Дисперсионный анализ урожайных данных позволяет определить точность опыта и достоверность (доказуемость) испытываемых вариантов. Не менее важной задачей в исследованиях является установление взаимосвязи урожайности с факторами, повлиявшими на неё. Множественной корреляцией называется такая, когда исследуется связь урожайности с несколькими факторами, например, содержанием азота, фосфора, калия и других элементов в почве.
По форме корреляционная связь может быть прямолинейной и криволинейной, по направлению – прямой и обратной. Под прямолинейной корреляцией понимают такую зависимость, когда с увеличением средней величины результативного признака (урожайности) увеличивается средняя величина другого (содержание азота в почве), или, наоборот, с увеличением одного признака уменьшается средняя величина другого. В первом случае величина называется прямой или положительной, во втором – обратной или отрицательной.
При определении тесноты связи в агрохимических исследованиях результативный признак (урожайность) принимают за У (функция), а признаки, с которыми устанавливается связь, обозначают индексами Х (аргумент). Связь между функцией и аргументом выражается уравнением регрессии или корреляционным уравнением. При простой регрессии уравнение имеет вид У = f (x), а при множественной У = f (x, z, v).
Для оценки тесноты (силы) связи вычисляют коэффициент корреляции и корреляционное отношение.
При высокой тесноте связи рассчитывается уравнение регрессии, по которому можно предсказать значение результативного признака (урожайности) в зависимости от факториальных признаков.
Ниже приводится пример установления прямолинейной зависимости между урожайностью яровой пшеницы (У) и содержанием нитратного азота в почве перед посевом (Х):
1. Составляют таблицу, куда вносят средние значения урожайности (функция, У) и средние значения содержания нитратного азота в почве (аргумент, Х);
2. Суммируют значения У и Х, получая åУ и åХ.;
3. Вычисляют средние значения 
и 
, разделив åУ на l и åХ на l. В данном примере = 104,8: 5 = 20,96, = 16,44: 5 = 3,29;
4. Вычисляют отклонения урожайности и содержания азота от средних величин. Сумма положительных и отрицательных величин должна равняться нулю. å(У – ) = 0, å(Х – ) = 0;
5. Отклонения от средней возводят в квадрат, освобождаясь от знаков + и –, получая (У – )2 и (Х – )2;
6. Суммируют квадраты отклонений, получая å(У – )2 = 212,18 и å (Х – )2 = 12,37;
7. Находят произведения средних отклонений и их сумму å(У – )(Х – ) = 48,92.
Коэффициент корреляции, обозначаемый индексом r, находят по формуле
Коэффициент корреляции является безмерной величиной, изменяющейся в области – 1 < r < + 1. Считается что при r < 0,3 корреляционная зависимость между признаками (функцией и аргументом) слабая, при r = 0,3-0,7 – средняя, а при r > 0,7 – сильная.
Установление корреляционной зависимости между урожайностью яровой пшеницы и содержанием нитратного азота в почве
| Варианты опыта | Урожайность, ц/га (У) | Содержание N-NO3, мг/кг (Х) | Отклонение от средней | Квадраты отклонений | Произведение
(У – )∙
(Х – )
| ||
| У –
| Х –
| (У – )2
| (Х – )2
| ||||
| 1 – 0 (без удобрений) | 12,7 | 1,82 | - 8,26 | - 1,47 | 68,22 | 2,16 | 12,14 |
| 2 – Р60К60 (фон) | 15,2 | 1,87 | - 5,76 | - 1,42 | 33,17 | 2,01 | 8,17 |
| 3 – Фон + N30 | 20,4 | 2,65 | - 0,56 | - 0,64 | 0,31 | 0,40 | 0,35 |
| 4 – Фон + N60 | 26,8 | 4,15 | 5,84 | 0,86 | 34,10 | 0,73 | 5,02 |
| 5 – Фон + N90 | 29,7 | 5,95 | 8,74 | 2,66 | 76,38 | 7,07 | 23,24 |
| Сумма | (Σу)= 104,8 | (Σх)=16,44 | 212,18 | 12,37 | 48,92 | ||
| Среднее | ( )=
20,9
| ( )=3,3
|
В нашем примере связь между урожайностью яровой пшеницы и содержанием нитратного азота сильная.
Для оценки надёжности выборочного коэффициента корреляции вычисляют его ошибку и критерий существенности.
Стандартную ошибку коэффициента корреляции определяют по формуле
где Sr – ошибка коэффициента корреляции;
r – коэффициент корреляции;
n – число выборки, то есть пар значений (5).
Критерий существенности коэффициента корреляции рассчитывают по формуле
Если trфакт. ≥ trтеор., то корреляционная связь существенна и, наоборот, trфакт. < trтеор. – несущественна.
Теоретическое значение критерия t находят по таблице Стьюдента, принимая 5 %-ный уровень значимости (приложение). Число степеней свободы принимают равным n – 2 = 3.
В приведённом примере tтеор. = 3,18, то есть меньше, чем tфакт., следовательно, связь существенна.
Не менее важным показателем при корреляционном анализе является коэффициент детерминации (∂ух), который получают возведением в квадрат коэффициента корреляции (r2). Он показывает долю в процентах тех изменений, которые зависят от изучаемого фактора. В приведённом примере коэффициент детерминации ∂ух = 90 %. Урожайность яровой пшеницы на 90 % зависела от содержания азота в почве и на 10 % – от других факторов.
Коэффициент корреляции указывает на тесноту связи между изучаемыми признаками, но не позволяет судить, как изменяется функция (У) при изменении аргумента на единицу измерения. Это можно решить с помощью регрессионного анализа.
Уравнение линейной регрессии У на Х имеет вид У = 
+ bух(Х – ), где и – средние арифметические для ряда Х и У, bух – коэффициент регрессии У по Х.
Коэффициент регрессии вычисляют по формулам:
Произведение коэффициентов регрессии равняется квадрату коэффициента корреляции: bух · bху = r2 = 3,95 · 0,23 = 0,9.
Ошибку коэффициента регрессии вычисляют по формулам:
;
.
Подставив выше найденные значения в уравнение линейной регрессии, вычисляют уравнение прямой линии У = 20,9 + 3,95(Х – 3,29) = 7,96 + 3,95Х.
По уравнению линейной регрессии корреляционная связь может быть изображена графически. На графике откладываются точками значения аргументов (х) без учёта каких-либо поправок на ошибки, полученные при расчётах коэффициента регрессии. Точечная диаграмма при коэффициенте корреляции > 0,7 может показать сильный разброс индивидуальных значений аргумента и не даёт возможность провести прямую линию по ним, а следовательно, точно определить результативность признака У. Теоретическое значение линии регрессии находят по рассчитанному уравнению регрессии, подставляя значения признака Х в формулу, в приведённом примере У = 7,96 + 3,95Х.
Х (факт.) 1,82 1,87 2,65 4,15 5,95
У (теор.) 15,6 15,8 18,9 24,8 31,9.
Построив график уравнения простой линейной корреляции и имея цифровые показатели аргумента (х), можно рассчитать ожидаемую урожайность культуры; однако не следует при этом не учитывать другие факторы, одновременно влияющие на неё.