Матричная запись системы




Глава 1. Линейные системы и матрицы.

§1. n – мерное пространство Rn

Вещественные числа (СПб) = действительные числа (М).

x1, x2, …, xnn -мерная точка M(x1, x2, …, xn).

Расстояние между M(x1, x2, …, xn) и N(y1, y2, …, yn)

Вектор

радиус-вектор точки М.

Окрестность точки, ограниченное множество, замкнутое или открытое множество, предел последовательности n -мерных точек. Скалярное произведение.

Геометрически R1 – прямая, R2 – плоскость, R3 – пространство.

Множество наз. выпуклым, если

Свойство. V1, V2 – выпуклы выпукло.


 

 

§2. Системы линейных уравнений.

x1, x2, …, xn

а1x12x2 +…+аn xn = b

k1, k2, …, kn

x1 = k1, x2 = k2,…, xn = kn

Матрица системы столбец правых частей

размер m x n размер m x 1

Расширенная матрица системы размер m x (n+1)

Элементарные преобразования строк матрицы:

1) смена местами двух строк

2) умножение элементов строки на число

3) прибавление к элементам одной строки чисел, пропорциональных элементам другой строки

Преобразования обратимы. Система переходит в равносильную.

Если получается строка расширенной матрицы, состоящая из нулей – ее вычеркивают.

 

Метод Гаусса. Метод Жордана.

п р я м о й х о д

 

о б р а т н ы й х о д


 

b x1 x2 x3 Решение системы методом Жордана (Жордана-Гаусса)
-1       а11=1 – ключевой элемент: х1 исключается с помощью 1-го уравнения
    -2 -2 из 2-й строки вычитается 1-я, умноженная на 1
-2       из 3-й строки вычитается 1-я, умноженная на 1
-1       ключевая строка делится на ключевой элемент
    -3 -4 а22= -3 – ключевой элемент: х2 исключается с помощью 2-го уравнения
-1        
2/3     2/3 из 1-й строки вычли измененную 2-ю (деленную на -3)
-5/3     4/3 ключевая строка делится на ключевой элемент (на -3)
      -2 из 3-й строки вычли измененную 2-ю, умноженную на 3
        из 1-й строки вычли измененную 3-ю, умноженную на 2/3
        из 2-й строки вычли измененную 3-ю, умноженную на 4/3
-2       ключевая строка делится на ключевой элемент (на -2)

Бывают системы, не имеющие решений (несовместные), имеющие ровно 1 решение (см. пример) и имеющие бесконечное число решений.

 

несовместная имеет множество решений

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц

С=А+В, когда cij = aij + bij. Матрицы одного размера.

A+B=B+A, , , (A+B)+C=A+(B+C)

 

2. Умножение матрицы на число

В=k.А, когда bij = k.aij Получается матрица того же размера.

(km)A=k(mA), 1.A=A, 0.A= . (k+m)A=kA+mA, k(A+B)=kA+kB

3. Умножение матрицы на матрицу.

Правило: «строка 1-й матрицы на столбец 2-й матрицы по формуле скалярного произведения». Число столбцов 1-й матрицы должно быть равно числу строк 2-й.

А . В = С

m x n n x p m x p скалярное произведение

 

 

Свойства. 1. (АВ)С=А(ВС) 2. Em, En: Em.A = A, A. En = A (единичные)

3. 4. Если , то не обязательно или

5. даже для квадратных матриц 6. А(В+С)=АВ+АС, (А+В)С=АС+ВС

7. к(АВ)=(кА)В=А(кВ)

 

4. Транспонирование матриц – смена местами строк и столбцов.

Свойства. 1. (АТ)Т=А 2. (А+В)ТТТ 3. (кА)Т=кАТ 4. (А.В)ТТ.АТ

 

Обратная матрица.

А.В=В.А

Теорема. Пусть А,В,С – квадратные матрицы, причем А.В = Е, С.А = Е. Тогда В = С.

В = Е.В = (С.А).В = С..В) = С.Е = С

Обратная матрица единственна и обозначается А-1 А.А-1 = А-1.А = Е

Матричная запись системы

А.Х = В

Теорема. Если А – квадратная матрица, имеющая обратную А-1,то линейная система АХ=В имеет единственное решение при любых правых частях (любом векторе В) Х=А-1.В

Опр. Если , то система называется однородной.

Свойство. Однородная система всегда совместна, ее тривиальное решение .

Х1 Х2 У1 У2 Нахождение А-1 методом Жордана-Гаусса
       
       
       
  -1   -2
      -5
    -1  

Балансовая модель.

- валовая продукция, - конечная продукция, - внутренние затраты, которые зависят от валовой продукции линейно: z1=a11x1+a12x2+…+a1nxn и т.д.

Система уравнений материального баланса имеет вид

Х – АХ = У балансовая модель Леонтьева

- затраты продукции i-й отрасли на изготовление единицы валовой продукции j-й отрасли, коэффициенты прямых затрат – постоянные.

(Е – А)Х = У Продуктивная матрица:

Х = (Е – А)-1У = , S – матрица полных затрат

Свойства определителей.

Определитель – число, характеризующее квадратную матрицу.

Для матрицы 1-го порядка определитель

Система сводится к

Для матрицы 2-го порядка определитель

 

Для матрицы 3-го порядка определитель =

= а11.а22.а33 + а12.а23.а31 + а13.а21.а32 – а13.а22.а31 – а12.а21.а33 – а11.а23.а32

Всевозможные произведения чисел из разных строк и столбцов.

Если из матрицы вычеркнуть строки и столбцы так, что останется квадратная матрица, то ее определитель называется минором.

 

- минор, получающийся вычеркиванием i–й строки и j–го столбца квадратной матрицы

- разложение определителя по 1-й строке.

Алгебраическое дополнение (квадратной матрицы)

det A = a11 . A11 + a12 . A12 + …+ a1n . A1n

Верно разложение по любой другой строке.

Свойства. 1. Независимость строк и столбцов

2. det (a1 a2 …ai1 + ai2 … an) = det (a1 a2 …ai1 … an) + det (a1 a2 … ai2 … an)

3. det (a1 a2 …c.ai … an) = c. det (a1 a2 …ai … an)

4. det (a1 a2 …ai …aj … an) = - det (a1 a2 …aj … ai … an) - антисимметричность

Следствия. 1. Если два столбца (строки) определителя совпадают, то он равен нулю.

2. Если два столбца (строки) определителя пропорциональны, то он равен нулю.

3. Определитель не меняется, если к элементам одного столбца (строки) прибавить числа, пропорциональные элементам другого столбца (строки).

Понижение порядка. Если в строке определителя все элементы, кроме одного, равны нулю, то при разложении по этой строке получается определитель меньшего (на 1) порядка.

1. 2. 3. 4.

 

Ранг матрицы – наивысший порядок минора, отличного от нуля.

- ранг находят методом Гаусса.

Если ранг матрицы системы линейных уравнений меньше ранга ее расширенной матрицы, то система несовместна.

 

 

Формулы Крамера.

Теорема 1.

Теорема 2.

Присоединенная (взаимная, союзная) матрица – из алгебраических дополнений транспонированная:

a11 . A11+a12 . A12+ …+a1n . A1n = , a21 . A11+ a22 . A12+ …+ a2n . A1n = = 0

Если , то , отсюда - формула вычисления А-1, подставляем в формулу из §5 Х=А-1.В=

= b1A11 +b2A21+… bnAn1= = b1A12 +b2A22 +…+bnAn2 =

и т.д. – это числа из предыдущей матрицы.

, то есть , , …, - это и есть формулы Крамера.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-07 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: