Задача о выборе оптимальных технологий
Продукция в цехе может производиться n различными способами Tj (n =3). Для производства продукции могут использоваться ресурсы: рабочая сила, сырьё (сталь, древесина, цветные металлы), электроэнергия.
Обозначения:
x j – время использования технологического способа Tj при производстве продукции (j =1,2,3);
b i – объем ресурса R i (i =1,2,3);
a ij – расход ресурса Ri за единицу времени по технологии Tj;
A – годовое плановое задание по выработке продукции (ден. ед.);
cj – производительность технологии Tj (в денежных единицах за единицу времени работы по данной технологии);
l j – затраты на изготовление продукции в единицу времени по технологии Tj (денежных единицах).
Налагаются ограничения по объемам b i ресурсов (вида £) и по плановому выпуску A продукции (вида ³).
Возможны три критерия f 1, f 2, f 3 оптимальности плана X =(x 1,…, xn) применения каждого технологического способа:
а) f 1 – наибольший объем выпускаемой продукции по всем технологиям (ден. ед.);
б) f 2 – наименьшие затраты на выполнение планового задания (ден. ед.);
в) f 3 – наибольшая конечная прибыль от выпуска продукции с учетом затрат на изготовление продукции (ден. ед.).
В таблице представлены объемы b i ресурсов R i, их расход aij в единицу времени для каждой технологии, плановое задание A, производительности c j технологий T j и затраты l j.
Задание
1. По данным своего варианта составить математические модели задачи по трем критериям оптимальности, сопровождая построение подробными пояснениями.
2. Дать математические постановки задач.
3. Привести полученные три математические модели к каноническому виду. Указать экономический смысл дополнительных (балансовых) переменных.
Задача №2. Графическое решение задачи линейного программирования
Условие задачи №2
Задача о выборе оптимальных технологий
Предприятие выпускает продукцию вида P 1 и P 2, на изготовление которой используется сырье S 1, S 2, S 3. Известны:
b i – запасы сырья; a ij – нормы расхода сырья S i (i =1,2,3) на производство единицы продукции (j =1,2); c j – себестоимость единицы продукции P j; p j – оптовая цена единицы P j.
Определить оптимальный план X =(x 1, x 2) производства продукции P 1 и P 2, при котором при имеющемся количестве сырья можно получить наибольшую прибыль.
Задание
1. Составить математическую модель задачи.
2. Решить задачу графическим методом.
3. Дать экономическое истолкование оптимальному решению и наибольшему значению целевой функции и выяснить, какие виды сырья израсходованы полностью.
4. Определить аналитически и графически, можно ли произвести 3 ед. продукции P 1 и 2 ед. продукции P 2.
Задача №3. Симплексный метод решения задачи линейного
программирования
Условие задачи №3
Задача о выборе оптимальных технологий
На предприятии выпускается n видов P j (j =1, 2,…, n). При ее изготовлении используются ресурсы R 1, R 2, R 3, размеры допустимых затрат ресурсов ограничены величинами b 1, b 2, b 3. Расход ресурса R i (i =1,2,3) на производство единицы продукции Pj равен a ij. Прибыль от реализации единицы продукции Pj равна cj ден. ед.
Необходимо найти оптимальный план выпуска продукции каждого вида с учетом имеющихся ограниченных ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальную прибыль.
Задание
1. Записать математическую модель задачи.
2. Привести модель к каноническому виду и заполнить симплексную таблицу.
3. Построить исходное опорное решение, проверить его на оптимальность и, последовательно улучшая с помощью симплексных преобразований, найти оптимальное решение X опт и f наиб (X опт).
4. Дать экономическое истолкование оптимального решения X опт и наибольшего значения целевой функции f наиб (X опт).
Задача №4. Двойственные задачи
Условие задачи №4
Для задачи о выборе оптимальных технологий (см. задачу №3) требуется:
1. Сформулировать в экономических терминах двойственную задачу.
2. Составить математическую модель двойственной задачи, указав смысл двойственных переменных системы ограничений и целевой функции.
3. Используя оптимальное решение X опт задачи №3 и соответствие между парами двойственных переменных прямой и двойственной задач, найти компоненты оптимального решения Y опт двойственной задачи и значение целевой функции T min в двойственной задаче.
4. Дать экономическое истолкование величине T min, значениям 
основных и дополнительных переменных в оптимальном решении Y опт двойственной задачи. Указать наиболее дефицитный и недефицитный (избыточный) ресурсы, если они имеются.
5. Пусть ресурсы взаимозаменяемы и из производства исключается D b 1=2 единицы ресурса R 1. Определить на сколько может уменьшиться максимальный доход (величина D1 fmax). Найти, сколько единиц ресурсов R 2 и R 3 нужно ввести дополнительно в производство, чтобы компенсировать возможный убыток.
Задача №5. Транспортная задача
Условие задачи №5
На заводах A 1, A 2, A 3 производится однородная продукция в количестве a 1, a 2, a 3 единиц. Себестоимость единицы продукции на заводе A i составляет ci ден. единиц.
Четырем потребителям B 1, B 2, B 3, B 4 требуется соответственно b 1, b 2, b 3, b 4 единиц готовой продукции. Расходы cij ден. ед. по перевозке единицы готовой продукции с завода A i потребителю B j заданы.
Необходимо найти план перевозок, минимизирующий общие затраты по изготовлению продукции на A 1, A 2, A 3 и ее доставке потребителям B 1, B 2, B 3, B 4.
Задание
1. Внести числовые данные транспортной задачи в распределительную таблицу и составить математическую модель.
2. Если транспортная задача открытого типа, то привести ее к закрытой. Построить исходные планы перевозок по методы "северо-западного угла" (X с-з) и по методу "минимального элемента" (X мэ). Вычислить значения общих затрат для построенных планов f (X с-з) и f (X мэ) и выявить, какой планов лучше.
3. Методом потенциалов проверить этот план X на оптимальность.
4. Последовательно улучшая план перевозок X с помощью циклов пересчета в распределительной таблице, найти оптимальный план перевозок X опт.
5. Определить по оптимальному плану перевозок X опт:
1) количество продукции, отправляемое из каждого завода A 1, A 2, A 3 каждому потребителю B 1, B 2, B 3, B 4;
2) наименьшие общие затраты на производство продукции и доставку ее потребителям;
3) заводы A i, в которых остается нераспределенная продукция, и указать ее объем;
4) Пункты потребления B j, которые недополучают продукцию, и указать ее количество.