Иероглифическая система счисления

Введение. Цели и задачи работы.

Современный человек (Homo sapiens sapiens) возник более 100 тысяч лет назад. Он, в отличие от H. sapiens, уже не полностью зависел от природы. Около 20 тысяч лет назад люди использовали огонь, хорошо была развита речь, и зарождалось подобие рисунчатого письма. Постепенно человек начал использовать счет. А раз появилось рисунчатое письмо, то должны были появиться и способы записи чисел. В каменном веке потребность счета возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов. Так, найдены различные кости, каменные предметы с зарубками, точками или черточками, сгруппированными по 3 или 5. Такая система записи чисел называется единичной, т.к. любое число в ней образуется повторением одного знака, символизирующего единицу. Единичная система записи удобна только для счета небольшого количества предметов. В дальнейшем возникла идея объединять единицы в группы, появился счет пятёрками, десятками, двадцатками. Так постепенно возникали различные системы счислений.

Целью настоящей работы является исследование способов записи чисел, применяемых в древних цивилизациях, и изучение их влияния на современную культуру.

Задачей настоящей работы является обзор способов записи чисел и иллюстрация математической культуры древних на примере решения задач.

На примере нескольких цивилизаций: Вавилона, Древнего Египта, Рима и Древней Греции, исследованы различные способы записи чисел, достижения математической науки в Древнем мире, влияние её на современный мир.

В таблице № 1 (Приложение № 1) представлены различные виды обозначения чисел в древнее время. В таблице № 2 (Приложение № 2) приводится сравнение различных систем счисления и данные об их использовании в настоящее время.

 

 

Вавилон.

Шестидесятеричная Вавилонская система – одна из первых систем. Она использовала принципы позиционного счёта – запись разных величин в зависимости от того, какую позицию они занимают. Основные их знаки - - вертикальный клин и горизонтальный клин. Одна вертикальная клинообразная черта (в раннешумерских табличках – небольшой полукруг) означала единицу; повторенный нужное число раз, этот знак служил для записи чисел меньше десяти; для обозначения числа 10 вавилоняне, ввели новый коллективный символ – более широкий клиновидный знак с острием, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку, (в раннешумерских текстах – небольшой кружок). Число шестьдесят снова являлось единицей. Один клиновидный знак мог использоваться для обозначения и 1, и 60, и 60², и 60³, в зависимости от занимаемого им в записи числа положения, подобно тому, как единица в наших обозначениях используется в записях и 10, и 10², и 10³, и в числе 1111. При обозначении чисел больше 60 знаки, выступающие в новом качестве, отличались от старых тем, что символы разбивались на «места», или «позиции», и единицы более высокого порядка располагались слева. При таком способе записи для обозначения сколь угодно больших чисел уже не нужно было других символов, кроме уже известных. Например, число 6789 можно было записать так: , т.е. 1×(60)² + 53×(60) + 9. Минус этой системы в том, что в ней не было нулей. Запись числа 72 могла означать и 72 1·(60)+12 и 4320 1·(60)²+12·(60), так как числа умножались на 60 а не на 10. Однако в период правления селевкидов, ок. 300 до н.э., эта неоднозначность была устранена введением специального символа в виде двух небольших клиньев, помещаемого на пустующее место, т.е. обозначающего пустую позицию в записи числа. Например, символ означал число 3601, т.е. 1×(60)² + 0×(60) + 1. В то же время не было найдено ни одной таблички с записью, в которой символ нуля находился бы в конце числа. Однако превосходство разработанной в Месопотамии системы счисления отчетливо видно в обозначении дробей. Здесь не требовалось вводить новые символы. Как и в нашей собственной десятичной позиционной системе, в древневавилонской системе подразумевалось, что на первом месте справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте – величины кратные 1/60² и т.д. Привычное нам деление часа и углового или дугового градуса на 60 минут, а одной минуты – на 60 секунд берет начало от вавилонской системы счисления.

В Вавилоне применяли огромное множество таблиц – от сложения до квадратов, кубов и корней. Шестидесятеричная система широко применялась в астрономических расчётах вплоть до эпохи Возрождения. Именно ею пользовался во II в. греческий математик и астроном Клавдий Птолемей при составлении таблицы синусов, древнейшей из дошедших до нас.

Задачи в Вавилоне. Среди вычислительных задач на клинописных табличках встречаются задачи на арифметические и геометрические прогрессии. Методы решения в основном опирались на идеи пропорциональной зависимости и среднего арифметического. В клинописных текстах содержатся первые задачи на проценты – ведь Вавилон стоял на пересечении торговых путей, и здесь рано появились денежные знаки и кредит. Было у вавилонян и правило для приближённого вычисления квадратных корней. Большое число задач сводится к уравнениям или системам уравнений первой и второй степени. Их записывали без символов, в своей терминологии. Разговорным языком вавилонян был аккадский, но в науке в качестве терминов они употребляли шумерские слова.

 

Задачи: 1. Разделить прямой угол на 3 равные части.

Решение: Древние вавилоняне умели строить равносторонний треугольник, а с его помощью делить прямой угол на три равные части. Пусть дан прямой угол АВС. Требуется разделить этот угол на три равные части. Для этой цели на отрезке ВD стороны ВА построим равносторонний треугольник BED. Тогда угол СВЕ и будет составлять одну треть данного угла. Остается только разделить пополам угол EBD и задача будет решена.

 

Древний Египет

 

Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Древний Египет – его ключевые числа: 1, 10, 100 и т.д. изображались иероглифами: 1-палочка – вертикальная черта, для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку (арка). Множество из десяти подковообразных символов, число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки (закрученная петля); десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Даже если запись идёт в совершенно другом порядке число остаётся тем же. Так, например, с помощью коллективных символов и повторений уже введенных символов число 6789 в иероглифических обозначениях можно было бы записать как Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале – папирусе. Два таких документа – папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) и московский папирус, или папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) – служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и это изменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел. Группа одинаковых символов заменялись более простой по начертанию пометой или знаком, например, девять записывалось как вместо , а семьсот как вместо . В этой записи число 6789 имело вид , причем знаки более высокого порядка располагались справа, а не слева. Иероглифическая запись чисел использовалась преимущественно в официальных документах и текстах. Еще позднее иератическая система обозначения чисел уступила место демотическим системам записи.

Все правила счета Древних Египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы. Дроби Египтян назывались аликвотными, это дроби вида 1/n. В действиях с дробями египтяне значительно уступали жителям Месопотамии.

Еще более важна была для Египтян геометрия. В середине I тысячелетия до н.э. для построения прямого угла они брали верёвку из 12 узлов и натягивали на неё три колышка. Если стороны относились как 3:4:5, то получался прямоугольный треугольник. Так же египтяне нашли с помощью мелких квадратов, круга и большого квадрата примерное значение числа π (пи), которое отличалось от современного на 21 сотую. Они могли находить площадь и объем пирамиды, куба, параллелепипеда, призмы.

Задачи. 1. Задачи из Папируса Ахмеса. Папирус писца XVIII-XVII вв. до н.э. Ахмеса. Папирус имеет размер 5,25 м х 33 см и содержит 84 задачи.

1. У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?

7; 7·7=49; 49·7=343; 343·7=2401; 2401·7=16807; 7+49+343+2401+16807=19607. (Геометрическая прогрессия).

 

Рим

Римские цифры используются до сих пор, хотя им уже около 2,5 тысячелетий. Нам кажется, что мы знаем о них всё, но это не так. Старыми римскими символами для обозначения чисел 1, 5, 10, 100 и 1000 были, соответственно, символы I, V, X, Q (или Å, или Ä) и f (или , или ).). Согласно одной из распространенных теорий, римская цифра V изображает раскрытую руку с четырьмя прижатыми друг к другу пальцами и отставленным большим пальцем; символ X, согласно той же теории, изображает две скрещенные руки или сдвоенную цифру V. Символы чисел 100 и 1000, возможно, берут начало от греческих букв Q и f. Неизвестно, произошли ли более поздние обозначения C и M от старых римских символов или они акрофонически связаны с начальными буквами латинских слов, означавших 100 (центум) и 1000 (милле). Полагают, что римский символ числа 500, буква D, возник из половинки старого символа, обозначавшего 1000. Римляне часто использовали принцип вычитания, поэтому иногда вместо VIIII использовали IX и XC вместо LXXXX; сравнительно позднее символ IV вместо IIII.

В целом римляне не были склонны заниматься математикой, поэтому не испытывали особой потребности в больших числах. Тем не менее, для обозначения 10000 они эпизодически использовали символ , а для числа 100000 – символ . Половинки этих символов иногда использовались для обозначения чисел 5000 () и 50000 (). Таким образом, в римских обозначениях число 6789 можно было бы записать как . Дробей римляне так же избегали. В практических задачах, связанных с измерениями, они не использовали дроби, подразделяя единицу измерения обычно на 12 частей, с тем, чтобы результат измерения представить в виде составного числа, суммы кратных различных единиц, как это делается сегодня, когда длину выражают в ярдах, футах и дюймах. Дробь 1/12 римляне называли унцией. Английские слова «ounce» (унция) и «inch» (дюйм) происходят от латинского слова uncia (унция), обозначавшего одну двенадцатую основной единицы длины. Влияние числа 12 ощущается в англо-американской системе линейных мер, в которой 1 фут равен 12 дюймам, 1 дюйм – 12 линиям, а 1 линия – 6 точкам.

Группы по 12 предметов именовались дюжинами. Дюжина дюжин составляла гросс, а дюжина гроссов – массу. Многие предметы в западноевропейский странах до сих пор продаются дюжинами.

 

Древняя Греция.

Дату появления математики как науки можно определить довольно точно – VI в. до н.э. На протяжении 20-30 предыдущих веков народы Древнего Востока сделали немало открытий в арифметике, геометрии и астрономии, но единой математической науки они не создали. Грекам же это удалось в течение одного столетия, что до сих пор кажется чудом. На полтораста лет раньше - в середине 8 века до н.э. - эллины пережили культурную революцию. Под влиянием финикийцев они изобрели свой алфавит, включив в него гласные буквы. Тогда же были записаны поэмы Гомера. Они стали первым учебником культуры, доступным каждому эллину - даже неграмотному. Ведь стихи нетрудно выучить наизусть! В ту же эпоху начались Олимпийские игры. На этих "съездах доброй воли" раз в 4 года встречались и дружески общались самые активные и просвещенные граждане из всех городов Эллады.

В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления – аттическая (или геродианова) и ионическая (она же александрийская или алфавитная). Аттическая система счисления использовалась греками, по-видимому, уже к 5 в. до н.э. По существу это была десятичная система (хотя в ней также было выделено и число пять), а аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов. Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех. После четырех черт греки вместо пяти черт ввели новый символ Г, первую букву слова «пента» (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука «п», а не «г»). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый символ D, первую букву слова «дека» (десять). Так как система была десятичной, грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символ H означал 100 (гекатон), X – 1000 (хилиои), символ M – 10000 (мириои или мириада). Используя число 5 как промежуточное подоснование системы счисления, греки на основе принципа умножения комбинировали пятерку с символами степеней числа 10. Так, число 50 они обозначали символом , 500 – символом , 5000 – символом , 50000 – символом . Еще большие числа обычно описывались словами. Число 6789 в аттической системе записывалось в виде .

Вторая принятая в Древней Греции ионическая система счисления – алфавитная – получила широкое распространение в начале Александрийской эпохи, хотя возникнуть она могла несколькими столетиями раньше, по всей видимости, уже у пифагорейцев. Эта более тонкая система счисления была чисто десятичной, и числа в ней обозначались примерно так же, как в древнеегипетской иератической системе. Используя двадцать четыре буквы греческого алфавита и, кроме того, еще три архаических знака, ионическая система сопоставила девять букв первым девяти числам; другие девять букв – первым девяти целым кратным числа десять; и последние девять символов – первым девяти целым кратным числа 100. Для обозначения первых девяти целых кратных числа 1000 греки частично воспользовались древневавилонским принципом позиционности, снова использовав первые девять букв греческого алфавита, снабдив их штрихами слева. Например, число 6789 в ионической системе записывалось как FYPQ. Чтобы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту. Первоначально числа обозначались прописными буквами, но позднее сменились на строчные. Переход к ионической системе счисления произошел в золотой век древнегреческой математики и, в частности, при жизни двух величайших математиков античности Архимеда и Апполония.

Для обозначения дробей греки использовали приемы древних египтян и вавилонян. Египетское влияние в Греции было достаточно сильным, чтобы навязать грекам употребление лишь аликвотных дробей, однако большие вычислительные удобства системы счисления вавилонян побудили живших позднее александрийских астрономов перейти к использованию шестидесятиричных дробей. Переняв систему счисления Древнего Вавилона, греки заменили месопотамскую клинопись своими буквенными обозначениями. Например, Птолемей записал длину хорды, стягивающей дугу в 120° окружности радиусом в 60 единиц, как RGNE¢KG¢ ^•, т.е. 103 + 55/60 + 23/60² единиц. В более поздний период в вавилонской шестидесятиричной системе имелся специальный символ для обозначения «пустой» позиции, и греческие астрономы ввели для этой цели букву омикрон.

 

Великие ученые Древней Греции: Фалес (624-547 гг. до н.э.), Пифагор (580-520 до н.э.), Анаксагор (499-428 до н.э.), Зенон (490-430 до н.э.), Демокрит (460-370 до н.э.), Платон (428-347 до н.э.), Аристотель (384-322 до н.э.), Евклид (325-265 до н.э.), Эратосфен (276-197 до н.э.), Архимед (287-212 до н.э.), Аполлоний (262-190 до н.э.), Гиппарх (190-120 до н.э.), Птолемей (85-165 н.э.)

Одним из первых великих мудрецов древности можно назвать Фалеса Милетского – купца, политического деятеля, философа, астронома и математика. Известно, что в 585 году до н.э. Фалес впервые предсказал эллинам солнечное затмение. Позднее эллины признали Фалеса одним из семи великих мудрецов основателей греческой культуры и науки. Фалес приделал к научным фактам "корни", ведущие к простейшим утверждениям - тем, которые доступны интуиции обычного человека.

В постижении Вселенной через математику огромный шаг вперёд сделал Пифагор. Он первым заметил, что сила и единство науки основаны на работе с идеальными объектами. Пифагор основал знаменитый пифагорейский союз (школу). В школе Пифагора процветала числовая мистика. Пифагор учил, что «число есть сущность всех вещей». Пифагорейцы стремились найти в природе и обществе неизменное. Они приписывали числам особые сверхъестественные свойства, понимали, что каждая вещь или явление обладают сущностью (содержанием) и видимостью (формой). Форма постигается органами чувств, а сущность умом и подчинена логике чисел. Познав мир чисел, познаём и сущность вещей. Предполагают, что от пифагорейцев ведет свое начало термин "математика". Пифагорейцы различали четыре матемы (с греч. "матема"- знание, наука, учение через размышление): учение о числах (арифметику), теорию музыки (гармонию), учение о фигурах и измерениях (геометрию) и астрономию с астрологией.

В Афинах с 511 года до н.э. процветала демократическая республика. Высочайший накал культурной жизни и научных споров привлекал в Афины самых талантливых ученых Эллады.

 

Задачи Древней Греции. 1. Задача суд Париса.

Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения.

Афродита. Я самая прекрасная. (1)

Афина. Афродита не самая прекрасная. (2)

Гера. Я самая прекрасная. (3)

Афродита. Гера не самая прекрасная. (4)

Афина. Я самая прекрасная. (5)

Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрыл глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, кто из них самая прекрасная. Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?

Решение. Пусть Парис предположил, что Афина изрекла истину. Тогда она прекраснейшая из богинь и по предположению утверждение (4) ложно. Мы приходим к противоречию, т.к. Гера не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Афина. Т.е. исходное предположение ложно. Если Парис предположит, что истину изрекла Гера, то она прекраснейшая из богинь, и по предположению утверждение (2) ложно. Снова противоречие, т.к. Афродита не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Гера. И это предположение ложно. Если Парис предположит, что Афродита изрекла истину, то Афродита – прекраснейшая из богинь. Отрицание утверждений (2), (3) и (5) истинны и показывают, что Афродита – прекраснейшая из богинь.

1. Задача Фалеса. Определить расстояние от берега до корабля на море.
2. Задача Пифагора: Всякое нечетное число, кроме единицы, есть разность двух квадратов.

 

Заключение.

В работе исследованы различные способы записи чисел, видны достижения в математике в Древнем мире. Многие из достижений используются в математике и в современном мире. Отдельные элементы древних систем счисления встречаются и сейчас. Шестидесятеричная вавилонская система - первая известная система счисления, основанная на позиционном принципе. Следы шестидесятеричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса (а также часа) на 60 минут и минуты на 60 секунд. Кроме рассмотренных систем довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система. В устной речи остатки двенадцатеричной системы сохранились и до наших дней: вместо того чтобы сказать «двенадцать», мы часто говорим «дюжина». Несомненные остатки двенадцатеричной системы счисления имеются у англичан — в системе мер (например, 1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе шиллинг = 12 пенсам.

Современные арабские цифры – набор из 10 знаков - используются ныне практически во всем мире для записи чисел в десятичной системе счисления. Эта система счисления является позиционной. Арабские цифры происходят от индийских символов для записи чисел.

Таким образом, системы исчисления древних цивилизаций явились основой современных систем счислений: десятичной, двоичной и восьмеричной. В частности, позаимствованы позиционная система счисления, запись отдельных цифр отдельным знаком.

Как видно из доклада, учёные древности достигли значительных успехов в математике, научились решать сложные задачи. Такие науки, как арифметика и геометрия зародились в древнее время. Влияние достижений и открытий Древнего мира на современную науку очень велико.

 

 

Список литературы:

1. Энциклопедия для тетей «Математика», изд. Аванта+

 

2. Энциклопедия «Кругосвет»

 

3. В.Д. Чистяков «Старинные задачи по элементарной математике»

 

4. И.И. Баврин, Е.А. Фрибус «Старинные задачи»

 

5. Энциклопедия «Только факты», изд. «Издательский дом Ридерз Дайджест), 2004

 

6. Турчин В.Ф. «Феномен науки: Кибернетический подход к эволюции.»

 

7. И.Я. Депман «История арифметики».

 

8. «История математики с древнейших времён до начала XIX столетия» под редакцией А.П. Юшкевича

 

9. С.В. Фомин «Системы счисления»

Приложение № 1.

Приложение № 2.

Сравнение систем счисления:

Страна	Способ записи	Особенности записи чисел. Применение в настоящее время
Вавилон (Месопотамия)	Позиционная шестидесятеричная	Применяется в единицах измерения угла (градусы, минуты, секунды), единицах времени (часы, минуты, секунды). Использование позиционной системы в современных способах записи чисел: в десятеричной, восьмеричной и двоичной.
Египет	Непозиционная Иероглифическая	Десятичная система В Египте были достигнуты значительные достижения в геометрии
Иератическая	Запись нескольких единиц одним знаком
Рим	Непозиционная система	Десятичная система с промежуточным основанием 5. Используется в настоящее время. Деление дробей на 12 частей применяется в английской системе мер.
Греция	Непозиционная Аттическая	Десятичная система счисления, с промежуточным основанием 5. В Греции зарождались основы математической науки: основы геометрии, теории чисел.
Ионическая (алфавитная)	Десятичная система. Частично применялся принцип позиционности.

 

Приложение № 3.

Шестидесятиричная система Вавилона

 

1 -

 

10 -

 

6789 = 1·(60)²+53·60+9

 

72 = 1·60+12

4320 = 1·(60)²+12·(60)

 

3601 = 1·(60)²+0×(60) + 1

 

1 =1·60⁰+12·

Задача: 1. Разделить прямой угол на 3 равные части.

Решение: Пусть дан прямой угол АВС. Требуется разделить этот угол на три равные части. Для этой цели на отрезке ВD стороны ВА построим равносторонний треугольник BED. Тогда угол СВЕ и будет составлять одну треть данного угла. Остается только разделить пополам угол EBD и задача будет решена

 

Вавилон

 

Запись вавилонской клинописью чисел до 60:

	,
	,
	,
	.

Запись вавилонской клинописью чисел, больших 60:

Обозначение	Значение	Способ образования

 

 

Приложение № 4.

Древний Египет

 

Иероглифическая система счисления

1 - | 10 -

100 - 1000 -

10 000 -

 

100 000 -

 

1 000 000 -

 

6789 -

 

 

Иератическое письмо

 

9 - - 700 - -

6789 -

 

Дроби – аликвотные – 1/n

Задача. 1. Задачи из Папируса Ахмеса. Папирус писца XVIII-XVII вв. до н.э. Ахмеса. Папирус имеет размер 5,25 м х 33 см и содержит 84 задачи.

1. У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?

7; 7·7=49; 49·7=343; 343·7=2401; 2401·7=16807; 7+49+343+2401+16807=19607. (Геометрическая прогрессия)

 

Приложение № 5.

Рим

 

I 5 – V 10 – X

IV 9 – IX 90 - XC

100 - Q (или Å, или Ä) – С

1000 - f (или , или ) – М

L 500 – D

10 000 - 100 000 -

5000 - 50 000 -

6789 -

 

Современная запись римских чисел

 

Единицы	Десятки	Сотни	Тысячи
1 I	10 X	100 C	1000 M
2 II	20 XX	200 CC	2000 MM
3 III	30 XXX	300 CCC	3000 MMM
4 IV	40 XL	400 CD
5 V	50 L	500 D
6 VI	60 LX	600 DC
7 VII	70 LXX	700 DCC
8 VIII	80 LXXX	800 DCCC
9 IX	90 XC	900 CM

 

Приложение № 6.

Древняя Греция

 

Аттическая (геродианова) система счисления

 

1 - ú 5 – Г 10 - D

100 – H (гекатон) 1000 – X (хилиои)

 

10 000 – M (мириои или мириада)

50 - 500 -

5000 - 50 000 -

6789 -

 

Ионическая (александрийская или алфавитная) система счисления

 

6789 - FYPQ

Река времени

Фалес (624-547 до н.э.), Пифагор (580-520 до н.э.), Анаксагор (499-428 до н.э.), Зенон (490-430 до н.э.), Демокрит (460-370 до н.э.), Платон (428-347 до н.э.), Аристотель (384-322 до н.э.), Евклид (325-265 до н.э.), Эратосфен (276-197 до н.э.), Архимед (287-212 до н.э.), Аполлоний (262-190 до н.э.), Гиппарх (190-120 до н.э.), Птолемей (85-165 н.э.)

 

Запись чисел в аттической системе счисления

	,
	,
	,
	.

 

Запись чисел в ионической системе счисления

	,
	,
	,
	,
	.