КОЭФФИЦИЕНТ ПОПЕРЕЧНОЙ УСТАНОВКИ, ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ДАВЛЕНИЯ

До этого момента мы рассматривали случай, когда поперечное сечение моста состояло из одной балки, на которую и приходились все усилия от внешних нагрузок. Большинство же мостов имеют несколько главных несущих элементов, в таком случае нагрузка должна распределяться между ними в определённых долях.

Рассмотрим поперечное сечение моста под железную дорогу из сборного железобетона (рисунок Рисунок 36).

Рисунок 36. Поперечное сечение железнодорожного моста.

 

Если путь установлен без эксцентриситета относительно оси моста, то все усилия в такой схеме делятся поровну между двумя балками. Тогда постоянные и временные усилия определяют для всего моста, и прикладывают к расчётному элементу (блоку) половину от общих нагрузок. В этом случае доля нагрузки на рассчитываемый элемент равна 0,5.

Коэффициентом поперечной установки (КПУ) называют долю нагрузки, приходящуюся на рассчитываемый элемент. Этот коэффициент обычно обозначается символом β.

Для примера на рисунке Рисунок 36 коэффициент поперечной установки для постоянной и временной нагрузки равен 0,5. Если путь установлен со смещением, то один блок будет перегружен, другой же наоборот разгрузится, что вызовет изменение β. Естественно, что сумма β по всем блокам сечения всегда равна единице.

Для примера консольного моста, рассмотренного ранее, β = 1, все нагрузки воспринимаются одной балкой, которая и является расчётным элементом.

Для конструкции же на рисунке Рисунок 37 КПУ равен 1/3 (при условии достаточно жесткости плиты).

Рисунок 37. Однопутный мост на трёх балках под железную дорогу.

 

В мостах под железную дорогу определение КПУ обычно не составляет труда в силу точной фиксации временной нагрузки относительно оси моста. Для многопутных железнодорожных путей усилие от нескольких путей рассчитывают, загружая для каждого пути свою линию влияния.

В автодороге в силу большого количества полос в поперечном направлении и того что нагрузка не фиксирована, определение КПУ является значительно более сложной задачей.

КПУ позволяет свести пространственную схему конструкции к плоской и применять известные, простые схемы расчёта. Что даёт не только простоту вычислений, но и прозрачность.

Следует отметить, что последнее время определение КПУ всё чаще заменяют расчётом по поверхностям влияния. О таком расчёте будет сказано ниже.

Рассмотрим определение КПУ для моста с пролётом 32,40м и поперечным сечением, показанным на рисунке Рисунок 38. Будем считать, что балки пронумерованы слева направо (Б₁, Б_i… Б_n).

Рисунок 38. Поперечное сечение моста под автодорогу.

 

Определение КПУ связано с линиями влияния давления. Эти линии влияния строятся поперёк движения моста, по горизонтали у них откладывается положение единичной нагрузки на проезжей части, а по вертикали, какая доля усилия приходится на рассчитываемый элемент. Они являются линиями влияния виртуальных реакций R_i под балками.

Линии влияния давления можно получаться разными способами. Из простых методов наиболее распространены метод рычага и аналогия внецентренному сжатию.

Метод рычага строится на предположении, что жёсткость балок значительно больше жёсткости соединяющего их элемента. В этом случае соединяющим элементом является плита проезжей части, но это может быть как и поперечная балка так и система поперечных и диагональных связей.

Построим линию влияния для крайней левой балки (Б1). Когда единичная нагрузка стоит над краем левой консоли моста, всё усилие от неё воспринимает Б1. Откладываем единицу под консолью. Когда нагрузка стоит над самой балкой, то всё усилие опять воспринимается самой балкой. Снова откладываем под самой балкой Б1 единицу. Когда нагрузка оказывается над балкой Б2, усилие в Б1 отсутствует, откладываем ноль. При движении дальше опять получаем нули. Таким же образом получаем линию влияния для второй и последующих балок. Вид некоторых линий влияния дан на рисунке Рисунок 39.

Наиболее близок к реальному распределению такой метод в приопорном сечении балочных мостов. Также он нашёл широкое применение в расчётах сталежелезобетонных пролётов и металлических ферм.

 

Рисунок 39. Линия влияния давления, построенная по методу рычага.

 

Второй метод – метод аналогии с внецентренным сжатием. Этот метод берёт за основу прямо противоположную гипотезу, а именно то, что жёсткость поперечного объединения главных балок бесконечно велика по сравнению с их продольной жёсткостью. Таким образом, мы можем рассматривать пролётное строение как абсолютно жёсткий диск.

Тогда все балки будут деформироваться совместно, и реакцию в каждой балке можно определить от момента и нормальной силы. Найдём отдельно реакции от силы и момента в такой системе.

От нормальной силы все реакции получат одинаковое усилие равное 1/n, где n – количество балок в поперечном сечении.

Для определения реакций от момента напишем сумму моментов в такой системе (рисунок Рисунок 40).

Рисунок 40. Распределение реакций при повороте диска.

 

, где M –момент от единичной нагрузки.

С учётом совместности деформаций из треугольников получим -

Подставив в первую формулу выведем:

Отсюда реакция в связи R_i:

Так как все перемещения совместны, то линии влияния будут представлять собой прямые линии без изгибов. Поэтому нас интересуют только крайние точки, когда нагрузка расположена на левой или правой консоли плиты моста. Тогда момент:

(«плюс» для левой стороны, «минус» для правой)

, где L – полная ширина моста.

Полная формула для всех балок будет иметь следующий вид:

 

Для балки, установленной точно по центру пролётного строения, ординаты будут равны:

Для нашей схемы: a₁ = 5∙230 = 1150, a₂ = 3∙230 = 690, a₃ = 230; ; L =1452, n = 6.

Для первой балки правая и левая ординаты будут равны соответственно

Левая –

Правая –

Вид линии влияния по этому варианту дан на рисунке

Рисунок 41.

Рисунок 41. Общий вид линий влияния, построенных по методу аналогии с внецентренным сжатием.

 

Сумма всех ординат под каждой балкой во всех случаях должна быть равна единице.

 

Следующий способ – метод упругих опор. В этом методе плита проезжей части в поперечном направлении рассматривается как неразрезная балка на упругих опорах, упругие опоры ставятся по осям главных балок и жёсткость их определяется исходя их прогиба отдельных балок в рассматриваемом сечении. Такой метод не применим к балкам, имеющим диафрагмы и значительно изменяющим своё сечение по длине. Расчётная модель для такого метода представлена на рисунке

Рисунок 42. Расчётная модель для метода упругих опор.

 

Жесткость такой неразрезной балки равна жёсткости участка плиты, шириной один метр.

Податливость опор определяется исходя из прогиба балки в рассматриваемом сечении от единичной равномерно распределённой нагрузки.

;

Где l_p – расчётный пролёт балки;

a – относительное положение сечения a = x/lp;

E – модуль упругости;

J – момент инерции балки;

Δ_p – прогиб от единичной нагрузки;

K – жесткость пружины.

Линии влияния опорных реакций в такой системе можно получить с помощью метода конечных элементов, задав соответствующие жёсткости и прокатив нагрузку по плите.

Если сечение состоит из одинаковых балок и они установлены с равным шагом, то для такого случая существуют таблицы с готовыми решениями, где реакции в каждой опоре при каждом положении нагрузки даются в зависимости от количества балок и параметра α.

Где b – расстояние между осями балок.

Решение даётся в виде полинома для каждой реакции вида –

i – номер опоры в которой ищем реакцию;

j – номер опоры над которой стоит груз;

m – число балок.

Опоры (балки) нумеруются с нуля.

Опорная реакция для той же опоры I от момента, приложенного на крайней (нулевой опоре)

Для вычисления ординаты под консолью используется формула для экстраполяции –

Где b_k – длина консоли.

Примеры таких таблиц для мостов, у которых от четырёх до семи балок в поперечнике, мы приводим далее в таблицах Таблица 9-

Таблица 12.

В таблице для четырёх балок все формулы выписаны полностью и в сокращённом виде, а дальше даны только значение коэффициентов полиномов.

 

Таблица 9. Коэффициенты для четырёх балок в поперечнике.

	R

 

Таблица 10. Коэффициенты для пяти балок в поперечнике.

	R

При большем числе балок ординаты для средних балок можно брать как для семи-балочных с соответствующей сдвижкой.

При α = 0 получаем решение по методу внецентренного сжатия, при большой же жесткости балок (α > 100) получаем линию влияния для неразрезной балки.

Для примера построим линии влияния давления в вышерассмотренной системе из 6-ти балок.

;

Будем строить линии влияния для середины пролёта, тогда a = x/lp = 0,5 –

;

С этими данными можно построить конечноэлементную модель и получить необходимые линии влияния.

Таблица 11. Коэффициенты для шести балок в поперечнике.

	R

 

Рассмотрим получение линий влияния с помощью таблиц. Вычислим жесткостной коэффициент α. Для сечения в середине пролёта он будет равен –

 

Коэффициенты для шести балок даны в таблице Таблица 11. Вычислим их –

 

Таблица 12. Коэффициенты для семи балок в поперечнике.

	R

 

 

 

 

 

 

Рассчитаем ординаты под консолью –

Примечание: в силу симметрии , , .

Полученные линии влияния даны на рисунке Рисунок 43.

 

Рисунок 43. Линии влияния по методу упругих опор.

 

 

Рассмотрим теперь прямой метод для получения таких линий влияния.

Линии влияния давления по этому методу можно получить на модели или на натурном объекте, прокатывая нагрузку поперёк моста.

Рассмотрим систему балок, которая может быть как реальным мостом, так и математической моделью. Будем замерять изменение параметров в балках при перемещении нагрузки. Это могут быть прогибы, усилия или напряжения.

Для примера остановимся на прогибах.

Пусть есть n балок в которых мы будем замерять прогибы и m последовательных положений нагрузки поперёк моста. Пример с обозначениями дан на рисунке Рисунок 44.

Будем обозначать значение прогибы , где верхний индекс i обозначает номер положения нагрузки, а нижний j номер балки.

Тогда получим следующую матрицу прогибов.

 

 

Исходя из условия, что всё усилие воспринимается поперечным сечением, запишем условие для ординат линии влияния. Обозначим их z, остальные индексы те же, что и прежде.

 

 

То есть сумма всех ординат по створам должна быть равна единице. Тогда ординаты линий влияния будут вычисляться следующим образом:

Рисунок 44. К определению линии влияния давления.

 

Для примера дадим таблицы для вычисления ординат линии влияния. В таблице

Таблица 13 даны изгибающие моменты в балках модели от нагрузки, в таблице Таблица 15 – ординаты линий влияния.

 

Таблица 13

 

Таблица 14

 

Следует повторить, что этот метод основан на гипотезе о раздельной работе поперечных сечений. Это аналог гипотезы плоских сечений. Такую картину даёт модель, собранная из стержневых элементов, расположенных ортогонально, где продольные стержни моделируют главные балки, а поперечные – связи между ними (в нашем примере – плита проезжей части). Если применить не ортогональную решётку либо оболочечные или объёмные элементы, то мы уже не получим равенства нулю всех ординат. Ниже этот вопрос будет рассмотрен в связи с поверхностями влияния.

Сегодня для всех типовых конструкций есть таблицы с ординатами линий влияния. Так ВСН 32-89 даёт таблицы в зависимости от проекта, пролёта, расстояния между балками и количества балок. Значения даны для прямых мостов, для косых же значения идут в запас прочности при расчёте по моментам в середине моста.

Дадим наглядное сравнение результатов, полученных четырьмя способами (рисунки Рисунок 45 - Рисунок 47), где даны все линии влияния для балок Б1-3 из нашего примера.

На графиках видно, как отражаются предпосылки расчёта на виде самих графиков. Естественно, что загружение линий влияния по разным методам даст разный результат. Так что выбор метода получения этих графиков должен быть обоснован проектировщиком.

 

Рисунок 45. Линии влияния для Б1.

 

Рисунок 46. Линии влияния для Б2.

Рисунок 47. Линии влияния для Б3.

 

Необходимо отметить и то, что линии влияния давления меняются от створа к створу. Так на опоре сам вид их будет существенно отличаться от того, что получен в середине пролёта.