Все оценки свободных ячеек неотрицательные, следовательно, найдено оптимальное решение.

Z_min = 2 * 193 + 6 * 168 + 2 * 169 + 12 * 89 + 10 * 19 + 12 * 168 + 0 * 368 + 13 * 368 + 0 * 276 + 0 * 644 = 9790

Z`max=9790

Zmin=Z`max=9790 – выполнена первая теорема двойственности.

 

 

Минимальные суммарные затраты по изготовлению и доставке продукции потребителям составят Zmin=9790 ден.ед. при условии что:

От первого завода везем 193 ед. второму потребителю;

От второго завода везем 168 ед. четвертому потребителю;

От третьего завода везем 169 ед. первому потребителю;

От четвертого завода везем 89 ед. первому, 19 ед. второму и 168 ед. четвертому потребителю;

С доп. пункта завода №1 ничего везем 368 ед. третьему потребителю;

С доп. пункта завода №2 ничего не везем;

 

Нераспределенная продукция окажется у дополнительного пункта завода №1 в объеме 276 ед. и у дополнительного пункта завода №2 в объеме 644 ед.

 

Задача 2.4

 

Xij-количество направленных студентов от i-ого студенческого отряда к j-ому полю.

Z- суммарное количество убранного картофеля со всех полей за рабочий день

Z”-суммарные издержки от убранного картофеля всех отрядов и со всех полей.

Ui-оценка i-ого отряда

Vj-оценка j-ого поля

Ai-количество студентов в i-ом отряде

Bj-потребность в рабочей силе в j-ом поле

рij- производительность труда i-ого отряда в j-ом поле на одного человека.

 

Матрица производительности труда, pij

 

Ai,Bj	B1	B2	B3	B4	В0
А1
А2
А3

 

 

Проверка на балансированность:

EAi=70+99+80=249 чел.

EBj=47+59+49+43=198 чел.

 

Задача не балансированна. Вводим фиктивное поле В0 с требуемой численностью 249-198=51 чел.

 

Математическая модель прямой задачи:

Z=3X₁₁+7X₁₂+2X₁₃+5X₁₄+2X₂₁+3X₂₂+4X₂₃+6X₂₄+6X₃₁+4X₃₂+3X₃₃+5X₃₄ -MAX

 

Система ограничений:

X₁₁+X₁₂+X₁₃+X₁₄=70 X₁₁+X₂₁+X₃₁=47

X₂₁+X₂₂+X₂₃+X₂₄=99 X₁₂+X₂₂+X₃₂=59

X₃₁+X₃₂+X₃₃+X₃₄=80 X₁₃+X₂₃+X₃₃=49

Xij=>0 X₁₄+X₂₄+X₃₄=43

Xij=>0

 

Математическая модель двойственной задачи:

Z’=70U₁+99U₂+80U₃+47V₁+59V₂+49V₃+43V₄ - MIN

Система ограничений:

Ui+Vj=>cij

Ui,Vj –произвольное значение

 

 

Первый начальный план по методу наибольшего элемента

 

 

ai bj						Ui
							11 -w		+w0	U1= -1
	-w	2						+w6			U2=0
	+w	6								-w	U3=4
Vj	V1= 2	V2=8	V3=4	V4=6	V5= -4	W=11

 

 

r=7 – число базисных клеток

m=3 – число строк

n=5 – число столбцов

[r=7] =[m+n-1=7] – план невырожден и задача имеет оптимальное решение. Это позволит найти потенциалы всех базисных клеток.

 

 

Метод потенциалов

Ui+Vj=>cij – критерий оптимальности плана

Для всех базисных клеток составим и решим систему уравнений: Ui+Vj=cij

U1+V2=7 U1= -1 V1=2

U1+V4=5 U2=0 V2=8

U2+V1=2 U3=4 V3=4

U2+V3=4 V4=6

U2+V4=6 V5= -4

U3+V1=6

U3+V5=0

Для всех свободных клеток проверим выполнение неравенства: Ui+Vj=>cij

U1+V1=1<3 не выполняется на 2

U1+V4=-5<0 не выполняется на 5

В клетку с₁₄ ставим +w

 

 

ai bj						Ui
										U1=4
	-W	2								+W	U2=0
	+W	6							-W		U3=4
Vj	V1= 2	V2=3	V3=4	V4=6	V5= -4	W=7

 

Для всех базисных клеток составим и решим систему уравнений: Ui+Vj=cij

U1+V2=7 U1=4 V1=2

U1+V5=0 U2=0 V2=3

U2+V1=2 U3=4 V3=4

U2+V3=4 V4=6

U2+V4=6 V5= -4

U3+V1=6

U3+V5=0

Для всех свободных клеток проверим выполнение неравенства: Ui+Vj=>cij

U2+V5=-4<0 не выполняется на 4

В клетку с₂₅ ставим +w

 

ai bj						Ui
										U1=0
											U2=0
											U3=0
Vj	V1= 6	V2=7	V3=4	V4=6	V5=0

 

Для всех базисных клеток составим и решим систему уравнений: Ui+Vj=cij

U1+V2=7 U1=0 V1=6

U1+V5=0 U2=0 V2=7

U2+V3=4 U3=0 V3=4

U2+V4=6 V4=6

U2+V5=0 V5= 0

U3+V1=6

U3+V5=0

Для всех свободных клеток проверим выполнение неравенства: Ui+Vj=>cij –для всех клеток выполняется. Третий план содержит оптимальное решение.

Zmax=59*7+49*4+43*6+47*6=1149

Zmin=47*6+59*7+49*4+43*6=1149

Максимальное суммарное количество убранного картофеля со всех полей за рабочий день составит 1149 центнер при условии что:

C первого отряда направляем 59 чел. на второе поле;

Со второго отряда направляем 49 чел. на третье и 43 чел. на четвертое поле;

С третьего отряда направляем 47 чел. на первое поле.

Нераспределенными по полям окажутся студенты первого отряда в количестве 11 чел., студенты второго отряда в количестве 7 чел. и студенты третьего отряда в количестве 33 чел.

 

Задача 3.1

 

 

Вид продукции	Себестоимость	Цена единицы продукции	Объем реализации при уровне спроса
В течение сезона	После уценки	Повышенном	Среднем	Пониженном
А1	0,1	2,7	1,5
А2	0,1	2,1	1,6
А3	0,6	2,5	1,3

 

 

Предприятие имеет три стратегии:

B1 –ожидается повышенный спрос;

B2 – ожидается средний спрос;

B3 – ожидается пониженный спрос.

Стратегии “природы” (сложившийся уровень спроса):

C1 – в действительности оказался повышенный спрос;

С2 – в действительности оказался средний спрос;

С3 – в действительности оказался пониженный спрос.

 

Вид продукции	Себестоимость	Цена единицы продукции	Прибыль за единицу
В течение сезона	После уценки	В течение сезона	После уценки
А1	0,1	2,7	1,5	2,6	1,4
А2	0,1	2,1	1,6		1,5
А3	0,6	2,5	1,3	1,9	0,7

 

 

Расчет прибыли при каждой комбинации стратегий:

(B1;C1): 16*2,6+15*2+14*1,9=41,6+30+26,6=98,2 ден.ед.

 

(B1;C2): 10*2,6+9*2+5*1,9+(16-10)*1,4+(15-9)*1,5+(14-5)*0,7=

=26+18+9,5+8,4+9+6,3=77,2 ден.ед.

(B1;C3):2*2,6+3*2+5*1,9+(16-2)*1,4+(15-3)*1,5+(14-5)*0,7=

=5,2+6+9,5+19,6+18+6,3=64,6 ден.ед.

(B2;C1): 10*2,6+9*2+5*1,9=53,5 ден.ед.

(B2;C2): 10*2,6+9*2+5*1,9=53,5ден.ед.

(B2;C3): 2*2,6+3*2+5*1,9+(10-2)*1,4+(9-3)*1,5+(5-5)*0,7=

=5,2+6+9,5+11,2+9+0=40,9 ден.ед.

(B3;C1): 2*2,6+3*2+5*1,9=20,7 ден.ед.

 

При (B3;C2) и (B3;C3) прибыль также составит 20,7 ден.ед.

 

Платежная матрица

 

 

bi cj	C1	C2	C3	min
B1	98,2	77,2	64,6	64,6
B2	53,5	53,5	40,9	40,9
B3	20,7	20,7	20,7	20,7
max	98,2	77,2	64,6

 

– нижняя цена игры

 

- верхняя цена игры

 

=max {64,6;40,9;20,7}=64,6

 

=min {98,2;77,2;64,6}=64,6

 

= =v=64,6 –седловая точка => Оптимальная стратегия игрока B является B1.

 

Критерий Байеса: q₁=0,25; q₂=0,4; q₃=0,35

B1=24,55+30,88+22,61=78,04

B2=13,375+21,4+14,315=49,09

B3=5,175+8,28+7,245=20,7

Max{78,04;49,09;20,7}=78,04– выбор стратегии B1.

 

 

Критерий Лапласа: q₁=q₂=q₃=q₄=1/3

 

A1=(98,2+77,2+64,6)/3=80

A2=(53,5+53,5+40,9)/3= 49,3

A3=(20,7+20,7+20,7)/3= 20,7

Max {80;49,3;20,7}=80- выбор стратегии B1

 

Критерий Гурвица: y=0,6 - параметр

 

	min	max
A1	64,6	98,2	0,6*64,6+0,4*98,2=78,04
A2	40,9	53,5	0,6*40,9+0,4*53,5=45,94
A3	20,7	20,7	0,6*20,7+0,4*20,7=20,7

 

Max {78,04;45,94;20,7}=78,04- выбор стратегии B1

 

Критерий Вальда совпадает с нижней ценой игры: a=maxmina_ij

 

=max {64,6;40,9;20,7}=64,6- выбор стратегии B1

 

 

Критерий Сэвиджа: составляем матрицу рисков. Для этого выбираем максимальный элемент в столбце и вычитаем из него остальные элементы столбца:

 

				Max
A1
A2	44,7	23,7	23,7	44,7
A3	77,5	56,5	43,9	77,5

 

Min {0;44,7;77,5}= 0 – выбор стратегии B1

 

Все указанные критерии указывают на принятие стратегии B1. Следовательно, руководству предприятия следует выпускать товар A₁ в объеме 16 ед., товар А₂ в объеме 15 ед. и товар А₃ в объеме 14 ед.

 

 

Задача 4.1

 

S0=100 ден.ед - первоначальные выделенные денежные средства для вложения в инвестиционные проекты
fi(x) - денежный прирост от i-ого проекта
zi(s) - максимальная прибыль на i-ом шаге в зависимости от выделенных средств
Номер шага соответствует номеру проекта
Математическая модель задачи:
где i=1;2;3;4.
Cистема ограничений:
x1+x2+x3+x4=100
x1,x2,x3,x4=>0
z-максимальная прибыль за все шаги     Схема решения: Принцип Беллмана   4 проекта Условная оптимизация денег всего S0=100     So____Iпр____S1____IIпр_____S2____IIIпр____S3____IVпр________S4 1шаг 2 шаг 3 шаг 4 шаг х1 х2 х3 х4 f(x1) f(x2) f(x3) f(x4)   z4=max{f(x4)} Безусловная z3=max{ f(x3)+z4} Оптимизация z2=max{ f(x2)+z3}   z1=max{ f(x1)+z2}

 

 

x	f1(x)	f2(x)	f3(x)	f4(x)

 

 

Шаг 4

 

S	x4	z4

 

 

Шаг 3

 

S	x3	s-x3	f3(x)	z4(S-x)	f3(x)+z4(S-x)	z3

 

 

Шаг 2

 

S	x2	s-x2	f2(x)	z3(S-x)	f2(x)+z3(S-x)	z2

 

Так как перед началом первого шага известно первоначальное выделение средств S₀=100 ден. ед., тогда

Шаг 1

S	x1	s-x1	f1(x)	z2(S-x)	f1(x)+z2(S-x)	z1

 

Максимальный суммарный прирост прибыли от проектов составит 15 ден. ед. при условии, что первому проекту ничего не выделяем, второму проекту выделяем 40 ден. ед., третьему проекту выделяем 20 ден. ед. и четвертому проекту выделяем 40 ден. ед.

 

Задача 4.2

 

Математическая модель:

 

Z=∑ f₁(x_i)+f₂(S_i-1-x_i) →max, где i=1..n

S_i=q₁(x_i)+q₂(S_i-1-x_i)-уравнение состояния

f (x_i) – прирост ден. средств от i-ого проекта

g (x_i) – отдача ден. средств от i-ого проекта

S₀ – выделенные денежные средства

 

Имеющиеся данные:

 

S₀=139 f₁(x)=0,8 f₂(x)=0,3

g₁(x)=0,8 g₂(x)=0,4

 

1 год:

 

	1 проект		2 проект	Сумма
	x1		109-x1
Прибыль	0,8х1		0,3*(139-x1)=41,7-0,3х1	0,8х1+41,7-0,3х1=41,7+0,5x1
Возврат	0,8х1		0,4*(139-x1)=55,6 -0,4х1	0,8х1+55,6-0,4х1=55,6+0,4x1

 

2 год:

	1 проект		2 проект	Сумма
		55,6+0,4x1
	х2		55,6+0,4x1-x2
Прибыль	0,8х2		0,3*(55,6+0,4x1-x2)=16,68 +0,12x1-0,3x2	0,8x2+16,68+0,12x1-0,3x2 =16,68+0,12x1+0,5x2

 

 

16,68+0,12x1+0,5x2→max, х₂ є [0; 55,6+0,4x1]; х₁ є [0;139]

х₁=139; х₂=55,6+0,4x1=55,6+0,4*139=111,2

Ответ:

Прибыль в 1 году составит 0,8х₁=0,8*139=111,2 ден.ед.

во 2 году-0,3х₂=0,3*111,2=33,36 ден.ед

Мах прибыль за два года-111,2+33,36=144,56 ден.ед

Для этого в 1 год мы вкладываем 139 ден.ед. в 1 проект, во 2 году 111,2 ден.ед.- в 1 проект.

Задача 5.1

Z=F1+F2+F3+F4→min

 

Экономический смысл переменных:

Z – минимальные суммарные затраты

Fi – затраты в i месяце

f(xi) – затраты на пополнение запаса

g(yi) – затраты на хранение запаса

Si – остаток запаса на конец i шага

xi – пополнение запаса на i шаге

di – запланированный спрос на i шаге

yi - средний уровень хранимого запаса

 

Si=Si-1+xi- di - уравнение состояния

yi= di/2 + Si – средний уровень хранения

Исходные данные:

d1=

d2=

d3=

d4=

S0 =

f(x)=

0,5

g(y)=

0,5

S4=

Шаг 4

S3

X4

Y4

f(x)

g(y)

f(x)+g(y)

F4

1,5

2,5

2,5

0,5

1,5

1,5

 

Шаг 3
S2	X3	S3	Y3	f(x)	g(y)	F4	f(x)+g(y)+F4	F3
			2,5	2,5	1,25		6,75	6,75
			3,5		1,75	2,5	7,25
			4,5	3,5	2,25		7,75
			5,5		2,75	1,5	8,25
			6,5	4,5	3,25		8,75
			2,5		1,25		6,25	6,25
			3,5	2,5	1,75	2,5	6,75
			4,5		2,25		7,25
			5,5	3,5	2,75	1,5	7,75
			6,5		3,25		8,25
			2,5	1,5	1,25		5,75	5,75
			3,5		1,75	2,5	6,25
			4,5	2,5	2,25		6,75
			5,5		2,75	1,5	7,25
			6,5	3,5	3,25		7,75
			2,5		1,25		5,25	5,25
			3,5	1,5	1,75	2,5	5,75
			4,5		2,25		6,25
			5,5	2,5	2,75	1,5	6,75
			6,5		3,25		7,25
			2,5	0,5	1,25		4,75	4,75
			3,5		1,75	2,5	5,25
			4,5	1,5	2,25		5,75
			5,5		2,75	1,5	6,25
			6,5	2,5	3,25		6,75
			2,5		1,25		4,25	4,25
			3,5	0,5	1,75	2,5	4,75
			4,5		2,25		5,25
			5,5	1,5	2,75	1,5	5,75
			6,5		3,25		6,25
			3,5		1,75	2,5	4,25	4,25
			4,5	0,5	2,25		4,75
			5,5		2,75	1,5	5,25
			6,5	1,5	3,25		5,75
			4,5		2,25		4,25	4,25
			5,5	0,5	2,75	1,5	4,75
			6,5		3,25		5,25
			5,5		2,75	1,5	4,25	4,25
			6,5	0,5	3,25		4,75
			6,5		3,25		4,25	4,25

 

Шаг 2
S1	X2	S2	Y2	f(x)	g(y)	F3	f(x)+g(y)+F3	F2
			0,5	0,5	0,25	6,75	7,5	7,5
			1,5		0,75	6,25
			2,5	1,5	1,25	5,75	8,5
			3,5		1,75	5,25
			4,5	2,5	2,25	4,75	9,5
			5,5		2,75	4,25
			6,5	3,5	3,25	4,25
			7,5		3,75	4,25
			8,5	4,5	4,25	4,25
			9,5		4,75	4,25
			0,5		0,25	6,75
			1,5	0,5	0,75	6,25	7,5
			2,5		1,25	5,75
			3,5	1,5	1,75	5,25	8,5
			4,5		2,25	4,75
			5,5	2,5	2,75	4,25	9,5
			6,5		3,25	4,25	10,5
			7,5	3,5	3,75	4,25	11,5
			8,5		4,25	4,25	12,5
			9,5	4,5	4,75	4,25	13,5
			1,5		0,75	6,25
			2,5	0,5	1,25	5,75	7,5
			3,5		1,75	5,25
			4,5	1,5	2,25	4,75	8,5
			5,5		2,75	4,25
			6,5	2,5	3,25	4,25
			7,5		3,75	4,25
			8,5	3,5	4,25	4,25
			9,5		4,75	4,25
			2,5		1,25	5,75
			3,5	0,5	1,75	5,25	7,5
			4,5		2,25	4,75
			5,5	1,5	2,75	4,25	8,5
			6,5		3,25	4,25	9,5
			7,5	2,5	3,75	4,25	10,5
			8,5		4,25	4,25	11,5
			9,5	3,5	4,75	4,25	12,5
			3,5		1,75	5,25
			4,5	0,5	2,25	4,75	7,5
			5,5		2,75	4,25
			6,5	1,5	3,25	4,25
			7,5		3,75	4,25
			8,5	2,5	4,25	4,25
			9,5		4,75	4,25
			4,5		2,25	4,75
			5,5	0,5	2,75	4,25	7,5
			6,5		3,25	4,25	8,5
			7,5	1,5	3,75	4,25	9,5
			8,5		4,25	4,25	10,5
			9,5	2,5	4,75	4,25	11,5
			5,5		2,75	4,25
			6,5	0,5	3,25	4,25
			7,5		3,75	4,25
			8,5	1,5	4,25	4,25
			9,5		4,75	4,25
			6,5		3,25	4,25	7,5	7,5
			7,5	0,5	3,75	4,25	8,5
			8,5		4,25	4,25	9,5
			9,5	1,5	4,75	4,25	10,5
			7,5		3,75	4,25
			8,5	0,5	4,25	4,25
			9,5		4,75	4,25
			8,5		4,25	4,25	8,5	8,5
			9,5	0,5	4,75	4,25	9,5
			9,5		4,75	4,25

 

Шаг 1
S0	X1	S1	Y1	f(x)	g(y)	F2	f(x)+g(y)+F2	F1
				0,5	0,5	7,5	8,5	8,5

 

X1=1; S1=0;

X2=1; S2=0;

X3=5; S3=0;

X4=4; S4=0;

 

Минимальные суммарные затраты на приобретение и хранение товара составят 8,5 ден. ед., при этом в первом месяце необходимо закупить товар 1 ед, во втором месяце необходимо закупить 1 ед. товара, в третьем месяце закупаем 5 ед. товара и в четвертом месяце 4 ед. товара. Тогда в конце четвертого месяца склад будет пуст.

 

 

Задача 5.2

b=804 ед. в год – интенсивность равномерного спроса

с1=0,6 – затраты на доставку одной партии

с2=0,4 – затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени

ед. – оптимальное количество товара в одной партии

-оптимальное количество партий

(дней) – продолжительность цикла

 

Задача 5.3

Математическая модель задачи:
- основное функциональное уравнение при произвольном шаге (i<N); где i=1;2;3;4;5;6.
- основное функциональное уравнение на последнем, N-ом шаге.   xi={сохранить/заменить}
xi>=0

 

Экономический смысл переменных:
zc – прибыль в случае сохранения оборудования
zз – прибыль в случае замены оборудования
S0 – первоначальное состояние системы
Siн – предполагаемый возраст оборудования в начале i года
Si – возраст оборудования в конце i года
N – плановый период
t – возраст оборудования
Fi – мах доход на каждом шаге
s – остаточная стоимость оборудования
p – затраты на покупку нового оборудования

 

Схема решения:

Принцип Беллмана

 

Условная оптимизация

 

S_o__Iгод__S₁__IIгод__S₂_IIIгод__S₃__IVгод__ S₄_Vгод_­__ S₅_ VIгод ­__ S₆

1шаг 2 шаг 3 шаг 4 шаг 5 шаг 6 шаг

х₁ х₂ х₃ х₄ х₅ х₆

z(x₁) z(x₂) z(x₃) z(x₄) z(x₅) z(x₆)

 

F₆=max{z(x₆)}

Безусловная F₅=max{ z(x₅)+F₆}

F₄=max{ z(x₄)+F₅}

Оптимизация

F₃=max{ z(x₃)+F₄}

F₂=max{ z(x₂)+F₃}

F₁=max{ z(x₁)+F₂}

 

Т.к. плановый период 6 лет, то рассчитываем последний шаг на конец 6 года

 

-область замены

 

<

N	t	t1	s	p

Поделиться: