Приближенные методы вычисления
Определенных интегралов
Методические указания и задания к расчетно-графической работе
для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения
Брянск 2012
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»
Кафедра математики
УТВЕРЖДЕНЫ
научно-методическим
советом академии
Протокол № ____
oт “____”___________2012 г.
Приближенные методы вычисления
Определенных интегралов
Методические указания и задания к расчетно-графической работе
для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения
Брянск 2012
Составители: Баранова И.М., зав. кафедрой математики БГИТА,
Гущин Г.В., доцент кафедры математики БГИТА,
Еловиков А.Б., доцент кафедры Высшей математики ЗФЭИ,
Часова Н.А., доцент кафедры математики БГИТА
Рецензент: Евтюхов К.Н. – к., ф.- м.н., профессор кафедры физики
Рассмотрены УМК МТФ
Протокол № от
Введение
При решении ряда физических и технических задач встречаются определенные интегралы, которые не могут быть вычислены в элементарных функциях. Кроме того, в некоторых важных задачах возникает необходимость вычисления определенных интегралов, подынтегральные функции которых не являются элементарными.
Наиболее употребляемыми приближенными методами вычисления определенных интегралов являются: метод прямоугольников, метод трапеций и метод парабол (Симпсона).
Основная идея этих методов заключается в замене подынтегральной функции 
функцией более простой природы – многочленом 
малой степени 
(0, 2, 3, …).
 |
Приближенные методы вычисления определенных интегралов
Метод прямоугольников
Разобьем отрезок 
на равных частей при помощи точек:
, 
, 
, 
.
Метод прямоугольников заключается в замене интеграла суммой:
.
Для приближенных практических расчетов применяется формулы:
, (1)
. (2)
Из рисунка ясно, что если – положительная и возрастающая функция, то формула (1) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула (2) – площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников.
Абсолютная погрешность приближенных равенств (1) и (2) оценивается с помощью следующей формулы: 
, где 
– наибольшее значение 
на отрезке .
Метод трапеций
Разобьем отрезок на равных частей при помощи точек:
, , , .
Метод трапеций заключается в замене интеграла суммой:
.
Для приближенных практических расчетов применяется формула:
. (3)
Абсолютная погрешность приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы 
, где 
.
Метод парабол (метод Симпсона)
а) Через любые три точки с координатами 
проходит только одна парабола 
.
б) Выразим площадь под параболой 
на отрезке 
через 
:
.
Учитывая значения 
и 
из пункта а) следует:
.
в) Разобьем отрезок на равных частей при помощи точек:
, , , .
Метод парабол заключается в замене интеграла суммой: 
. 
Для приближенных практических расчетов применяется формула:
. (4)
Абсолютная погрешность вычисления по формуле (4) оценивается соотношением 
, где 
.