1. Используя метод математической индукции, доказать, что для геометрической прогрессии (т.е. последовательности 
) сумма первых n членов равна 
.
2. 60% студентов читают журнал «Огонек», 50% ‑ «Урал», 50% ‑ «Юность», 30% ‑ журналы «Огонек» и «Урал», 20% ‑ «Урал» и «Юность», 30% ‑ «Огонек» и «Юность», 10% ‑ все три журнала. Сколько студентов читают какие-нибудь два журнала? Сколько не читают ни одного?
3. Построить отображение отрезка [-1, 1] в отрезок [0, 1], так, чтобы это отображение: а) было взаимно однозначным соответствием; б) не было взаимно однозначным соответствием.
4. Доказать, что множество всех правильных многоугольников является бесконечным.
5. Исследуйте бинарное отношение (x,y), x+y=8, на множестве X={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Является ли данное отношение рефлексивным, симметричным, транзитивным, антисимметричным?
6. Дано множество X={-4,-3,-2,1,2,3}. Доказать, что следующее отношение (x,y), 
‑ есть отношение эквивалентности, и построить соответствующее разбиение множества X на классы эквивалентности.
7. Показать, используя определение предела последовательности, что последовательность 
сходятся к числу 0.
8. Показать, используя определение предела последовательности, что последовательность 
сходится к 1.
9. Найти предел последовательности 
.
10. Найти предел последовательности 
.
11. Найти предел 
.
12. Пусть последовательность 
- ограничена, 
- бесконечно большая. Доказать, что последовательность 
бесконечно малая.
13. Дана f(x) = 2x2 + x - 3. Построить графики y = f(x), y = |f(x)|. При каких значениях параметра а уравнение |f(x)| = a имеет четыре корня?
14. Дана функция 
Построить ее график; решить неравенство y<0; решить уравнение |y-1| = 1.
15. Построить график функции 
.
16. Используя определение предела функции (на языке последовательностей) найти 
.
17. Найти предел 
.
18. Найти предел 
.
19. Пусть
При каком выборе числа 
функция 
будет непрерывной в точке 
?
20. Доказать, что уравнение 
имеет точно один корень на отрезке [1, 2].
21. Доказать, что уравнение 
имеет один положительный корень, меньший 1.
22. Пусть 
. Найти приращение функции 
и отношение 
в точке 
если а) 
, б) 
, в) 
, г) 
, д) 
, е) 
. Объяснить результаты.
23. Используя определение производной найти производную функции 
.
24. В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе 
равен 12?
25. На параболе 
взяты две точке с абсциссами 
и 
. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей?
26. Найти производную для функции 
. Найти третью производную для функции 
.
27. Функции спроса q и предложения s от цены p имеют вид q=7-p, s=p+1. Найти равновесную цену, эластичности спроса и предложения для этой цены, изменение спроса, предложения и дохода (в %) при увеличении цены на 5% от равновесной.
28. На сколько процентов изменится (приближенно) площадь круга, если его радиус изменится на 1%?
29. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?
30. В треугольник с основанием a и высотой h вписан прямоугольник, основание которого лежит на основании треугольника, а две вершины – на боковых сторонах. Найти наибольшую площадь вписанного прямоугольника.
31. Исследовать функцию и построить ее график: 
.
32. Исследовать функцию и построить ее график: 
.
33. Исследовать функцию и построить ее график: 
.
34. Исследовать функцию и построить ее график: 
.
35. Исследовать функцию и построить ее график: 
.
36. Вычислить неопределенный интеграл 
.
37. Используя метод замены переменной, вычислить неопределенные интегралы: а) 
; б) 
.
38. Используя метод интегрирования по частям, вычислить неопределенные интегралы: а) 
; б) 
.
39. Вычислить определенные интегралы: а) 
; б) 
; в) 
.
40. Найти область определения функции двух переменных 
.
41. Построить линии уровня для функции 
.
42. Построить линии уровня для функции 
.
43. Найти предел функции 
в точке М(0,0).
44. Доказать, что функция 
не имеет предела в точке М(0,0).
45. Найти частные производные функций: а) 
; б) 
.
46. Для функции 
найти частные производные второго порядка.
47. Зависимость объема производства 
от капитальных затрат 
и затрат труда 
описывается функцией Кобба-Дугласа 
. Найти дифференциал и частные эластичности этой функции. Пусть 
; на сколько процентов изменится объем производства, если капитальные затраты увеличить на 4%, а затраты труда снизить на 2%?.
48. Пусть 
. Найти 
.
49. При условии постоянства объема производства неявная зависимость затрат труда от капитальных затрат описывается соотношением 
. Рассчитать производную 
. Какой она имеет смысл?
50. Найти экстремумы функции 
.
51. Найти экстремумы функции 
.
52. Найти экстремумы функции 
.
53. Найти экстремумы функции 
.
54. Найти максимум функции Кобба-Дугласа при условии 
.
55. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в области 
.
56. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области 
.
57. Рассчитать двойной интеграл 
, если область 
.
58. Рассчитать двойной интеграл 
, если область D ограничена линиями 
.
59. Являются ли компланарными (т.е. лежат ли в одной плоскости) три вектора: 
?
60. Являются ли линейно зависимыми три вектора: 
?
61. Пусть . Найти координаты вектора 
.
62. Две прямые на плоскости задаются уравнениями 
и 
. Параллельны ли эти прямые? Каково между ними расстояние?
63. Пусть 
. Найти матрицу 
.
64. Дана матрица 
. Вычислить ее определитель. Найти миноры элементов 
и алгебраические дополнения элементов 
.
65. Найти ранг матрицы 
.
66. Решить методом обратной матрицы и методом Крамера систему линейных алгебраических уравнений: 
67. Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений: 
68. Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений: 
69. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей 
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Операции (действия) над множествами.
Объединение, пересечение, разность множеств. Дополнение множества. Диаграммы Вьена. Алгебраические свойства операций над множествами, законы де Моргана. Декартово (прямое) произведение множеств.
2. Отображения.
Определение отображения. Типы отображений, примеры. Взаимно однозначное соответствие множеств. Эквивалентные множества.
3. Определение последовательности, определение предела последовательности, примеры последовательностей. Стационарная последовательность. Свойства сходящихся последовательностей. Арифметические свойства пределов. Бесконечно малые и большие последовательности. Неопределенности вида 0/0 и др. Число e.
4. Определение функции, способы задания функций. График функции. Основные свойства функций. Арифметические операции над функциями. Обратная функция. Сложная функция.
5. Простейшие элементарные функции и их графики. Элементарные функции, построение их графиков.
6. Определение предела функции. Односторонние пределы. Предел в бесконечности, бесконечный предел в точке. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Первый и второй замечательные пределы. Арифметические свойства пределов. Вычисление пределов.
7. Определение непрерывности функции в точке. Односторонняя непрерывность в точке. Определение разрыва. Причины разрывов. Классификация разрывов. Арифметические свойства непрерывных функций. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функции, непрерывной на отрезке (теоремы Вейерштрасса и Коши). Поиск корня функции методом «деления отрезка пополам».
8. Определение производной функции в точке; ее механическая, экономическая интерпретация. Геометрическая интерпретация производной, уравнение касательной к графику функции. Понятие производной, как функции, заданной на некотором интервале. Операция дифференцирования. Линейность операции дифференцирования. Производная произведения, частного, сложной функции, обратной функции.
Производные простейших элементарных функций. Производные высших порядков.
9. Определение дифференциала. Связь дифференциала и приращения функции. Формула конечных приращений (формула Лагранжа) и ее использование для приближенных вычислений. Эластичность функции и ее использование для приближенного вычисления относительного изменения функции. Формула Тейлора и формула Маклорена.
10. Использование производных для исследования функций и построения их графиков.
11. Определения первообразной, интегрируемой функции, неопределенного интеграла. Линейность – основное свойство интеграла. Неопределенные интегралы простейших элементарных функций. Интегрирование методом замены переменной. Метод интегрирования по частям.
12. Определение и геометрическая интерпретация определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Определенный интеграл, как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Схема вычисления определенного интеграла с использованием формулы Ньютона-Лейбница.
13. Определение функции нескольких переменных.Графическая интерпретация функции двух переменных – поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Линии уровня (изокванты).
14. Полное приращение и частные приращения функции нескольких переменных. Определение и смысл частных производных первого порядка, правила их вычисления. Частные производные второго и высших порядков.
15. Определение дифференциала и дифференцируемости функции в точке. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференциал, частные эластичности и приближенные вычисления.
Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование функции одной переменной, заданной неявно.
16. Определение экстремума функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Стационарные и критические точки. Достаточное условие экстремума для функции двух переменных.
17. Условный экстремум. Поиск условного экстремума функции двух переменных методом прямой подстановки (исключения части переменных) и методом неопределенных множителей Лагранжа.
18. Метод наименьших квадратов.Диаграмма рассеяния, постановка задачи. Формулировка гипотезы о виде модельной функции (функции тренда). Процедура определения параметров модельной функции методом наименьших квадратов. Расчет параметров линейной модельной функции y=kx+b.
19. Геометрическая интерпретация двойного интеграла, его вычисление путем сведения к повторному интегрированию.
20. Векторы, как направленные отрезки в двух- и трехмерном евклидовом пространстве. Координаты вектора, длина вектора. Обобщение на многомерный случай. Множество всех векторов в m -мерном евклидовом пространстве ‑ m -мерное линейное (векторное) пространство. Правила сложения векторов и их умножения на число. Скалярное произведение векторов и его свойства. Проекция вектора. Определения и признаки ортогональности, коллинеарности векторов.
21. Линейная комбинация векторов. Линейная независимость векторов. Базис линейного пространства, существование ортонормированного базиса. Векторное и смешанное произведения векторов в трехмерном пространстве.
22. Определение матрицы. Операции над матрицами. Умножение матриц.Определение ранга матрицы.
23. Правила вычисления определителей квадратных матриц 2-го и 3-го порядков. Основные свойства определителей. Необходимое и достаточное условия равенства определителя нулю. Определение минора и алгебраического дополнения элемента квадратной матрицы. Теорема о способе вычисления определителя разложением по строке или столбцу (теорема Лапласа).
24. Произвольная матрица и ее миноры. Теорема о вычислении ранга матрицы. Теорема о базисном миноре. Условие существования и правило вычисления обратной матрицы.
25. Уравнения прямых и плоскостей.
26. Общий вид системы линейных алгебраических уравнений, матричная запись, определение решения. Совместные и несовместные системы. Эквивалентные системы, элементарные преобразования систем. Формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Условия определенности и неопределенности совместной системы.
27. Общий вид системы линейных алгебраических уравнений, матричная запись, определение решения. Совместные и несовместные системы. Эквивалентные системы, элементарные преобразования систем. Формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Условия определенности и неопределенности совместной системы.
28. Решение систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей.
Метод обратной матрицы. Метод Крамера.
29. Решение произвольной системы методом Гаусса.
Алгоритм метода Гаусса. Структура множества решений совместной неопределенной системы: базисные и свободные неизвестные.
30. Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений.
Теорема о необходимом и достаточном условии существования нетривиальных решений однородной системы и следствия из нее.
31. Понятие оператора, действующего в линейном пространстве. Определение линейного оператора. Матричное представление линейного оператора. Задача о нахождении собственных векторов и собственных значений линейного оператора. Нормировка собственных векторов.