Глава 1. Линейные системы и матрицы.
§1. n – мерное пространство Rn
Вещественные числа (СПб) = действительные числа (М).
x1, x2, …, xn – n -мерная точка M(x1, x2, …, xn).
Расстояние между M(x1, x2, …, xn) и N(y1, y2, …, yn)
Вектор
– радиус-вектор точки М.
Окрестность точки, ограниченное множество, замкнутое или открытое множество, предел последовательности n -мерных точек. Скалярное произведение.
Геометрически R1 – прямая, R2 – плоскость, R3 – пространство.
Множество наз. выпуклым, если
Свойство. V1, V2 – выпуклы выпукло.
§2. Системы линейных уравнений.
x1, x2, …, xn
а1x1 +а2x2 +…+аn xn = b
k1, k2, …, kn
x1 = k1, x2 = k2,…, xn = kn
Матрица системы столбец правых частей
размер m x n размер m x 1
Расширенная матрица системы размер m x (n+1)
Элементарные преобразования строк матрицы:
1) смена местами двух строк
2) умножение элементов строки на число
3) прибавление к элементам одной строки чисел, пропорциональных элементам другой строки
Преобразования обратимы. Система переходит в равносильную.
Если получается строка расширенной матрицы, состоящая из нулей – ее вычеркивают.
Метод Гаусса. Метод Жордана.
п р я м о й х о д
о б р а т н ы й х о д
b | x1 | x2 | x3 | Решение системы методом Жордана (Жордана-Гаусса) |
-1 | а11=1 – ключевой элемент: х1 исключается с помощью 1-го уравнения | |||
-2 | -2 | из 2-й строки вычитается 1-я, умноженная на 1 | ||
-2 | из 3-й строки вычитается 1-я, умноженная на 1 | |||
-1 | ключевая строка делится на ключевой элемент | |||
-3 | -4 | а22= -3 – ключевой элемент: х2 исключается с помощью 2-го уравнения | ||
-1 | ||||
2/3 | 2/3 | из 1-й строки вычли измененную 2-ю (деленную на -3) | ||
-5/3 | 4/3 | ключевая строка делится на ключевой элемент (на -3) | ||
-2 | из 3-й строки вычли измененную 2-ю, умноженную на 3 | |||
из 1-й строки вычли измененную 3-ю, умноженную на 2/3 | ||||
из 2-й строки вычли измененную 3-ю, умноженную на 4/3 | ||||
-2 | ключевая строка делится на ключевой элемент (на -2) |
Бывают системы, не имеющие решений (несовместные), имеющие ровно 1 решение (см. пример) и имеющие бесконечное число решений.
несовместная имеет множество решений
Действия над матрицами.
1. Сложение матриц
С=А+В, когда cij = aij + bij. Матрицы одного размера.
A+B=B+A, , , (A+B)+C=A+(B+C)
2. Умножение матрицы на число
В=k.А, когда bij = k.aij Получается матрица того же размера.
(km)A=k(mA), 1.A=A, 0.A= . (k+m)A=kA+mA, k(A+B)=kA+kB
3. Умножение матрицы на матрицу.
Правило: «строка 1-й матрицы на столбец 2-й матрицы по формуле скалярного произведения». Число столбцов 1-й матрицы должно быть равно числу строк 2-й.
А . В = С
m x n n x p m x p скалярное произведение
Свойства. 1. (АВ)С=А(ВС) 2. Em, En: Em.A = A, A. En = A (единичные)
3. 4. Если , то не обязательно или
5. даже для квадратных матриц 6. А(В+С)=АВ+АС, (А+В)С=АС+ВС
7. к(АВ)=(кА)В=А(кВ)
4. Транспонирование матриц – смена местами строк и столбцов.
Свойства. 1. (АТ)Т=А 2. (А+В)Т=АТ+ВТ 3. (кА)Т=кАТ 4. (А.В)Т=ВТ.АТ
Обратная матрица.
А.В=В.А
Теорема. Пусть А,В,С – квадратные матрицы, причем А.В = Е, С.А = Е. Тогда В = С.
В = Е.В = (С.А).В = С.(А.В) = С.Е = С
Обратная матрица единственна и обозначается А-1 А.А-1 = А-1.А = Е
Матричная запись системы
А.Х = В
Теорема. Если А – квадратная матрица, имеющая обратную А-1,то линейная система АХ=В имеет единственное решение при любых правых частях (любом векторе В) Х=А-1.В
Опр. Если , то система называется однородной.
Свойство. Однородная система всегда совместна, ее тривиальное решение .
Х1 | Х2 | У1 | У2 | Нахождение А-1 методом Жордана-Гаусса |
-1 | -2 | |||
-5 | ||||
-1 |
Балансовая модель.
- валовая продукция, - конечная продукция, - внутренние затраты, которые зависят от валовой продукции линейно: z1=a11x1+a12x2+…+a1nxn и т.д.
Система уравнений материального баланса имеет вид
Х – АХ = У балансовая модель Леонтьева
- затраты продукции i-й отрасли на изготовление единицы валовой продукции j-й отрасли, коэффициенты прямых затрат – постоянные.
(Е – А)Х = У Продуктивная матрица:
Х = (Е – А)-1У = SУ, S – матрица полных затрат
Свойства определителей.
Определитель – число, характеризующее квадратную матрицу.
Для матрицы 1-го порядка определитель
Система сводится к
Для матрицы 2-го порядка определитель
Для матрицы 3-го порядка определитель =
= а11.а22.а33 + а12.а23.а31 + а13.а21.а32 – а13.а22.а31 – а12.а21.а33 – а11.а23.а32
Всевозможные произведения чисел из разных строк и столбцов.
Если из матрицы вычеркнуть строки и столбцы так, что останется квадратная матрица, то ее определитель называется минором.
- минор, получающийся вычеркиванием i–й строки и j–го столбца квадратной матрицы
- разложение определителя по 1-й строке.
Алгебраическое дополнение (квадратной матрицы)
det A = a11 . A11 + a12 . A12 + …+ a1n . A1n
Верно разложение по любой другой строке.
Свойства. 1. Независимость строк и столбцов
2. det (a1 a2 …ai1 + ai2 … an) = det (a1 a2 …ai1 … an) + det (a1 a2 … ai2 … an)
3. det (a1 a2 …c.ai … an) = c. det (a1 a2 …ai … an)
4. det (a1 a2 …ai …aj … an) = - det (a1 a2 …aj … ai … an) - антисимметричность
Следствия. 1. Если два столбца (строки) определителя совпадают, то он равен нулю.
2. Если два столбца (строки) определителя пропорциональны, то он равен нулю.
3. Определитель не меняется, если к элементам одного столбца (строки) прибавить числа, пропорциональные элементам другого столбца (строки).
Понижение порядка. Если в строке определителя все элементы, кроме одного, равны нулю, то при разложении по этой строке получается определитель меньшего (на 1) порядка.
1. 2. 3. 4.
Ранг матрицы – наивысший порядок минора, отличного от нуля.
- ранг находят методом Гаусса.
Если ранг матрицы системы линейных уравнений меньше ранга ее расширенной матрицы, то система несовместна.
Формулы Крамера.
Теорема 1.
Теорема 2.
Присоединенная (взаимная, союзная) матрица – из алгебраических дополнений транспонированная:
a11 . A11+a12 . A12+ …+a1n . A1n = , a21 . A11+ a22 . A12+ …+ a2n . A1n = = 0
Если , то , отсюда - формула вычисления А-1, подставляем в формулу из §5 Х=А-1.В=
= b1A11 +b2A21+… bnAn1= = b1A12 +b2A22 +…+bnAn2 =
и т.д. – это числа из предыдущей матрицы.
, то есть , , …, - это и есть формулы Крамера.