказавшаяся стандартной, изготовлена на 1-м заводе?
3.14 Вероятности попадания при каждом выстреле для 3-х стрелков равны соответственно 
, 
и 
. При залпе всех трех стрелков имелось два попадания. Определить вероятность того, что промахнулся третий стрелок.
3.15 В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
3.16 В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белыхшара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.
3.17 При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки в отношении 1:3:6. При попадании в танк крупный осколок пробивает броню с вероятностью 0,9, средний – 0,3, мелкий – 0,1. Какова вероятность того, что попавший в броню осколок пробьет ее?
3.18 В батарее из 10 орудий одно непристрелянное. Вероятность попадания из пристрелянного орудия равна 0,73, а из непристрелянного – 0,23. Произвели один выстрел и промахнулись. Найти вероятность того, что выстрел произведен из непристрелянного орудия.
3.19 Имеются три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 3 черных, во второй – 5 белых и 2 черных, в третьей – 2 белых и 5 черных шаров. Наугад выбирают одну из урн и вынимают из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым.
3.20 По линии связи передаются два сигнала А и В соответственно с вероятностями 0,84 и 0,16. Из-за помех 
сигналов А искажается и принимается как В-сигналы, а 
часть переданных В-сигналов принимается как А-сигналы. Известно, что принят сигнал А. Какова вероятность того, что он же и был передан?
3.21 Двадцать пять экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса, которые не повторяются. Студент может ответить только на 40 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.
3.22 Радиолампа, поставленная в телевизор, может принадлежать одной из трех партий с вероятностями 0,5; 0,25 и 0,25 соответственно. Вероятности того, что лампа проработает определенное количество часов, для этих партий равны соответственно 0,1; 0,2 и 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.
3.23 Имеются 3 урны с шарами. В первой урне 4 белых и 3 черных, во второй – 5 белых и 2 черных, в третьей – 2 белых и 5 черных шаров. Из наугад выбранной урны вынули белый шар. Найти вероятность того, что он вынут из 2-ой урны.
3.24 На сборку поступают детали с 3 автоматов. Первый дает 25%, второй – 30% и третий – 45% деталей данного типа, поступающих на сборку. Первый автомат выпускает 0,1% нестандартных деталей, второй – 0,2%, третий – 0,3%. Найти: а) вероятность поступления на сборку нестандартной детали; б) вероятность того, что оказавшаяся нестандартной деталь изготовлена первым автоматом.
3.25 В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без прицела – 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произвел один выстрел из наудачу взятой винтовки.
3.26 В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность попасть в квалификацию для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что выбранный наудачу спортсмен попадет в квалификацию.
3.27 В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором – 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика – стандартная.
3.28 В ящик, содержащий 3 одинаковые детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.
3.29 Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено из первой группы 4, из второй – 6, из третьей – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную университета, соответственна равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнований попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?
3.30 Вероятность удовлетворять стандарту для деталей некоторого производства равна 0,96. При проверке стандартные изделия признаются стандартными с вероятностью 0,98, а не удовлетворяющие стандарту признаются стандартными с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту.
Литература
1. Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Высшая математика: Теория вероятностей и математическая статистика. – Мн.: Вышэйшая школа, 1993.-269 с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977.-479 с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979.-400 с.
4. Свешников А.А. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. – М.: Наука, 1965.-632 с.
5. Круткович Г.И., Мордасова Г.М. и др. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики. – М.: Высшая школа, 1970.-512 с.
6. Бураковский В.В. Лабораторный практикум по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов математического и экономического факультета. – Гомель, ГГУ им. Ф.Скорины, 1993. - 42 с.