Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

2.1. Локальный экстремум функции

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х₀, х₀ .

Определение. Точку х₀ назовем точкой локального максимума (локального минимума) функции f, если существует δ > 0 такое, что для всякого х, принадлежащего интервалу (х₉- δ, х₀+ δ) справедливо неравенство f(х)≤ f(х₀) (f(х)≥ f(х₀)).

На рис. 4 изображен график функции, для которой х₁ является точкой локального максимума, а х₂ – точкой локального минимума.

Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума функции.

Теорема 1. ( Теорема Ферма ) Если функция дифференцируема в точке её локального экстремума, то производная функции в этой точке равна нулю.

► Пусть точка х₀ является точкой локального максимума функции f, и пусть f дифференцируема в этой точке. Тогда существует , а также односторонние производные и , причем . Найдется δ > 0 такое, что для всякого х, принадлежащего интервалу (х₀ - δ, х₀+ δ) справедливо неравенство f(х) ≤ f(х₀). Следовательно, при х (х₀ - δ, х₀) ≥ 0, а при х (х₀ , х₀+ δ) ≤ 0. Отсюда и из теоремы определьном переходе а неравенстве (гл.1, п. 4.5) следует: = = . Но ; значит, , и потому 0.

В случае локального минимума доказательство аналогично. ◄

Следствие. Пусть функция f дифференцируема в точке х₀ , а её производная в этой точке отлична от нуля: 0. Тогда х₀ не является точкой локального экстремума функции.

 

2.2. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа

Теорема 2 (Теорема Ролля) Пусть функция f непрерывна на сегменте [ a,b ], a<b, дифференцируема на интервале (a,b), а на его концах принимает одинаковые значения: f(a) =f(b). Тогда на интервале (a,b) существует хотя бы одна точка, производная в которой равна нулю.

► Так как f непрерывна на [ a,b ], она ограничена на нем, и на [ a,b ] существуют точки и такие,что f( ) = m, f( ) = M, где (гл. 1, п. 5.3). Очевидно, m≤ M. Если m= M, то функция тождественно на сегменте [ a,b ] равна константе, а тогда ее производная тождественно на интервале (a,b) равна нулю; следовательно, в случае m= M утверждение теоремы справедливо. Пусть теперь m < M. Так как f(a) =f(b), то хотя бы одна из точек и должна быть внутренней точкой сегмента, т.е. она принадлежит интервалу (a,b). Такая точка, очевидно, является точ- кой локального экстремума; по теореме Ферма производная функции в ней равна нулю.◄

Укажем на геометрический смысл доказанной теоремы. На рис. 5 изображен график функции f, удовлетворяющей условию теоремы Ролля. В частности, значения функции в точках a и b одинаковы. Рисунок наглядно демонстрирует, что на графике имеются точки, касательная в которых параллельна оси абсцисс. Если М₀ (х₀,у₀) - такая точка, то (см. п.1.5).

Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции f и g непрерывны на сегменте [ a,b ], a<b, дифференцируемы на интервале (a,b), причем производная не принимает значение нуль на этом интервале. Тогда на (a,b) существует точка ξ такая, что

.

► Заметим: g(b) ≠ g(a). Действительно, если бы имело место равенство g(b) = g(a), то функция g удовлетворила бы условию теоремы Ролля. Значит, производная должна была бы обратиться в нуль хотя бы одной точке интервала (a,b), что противоречит условию доказываемой теоремы.

Обозначим: , F(x) = f(x) - g(x). Нетрудно убедиться, что функция F(x) удовлетворяет на [ a,b ] всем требованиям условия теоремы Ролля. Следовательно, на интервале (a,b) найдется точка ξ, в которой производная принимает значение нуль: 0. Отсюда: .◄

Теорема 4. (Теорема Лагранжа) Если функция f непрерывна на сегменте [ a,b ], a<b, и дифференцируема на интервале (a,b), то на интервале (a,b) найдется точка ξтакая, что f(b) – f(a) = (b – a).

► Пусть g (х) = х на сегменте [ a,b ]. Нетрудно увидеть, что функции f и g удовлетворяют всем требованиям условия теоремы Коши; значит, на интервале (a,b) най- дется точка ξ такая,что , т.е. , что и требовалось доказать. ◄

Замечание 1. Равенство

f(b) – f(a) = (b – a)

называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она имеет прозрачный геометрический смысл. В равенстве слева стоит тангенс угла наклона к оси абсцисс хорды АВ, где А(а,f(а)), B(b,f(b)), а справа – тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной к графику функции в точке М (ξ, f( ξ )) (рис. 6). Значит, хорда и касательная параллельны. Таким образом, утверждение теоремы Лагранжа можно сформулироватьтак: на графике функции существует точка, в которой касательная к графику параллельна хорде, стягивающей его концы.

Замечание 2. Пусть х₀ – некоторая точка числовой оси, h ≠ 0, и пусть функция f непрерывна на сегменте,ограниченном точками х₀ и х₀ + h (здесь возможно и h> 0, и h< 0) и дифференцируема на интервале, ограниченном теми же точками. Тогда по теореме Лагранжа f(х₀ + h) – f(х₀) = h, где ξ – некоторая точка, лежащая между х₀ и х₀ + h. Это равенство можно записать так: Δ f(h) = h. Так как ξ лежит между х₀ и х₀ + h, то можно подобрать число θ, 0 < θ < 1, так, чтобы выполнялось ξ = х₀ + θ h; тогда Δ f(h) = + θ h) h.

2.3. Правило Лопиталя

Теоремы предыдущего пункта имеют многочисленные приложения в анализе. В частности, на них опирается так называемое правило Лопиталя – способ вычисления предела функции, который часто оказывается наиболее простым и эффективным.

Теорема 5. Пусть функции α и β дифференцируемы на некотором интервале (a, b), a<b, причем β′(х) ≠ 0 на (a, b), и .

Если , где А есть либо число, либо один из символов +∞, - ∞ или ∞, то и .

► Пусть х – точка, выбранная на (a, b). На сегменте [ х,b ] зададим две функции и :

, Эта пара функций удовлетворяет на сегменте [ х,b ] всем требованиям условия теоремы Коши; значит, на интервале (х,b) существует точка – обозначим её через ξ (х) - такая, что , т.е. . Здесь х – произвольная точка интервала (х,b), и так как х < ξ (х) < b, то при ξ (х) стремится к b слева. Отсюда следует:

. ◄

Теорема 6. Пусть функции α и β дифференцируемы на некотором интервале (a, b), a<b, причем β′(х) ≠ 0 на (a, b), и . Если , где А есть либо число, либо один из символов +∞, - ∞ или ∞, то и .

Доказатедьство этой теоремы вполне аналогично доказательству теоремы 5.

Теорема 7. Пусть функции α и β дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки х₀ , причем β′(х) ≠ 0 в ,и . Если , где А есть либо число, либо один из символов +∞, - ∞ или ∞, то и .

► Множество представляет собой обьединение двух интервалов (a, х₀) и (х₀ , b), где a и b - некоторыечисла такие, что a < х₀ < b. Так как , то . Применив к (a, х₀) теорему 5, а к (х₀ , b) теорему 6, получим: и ; значит, . ◄

Пример 1. Вычислить .

► В проколотой окрестности нуля = (-1,0) (0,1) числитель α(х) = tgx – x и знаменатель β(x) = arcsinx – ln(1+x) дифференцируемы, а производная β′(x) не принимает значение 0: при х (-1,0) (0,1)

Кроме того, , и По теореме 7 искомый предел . ◄

Если в тексте теоремы 5 заменить интервал (a, b) на интервал (a,+∞), а символ на символ , то получится формулировка теоремы, справедливость которой можно доказать ([3], § 12, п.1). Приведем пример её применения.

Пример 2. Вычислить .

► Числитель α(х) = π – arctgx и знаменатель β(x) = ln arctgx дифференцируемы на (0,+∞), а производная β′(x) = не прини- мает значение 0 на этом интервале. Кроме того, , а

.

Значит, искомый предел также равен –π. ◄

Справедливы теоремы, аналогичные теоремам 6 и 7. Формулировку одной из них можно получить, заменив в формулировке теоремы 6 интервал (a, b) на (- ∞, b ), а символ на . Другая теорема получается при замене в тексте теоремы 7 проколотой окрестности окрестностью бесконечности и символом .

Выше правило Лопиталя (предел отношения функций равен пределу отношения их производных) применялось для вычисления предела отношения двух бесконечно малых. Это правило применяется и при вычислении предела отношения двух бесконечно больших. Чтобы получить формулировки теорем, на которых оно основывается в случае бесконечно больших функций, нужно в формулировках приведенных выше теорем полагать функции α и β бесконечно большими. Для примера приведем формулировку теоремы, аналогичной теореме 5: пусть функции α и β дифференцируемы на интервале (a, b), a<b, причем β′(х) ≠ 0 на (a, b), и . Если , где А есть либо число, либо один из символов +∞, - ∞ или ∞, то и .

Пример 3. Вычислить и , где a > 1, μ > 0.

► Здесь числители и знаменатели являются бесконечно большими при х→ +∞. Они дифференцируемы на (0, +∞), причем производные знаменателей не принимают на этом интервале значение 0. Имеем: . . Если 0 < μ ≤ 1, то последний предел равен, очевидно, нулю; значит, при 0 < μ ≤ 1 = 0. Если же μ > 1, то есть предел отношения двух бесконечно больших, и можно снова приме- нить правило Лопиталя: = . Если 1 < μ ≤ 2, то последний предел равен нулю; значит(с учетом предыдущего результата), при 0 < μ≤ ≤ 2 = 0. Если же μ > 2, то есть предел отношения двух бесконечно больших, и мы вновь обращаемся к правилу Лопиталя.

Таким образом, для любого μ > 0, применив правило Лопиталя n+1 раз, где n есть целая часть μ, получим: = 0. ◄

В теоремах и рассмотренных выше примерах правило Лопиталя применялось для вычисления предела отношения двух бесконечно малых или или двух бесконечно больших функций. В других ситуациях, чтобы можно было воспользоваться этим правилом, следует предварительно преобразовать выражение под знаком предела так, чтобы свести задачу к отысканию предела отношения двух бесконечно малых или или двух бесконечно больших функций.

Пример 4. Вычислить .

► Имеем: = . Вычислим . Чтобы можно было воспользоваться правилом Лопиталя, преобразуем выражение под знаком предела: . Предел отношения двух бесконечно больших находим по правилу Лопиталя: . Итак, = = = 1. ◄

2.4. Формула Тейлора

Пусть n – натуральное число, большее единицы, а х₀ – вещественное число.

Определение. Будем говорить, что функция f n раз дифференцируема в точке х₀, если эта функция, а также её производные до порядка n- 1 включительно дифференцируемы в точке х₀ .

Функция, дифференцируемая в точке, определена в некоторой её окрестности,, причем в этой точке существует производная функции (см. п.1.2). Следовательно, если функция f n раз дифференцируема в точке х₀, то она и ее производные до порядка n- 2 включительно дифференцируемы в некоторой окрестности этой точки, а производная порядка n- 1 дифференцируема по крайней мере в точке х_0.. Заметим еще, что n – крат- ная дифференцируемость f в точке х₀ эквивалентна существованию в этой точке производных функции до порядка n включительно.

Ради единообразия будем говорить, что функция, дифференцируемая в точке х₀ (см. определение в п.1.2), дифференцируема в этой точке один раз.

Пусть функция f n раз, где n – любое натуральное число, дифференцируема в точке х₀, Обозначим: t₀ = f(x₀); t_k = , где k = 1, …, n;

T_n(x) = t₀ + t₁(x-x₀) +…+ t_n(x-x₀) .

Числа t_k, k = 0, 1, …, n, называют коэффициентами Тейлора функции f. Очевидно, T_n(x) представляет собой алгебраический многочлен степени не выше n; его называют многочленом Тейлора функции f. Нетрудно убедиться, что в точке х₀ значения многочлена T_n(x) и его производных до порядка n включительно совпадают со значениями в этой точке функции f и её соответствующих производных:

T_n(x₀) = f(х₀); T _n(x₀) = при k = 1, …, n. (8) Еще одно свойство многочлена Тейлора описано в следующей теореме.

Теорема 8. (Теорема Тейлора-Пеано) Пусть функция f n раз, где n – любое натуральное число, дифференцируема в точке х₀ , Тогда справедлива асимптотическая формула:

f (х) = T_n(x) + о((х-х₀) ), х→х₀. (9)

► Пусть сначала n= 1, т.е. f дифференцируема в точке х₀ (п.1.2):

Δ f(h) = f(x₀+h) – f(x₀) = + o(h). Положив здесь h = x –x₀, получим: f(x) – f(x₀) = (х-х₀)+ o(х-х₀). Отсюда, так как T₁(x) = f(x₀) + (х-х₀), следует: f (х)=T₁(x) + о((х-х₀)), х→х₀ . и теорема доказана для случая n= 1.

Пусть теперь n> 1. Обозначим: r_n (x) = f (х) - T_n(x). Требуется доказать, что r_n (x) = о((х-х₀) ), х→х₀, т.е. что .Заметим: так как f (х) n раз дифференцируема,то и r_n (x) обладает тем же свойством, причем из (8) следуют равенства

r_n (x₀) = 0; r_n (x₀) = 0 при k = 1, …, n. (10)

Обозначим: α(х) = r_n (x), β(х) = (х-х₀) . Нетрудно убедиться, что эта пара функций удовлетворяет в окрестности x₀ всем требованиям условия теоремы 7; значит, если есть либо число, либо один из символов +∞, - ∞ или ∞, то = , т.е., если существует конечный или бесконечный предел , то = . Снова введем две функции α(х) = r′_n (x) и β(х) = n (х-х₀) и применим к ним теорему 7: если существует конечный или бесконечный предел = ,то = и, значит, = .

Повторив это рассуждение n- 1 раз, придем к выводу: если существует конечный или бесконечный предел , то

= . (11)

Функция α(х) = дифференцируема в точке х₀, поэтому α(х)- α(х₀) = = α′(х₀) (х-х₀) +о(х-х₀), т.е. - = . Но = = 0 (см. (10)); значит, = . После подстановки в (11), получим:

= = 0, что и требовалось доказать. ◄

Равенство (9) называют разложением функции f по формуле Тейлора в окрестности точки х₀; слагаемое о((х-х₀) ) называют остаточным членом этой формулы. Ее называют также формулой Тейлора порядка n c остаточным членом в форме Пеано.

Таким образом, разность между функцией f (х) и ее многочленом Тейлора T_n(x) яаляется при х →х₀ бесконечно малой, порядок которой выше n. Заметим,что среди всевозможных алгебраических многочленов степени не выше n таким свойством обладает только многочлен T_n(x). Точнее, справедлива следующая теорема.

Теорема 9. (О единственности многочлена наилучшего приближения). Пусть f - -функция, n раз дифференцируемая в точке х₀, а Р_n (x) – некоторый алгебраический многочлен степени не выше n. Если справедливо асимптотическое представление

f(х) = Р_n (x) + о((х-х₀) ). то Р_n (x) есть многочлен Тейлора T_n(x) функции f(х).

► По условию теоремы f(х) = Р_n (x) + о((х-х₀) ). Кроме того, в силу теоремы Тейлора - Пеано f (х) = T_n(x) + о((х-х₀) ). Вычитая одну формулу из другой, получим: T_n(x) - Р_n (x) = о((х-х₀) ). Отсюда следует: при х →х₀

T_n(x) - Р_n (x) → 0 и 0, j = 1,2, …, n. (12) Имеем: T_n(x) = , Р_n (x)= ;

T_n(x) - Р_n (x) = (t₀ –p₀) +(t₁ –p₁) (x-x₀) + (t₂ –p₂) (x-x₀) + …+ (t_n -p_n) (x-x₀) .

Отсюда и из T_n(x) - Р_n (x) → 0 следует: t₀ –p₀ = 0, т.е. t₀ = p₀ . Значит,

T_n(x) -Р_n (x)= (t₁ –p₁) (x-x₀) + (t₂ –p₂) (x-x₀) +(t₃ –p₃)(x-x₀) +…+ (t_n -p_n) (x-x₀) ;

(t₁ –p₁) + (t₂ –p₂) (x-x₀) +(t₃ –p₃)(x-x₀) …+ (t_n -p_n) (x-x₀) . Так как 0, то t₁ –p₁ = 0, т.е. t₁ = p₁. Следовательно,

(t₂ –p₂) (x-x₀) +(t₃ –p₃)(x-x₀) + …+ (t_n -p_n) (x-x₀) ;

(t₂ –p₂) +(t₃ –p₃)(x-x₀) +…+ (t_n -p_n) (x-x₀) . Отсюда, так как , следует t₂ =p_2..

Продолжая описанный процесс и используя равенства (12), в итоге докажем равенства t_k = p_k, k = 1,2, …, n. Значит, T_n(x)≡ Р_n (x). ◄

Приведем несколько примеров разложений функций по формуле Тейлора в окрестности х₀ = 0. Такие разложения называют также разложениями (формулами) Маклорена.

Пример 5, Пусть f(х)= , х₀ = 0.

Эта функция имеет производные любого порядка; поэтому для нее формулу (9) можно записать при любом натуральном n. Пусть k – неко- торое натуральное число; имеем: f (х)= . Найдем коэффициенты Тейлора: t₀ = f( 0 )= =1; при всяком натуральном k t_k = .

Пусть n – любое натуральное число Запишем многочлен Тейлора степени n: T_n(x) = = . Таким образом, разложение порядка n функции f(х)= в окрестности х₀ = 0 выглядит так:

= .

Пример 6. Пусть f(х)= sinx, х₀ = 0.

При любом натуральном k (см., нпример, [3], п. 11.1). Найдем коэффициенты Тейлора: t₀ = f( 0 )= sin 0 = 0; при k ≥ 1

t_k =

Пусть n – любое натуральное число. Запишем формулу Маклорена порядка 2 n для функции sinx: sinx = + o(), т.е.

sinx = .

Пример 7. Пусть f(х)=cos x, х₀ = 0.

При любом натуральном k . Найдем коэффециенты Тейлора: t₀ = f( 0 )= cos 0 = 1; при k ≥ 1

t_k =

Пусть n – любое натуральное число. Запишем формулу Маклорена порядка 2 n+ 1для функции cosx: cosx = + o(), т.е.

cosx = .

Пример 8. Пусть f(х)=ln(1+x), х₀ = 0.

Методом математической индукции нетрудно проверить: при всяком натуральном k . Значит, t₀ = f( 0 ) = 0, при всяком натуральном k t_k = . Пусть n – любое натуральное число. Запишем формулу Маклорена порядка n: ln(1+x) = + o(), т.е.

ln(1+x) = .

Пример 9. Пусть f(х)=(1+x) , где μ – любое вещественное число, х₀ = 0.

Методом математической индукции нетрудно проверить: при всяком натуральном k . Найдем коэффециенты Тейлора: t₀ = f( 0 )= 1; при k ≥ 1 t_k = . Пусть n – любое натуральное число. Запишем формулу Маклорена порядка n: (1+x) = + o(), т.е.

(1+x) = .

Пусть функция f дифференцируема n раз в точке х₀ , причем f(х₀) = 0. Тогда функция f является бесконечно малой при х → х₀ , t₀ = f( 0 )= 0, и формула (8) принимает вид:

f (x) = t₁(х-х₀) + t₂(x-x₀) +…+ t_n(x-x₀) + о((х-х₀) ). Среди коэффициентов t₁, t₂, …, t_n также могут оказаться равные нулю; не исключен и такой случай, когда все они равны нулю. Таким образом, если функция f является бесконечно малой при х → х₀ , возможны два случая: либо найдется натуральное р, 1≤ р ≤ n, такое,что t_k = 0, k = 0,1, …, p- 1, a t _р≠ 0, либо все коэффициенты t₁, t₂, …, t_n равны нулю.В первом случае

f (x) = t_р(х-х₀) + t_р+1(x-x₀) +…+ t_n(x-x₀) + о((х-х₀) )=

= t_р(х-х₀) + о((х-х₀) ); значит, при х → х₀ f (x) является бесконечно малой порядка р, а t_р(х-х₀) есть её главная часть. Во втором случае, очевидно, порядок бесконечно малой f (x) выше n. Из сказанного видно, что разложения по формуле Тейлора могут быть использованы для определения порядка бесконечно малых и выделения их главных частей.

Пример 10. Вычислить .

► Воспользуемся разложением примера 6: . Отсюда: ; значит, главная часть знаменателя есть - . Воспользуемся разложением примера 8: ; отсюда: . Значит, главная часть числителя есть . Заменив числитель и знаменатель их главными частями, получим:

= . ◄

Разложения по формуле Тейлора широко используются в приближенных вычислениях. Из представления (9) следует, что при х, близких к х₀, f(x) “почти не отличается” от T_n(x); значит, T_n(x) может быть принято в качестве приближенного значения f(x). Однако, формула (9) не дает возможности оценить погрешность приближенного равенства f(x) ≈ T_n(x). В приведенной ниже теореме к функции f предьявляются более жесткие сравнительно с теоремой 8 требования, зато остаточный член формулы Тейлора записан в виде, удобном для получения оценки погрешности.

Теорема 10. (Теорема Тейлора - Лагранжа) Пусть функция f n + 1раз дифференгцируема в некоторой окрестности точки х₀, х₀ . Тогда для всякого х, х , х ≠ х₀, найдется ξ, лежащее между х и х₀, такое что справедливо равенство: f (х) - T_n(x) = .

► Пусть х , и пусть для определенности х > х₀ . На сегменте [ х₀, х ] определим две функции φ и ψ: при z

.

Эти функции удовлетворяют на сегменте [ х₀, х ] всем требованиям условия теоремы Коши (теоремы 3). Следовательно, существует ξ [ х₀, х ] такое, что . т.е. .

При z имеем:

φ′ (z) = - = - Суммы и состоят из одних и тех же слагаемых, эти суммы одинаковы; поэтому после сокращений получим: φ′ (z) = - . Следовательно, φ′ (ξ) = - . Заметим еще: . Подставив φ′ (ξ) и ψ′ (ξ) в равенство (см. выше), окончательно получим: f (х) - T_n(x) = .

В случае х < х₀ доказательство аналогично. ◄

Приведем пример применения этой теоремы.

Пример 11. Найдем приближенное значеиие . Положим f(x)= = , х = = 8,12, х₀ = 8, и запишем формулу Тейлора-Лагранжа при n= 1: , т.е. , где ξ – некоторое число, 8 < ξ < 8,12. Подсчитаем . Имеем: , т.е. = 2 + . Таким образом, ≈ ≈ (см. также пример 12, § 1). Оценим погрешность этого равенства. Имеем: , т.е. | - | = . Отсюда, так как 8 < ξ < 8,12: | - | = 0,00005. Итак, абсолютная погрешность приближенного равенства ≈ не превышает 0,00005.

 

2.5. Дифференциалы высших порядков

Если функция f дифференцируема в точке х₀, то для её приращения справедливо асимптотическое представление (h) = Аh + o(h), где A = f′(x₀) (см. п.1.4). Покажем, что если функция f n, n> 1, раз дифференцируема в точке х₀ , <