Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов

Квадратичные формы

Пусть L_n – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (а, в).

Определение 61. Симметрическая билинейная форма f (а, в) при условии а = в называется квадратичной формой, заданной на L_n (j (а) = f (а, в)). При этом f (а, в) и j (а) называются соответствующими друг другу.

Если в пространстве L_n задан базис е = (е₁, е₂, …, е_n) и а = х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n, то, используя формулу (55), получим запись квадратичной формы в координатах

j (а) = (59)

Матрица квадратичной формы совпадает с матрицей соответствующей симметрической билинейной формы. Квадратичная форма в матричном виде запишется

j (а) = х ^Т× А × х (60)

Если в пространстве L_n зафиксирован базис, то между всеми квадратичными формами, заданными на L_n и всеми симметрическими квадратными матрицами порядка n устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Сумма двух квадратичных форм является квадратичной формой. При умножении квадратичной формы на элемент поля Р получается тоже квадратичная форма. При сложении квадратичных форм складываются их матрицы. Если форма умножается на элемент поля Р, то на этот же элемент умножается и её матрица. Следовательно, множество всех квадратичных форм, заданных на L_n, есть линейное пространство, изоморфное линейному пространству квадратных симметрических матриц порядка n. Размерность этого пространства равна .

Так как квадратичная форма и соответствующая симметрическая билинейная форма имеют одну и ту же матрицу, то связь матриц А и А¹ в разных базисах задаётся формулой (56), т.е. А¹ = Т ^Т× А × Т, где Т – матрица перехода от первого базиса ко второму, Т ^Т – матрица, транспонированная для матрицы Т. Следовательно, в разных базисах квадратичная форма имеет более или менее сложные матрицы, а поэтому более или менее сложную запись в координатах. Поэтому возникает задача: найти в пространстве L_n такой базис, в котором квадратичная форма имела бы наиболее простой вид.

Определение 62. Если j (а) = a₁ х₁² + a₂ х ₂² + … + a_n х _n², то говорят, что квадратичная форма j (а) имеет канонический вид.

Если поле Р есть поле рациональных или действительных чисел и

j (а) = х₁² + х₂² + … + х_к² – х_к+1² – … – х_r²,

то говорят, что квадратичная форма имеет нормальный вид. В случае, когда Р = Снормальным видом квадратичной формы называют j (а) = х₁² + х₂² + …+ х_к² + х_к+1² +.+ х_r².

Теорема 64. Всякая квадратичная форма с помощью линейного невырожденного преобразования (преобразования координат) может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство. Пусть j (а) – квадратичная форма, заданная на пространстве L_n. Пусть в L_n задан базис е и пусть в этом базисе j (а) = х ^Т× А × х. Матрица А –симметрическая, поэтому по теореме 60 существует такая ортогональная матрица Т, что матрица А¹ = Т^{– 1}× А × Т будет диагональной, причём на диагонали стоят собственные значения матрицы А (они все – действительные числа). Так как ортогональная матрица невырожденная, то существует такой базис е¹, что Т будет матрицей перехода от базиса е к базису е¹. Так как для ортогональной матрицы Т ^–1 = Т ^Т, то А¹ – матрица данной формы в базисе е¹. Итак, в базисе е¹ данная форма имеет канонический вид.

Замечание. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду описано в примере пункта 8.3.

Теорема 65. Всякую квадратичную форму линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду.

Доказательство. В теореме 64 доказано, что квадратичную форму можно привести к каноническому виду. Перенумеровав, если нужно переменные, будем считать, что первые r коэффициентов в каноническом виде отличны от нуля, а остальные (n – r) равны нулю.

1) В случае, когда Р = С сделаем преобразование координат по формулам (*).

(*)	Так как определитель этих формул отличен от нуля, то они задают преобразование координат. В новых координатах j (а) = у12 + у22 + … + уr2. Получили комплексный нормальный вид квадратичной формы. 2) Если Р = R, т.е. j (а) – действительная квадратичная форма, то в каноническом виде запишем сначала члены с положительными коэффициентами, затем – с отрицательными и, наконец, с нулевыми.
(**)	j (а) = a1 х12 + a2 х 22 + … + aк х к2 – aк+1 хк+12 – … – ar хr2 Сделаем преобразование координат по формулам (**), получим j (а) = у12 + у22 + … + ук2 – ук+12 – … – уr2. Но это и есть нормальный вид действительной квадратичной формы.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

j = 2 х₁х₂ + 2 х₁х₃ – 2 х₁х₄ – 2 х₂х₃ + 2 х₂х₄ + 2 х₃х₄.

Решение. Матрица данной квадратичной формы

А =	Для решения задачи эту матрицу нужно привести к диагональному виду. Это было сделано в примере пункта 8.3. Собственные значения этой матрицы l1 = l2 = l3 = 1, l4 = – 3. Базис из собственных векторов был найден е11 = е21 = ,
А1 =	е31 = , е41 = (1, –1, –1, 1). В этом базисе квадратичная форма будет иметь матрицу А1. Матрицей перехода от исходного базиса к базису е1 будет матрица Т.
Т =	Следовательно, форма j будет иметь следующий канонический вид j = х12 + х22 + х32 – 3 х42.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов

Пусть L_n – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j (а) = . Если n = 1, то форма уже имеет канонический вид, поэтому рассуждение можно вести индукцией по числу переменных. Пусть форму можно привести к каноническому виду, если число переменных не более (n – 1). Докажем его для n переменных. Возможны два случая.

1) Все коэффициенты a_кк = 0. Если все коэффициенты равны 0, то можно считать, что форма имеет канонический вид. Поэтому пусть хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Не нарушая общности, можно считать, что a₁₂ ¹ 0. Сделаем преобразование координат: х₁ = у₁ – у₂, х₂ = у₁ + у₂, х₃ = у₃, …, х_n = у_n. В новых координатах

j (а) = a₁₂у₁² – a₁₂у₂² + y, где y не будет содержать у₁² и у₂², поэтому эти слагаемые ни с чем проведены быть не могут. Следовательно, достаточно рассмотреть случай

2) Хотя бы один коэффициент при квадратах переменных отличен от нуля. Пусть a₁₁¹ 0. Соберём в форме j (а) все слагаемые, содержащие х₁, вынесем a₁₁ за скобки, дополним полученную скобку до полного квадрата и компенсируем сделанные добавки.

a₁₁ ×() +

+ y (х₂, х₃, …,х_n), где y (х₂, х₃, …,х_n) – квадратичная форма от (n – 1) переменной. По предположению индукции форму y (х₂, х₃, …,х_n) можно с помощью преобразования координат (х₂, х₃, …,х_n) привести к каноническому виду. Дополнив это преобразование формулой у₁ = , получим, что j (а) = .

Рассмотрим этот способ упрощения квадратичной формы на примере.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

1) j = 3 х₁² + 5 х₂² + х₃² – 6 х₁х₂ + 9 х₁х₃ – 7 х₂х₃.

Решение. Коэффициент при х₁² отличен от нуля, поэтому соберём слагаемые, содержащие х₁ (они подчёркнуты), вынесем за скобки коэффициент при х₁² (т.е. 3) и дополним выражение в скобках до полного квадрата (за скобками компенсируем то, что добавили в скобках), получим

j = 3×(х₁² – 2 х₁х₂ + 3 х₁х₃ + х₂² + х₃² – 3 х₂х₃) – 3 х₂² – х₃² + 9 х₂х₃ + 5 х₂² + х₃² – 7 х₂х₃ =

= 3(х₁ – х₂ + х₃)² + 2 х₂² – х₃² + 2 х₂х₃. Так как коэффициент при х₂² отличен от нуля, то соберём слагаемые, содержащие х₂, вынесем коэффициент при х₂² за скобку и дополним выражение в скобках до полного квадрата. Получим

j = 3(х₁ – х₂ + х₃)² +2(х₂² + х₂х₃ + х₃²) – х₃² – х₃² =3(х₁ – х₂ + х₃)² + 2(х₂ + х₃)² – х₃². Сделаем преобразование координат:

у₁ = х₁ – х₂ + х₃, у₂ = х₂ + х₃, у₃ = х₃. В новых координатах получим, что

j = 3 у₁² + 2 у₂² – у₃².

Если квадратичная форма задана над полем действительных чисел, то сделав ещё одно преобразование координат: z₁ = у₁, z₂ = у₂, z₃ = у₃, получим нормальный вид данной формы j = z₁² + z₂² – z₃².

2) j = х₁х₃ + 2 х₂х₃ + 4 х₃х₄.

Решение. Так как данная квадратичная форма не содержит квадратов переменных, то сначала сделаем преобразование координат по формулам: х₁ = у₁ – у₃, х₂ = у₂, х₃ = у₁ + у₃, х₄= у₄. Получим j = (у₁ – у₃)(у₁ + у₃) + 2 у₂ (у₁ – у₃) + 4(у₁ + у₃) у₄ = у₁² – у₃² + 2у₁у₂ + 4у₁у₄ –2 у₂у₃ + 4 у₃у₄. Соберём слагаемые с у₁ (коэффициент при у₁² равен 1, поэтому ничего за скобки выносить не надо). Получим j = (у₁² + 2у₁у₂ + 4у₁у₄ + у₂² +4 у₄²+ 4 у₂у₄) – у₂² – 4 у₄² – 4 у₂у₄ – у₃² – 2 у₂у₃ + 4 у₃у₄ = = (у₁ + у₂ + 2 у₄)² – (у₂² + 2 у₂у₃ + 4 у₂у₄ + у₃² + 4 у₄² + 4 у₃у₄) + у₃² + 4 у₄² + 4 у₃у₄ – 4 у₄² – у₃² + 4 у₃у₄ = = (у₁ + у₂ + 2 у₄)² – (у₂ + у₃ + 2 у₄)² + 4 у₃у₄. Для преобразования последнего слагаемого снова нужно положить у₃ = z₃ – z₄, у₄ = z₃ + z₄. Отсюда z₃ = , z₄ = .Итак, сделаем преобразование координат по формулам:

z₁ = у₁ + у₂ + 2 у₄, z₂ = у₂ + у₃ + 2 у₄, z₃ = , z₄ = . В новых координатах

j = z₁² – z₂² + 4 z₃² – 4 z₄².

Получили канонический вид данной квадратичной формы над полем действительных чисел.