Ожидаемую доходность 
актива 
можно определить не только с помощью SML, но и с помощью так называемых индексных моделей вида:
, (20)
где 
– доходность актива при отсутствии воздействия на него рыночных факторов; 
– индексы – некоторые макроэкономические показатели, например, индекс выпуска продукции, индекс доходности рынка ценных бумаг, индекс кредитных ставок и т.д.; 
– случайная ошибка, показывающая, что доходность может изменяться в некоторых пределах, независимо от влияния факторов . Другими словами, уравнение (20) представляет собой линейное уравнение множественной регрессии.
Рассмотрим однофакторную индексную рыночную модель У. Шарпа:
, (21)
где в качестве индекса выступает доходность рыночного портфеля, 
– коэффициент бета актива, – независимая случайная величина с 
, 
, 
. То есть характеризует специфический риск актива, который нельзя объяснить действием рыночных сил.
Уравнение (21) является уравнением линейной парной регрессии. При применении его к широко диверсифицированному портфелю 
, значением можно пренебречь 
, поэтому модель (21) примет вид:
. (21’)
Графически модель Шарпа (21) представляет собой прямую на плоскости 
, и показывает зависимость между доходностью рынка 
и доходностью актива .
специф. риск 
рыночный риск
0
Рис.10.
И если некоторый актив не лежит на данной прямой, то его риск состоит из рыночного и специфического 
рисков.
Учитывая формулу для линейной корреляционной зависимости, можем (21) записать в виде:
.
Тогда риск актива можно представить как
, (22)
где 
– рыночный риск актива, 
– нерыночный риск актива.
Составим теперь портфель ценных бумаг из активов , доходности которых выражаются соотношениями вида (21):
,
причем средние доходности равны
,
а вариации
.
Пусть портфель имеет структуру 
, тогда
.
Или, обозначив 
, 
, получим:
.
Вычислим дисперсию портфеля:
.
Здесь 
– собственная дисперсия портфеля, 
- собственный риск портфеля; 
– рыночная дисперсия, а 
- рыночный риск портфеля.
Предположим, что капитал портфеля вложен равными долями во все активы, то есть 
. Тогда, если ограничены сверху некоторым числом 
, то
, при 
,
то есть собственный риск портфеля уменьшается при увеличении числа активов, входящих в него.
Если 
ограничены снизу, например, как 
, то
.
То есть 
при к нулю не стремится, что говорит о том, что от рыночного риска избавиться невозможно.
Таким образом, мы можем сформулировать задачу формирования портфеля заданной эффективности 
и минимального риска как
(23)
№ 13. По данным следующей таблицы, в которой указаны доходности 
ценной бумаги 
и доходности 
рыночного портфеля на протяжении 10 временных периодов, найти:
а) выборочное уравнение регрессии на (индексная модель У. Шарпа);
б) коэффициент детерминации
в) оценить переоценен или недооценен данный актив, если доходность безрисковых бумаг равна 8%
г) вычислить собственный и рыночный риски
д) построить линии SML и CML.
|
| ||||||||||
|
|
Решение. Составим расчетную таблицу:
|
|
| 
| 
| 
|
|
Для построения уравнения регрессии:
,
вычислим:
,
,
,
,
.
Следовательно,
,
или
.
Вычислим коэффициент детерминации:
.
Другими словами, 85,71% изменений доходности данного актива вызваны влиянием рыночных факторов. а 14,29% - влиянием других факторов.
Вычислим дисперсию ошибки (погрешности)
по формуле
,
для чего составим расчетную таблицу:
|
|
| 
|
| 
|
| 16,7142 | -0,7142 | 0,51008 | ||
| 14,1429 | -0,1429 | 0,02042 | ||
| 14,1429 | -0,1429 | 0,02042 | ||
| 16,7142 | 0,2858 | 0,08168 | ||
| 13,2858 | -0,2858 | 0,08168 | ||
|
| 1,71428 |
Таким образом:
.
Учитывая, что бета актива равна 
. вычислим:
а) рыночный риск актива
,
б) собственный риск актива
,
в) полный риск актива
.
Оценим по параметру 
, переоценен, или недооценен данный актив, если доходность безрисковых ценных бумаг составила 8%. Для этого вычислим значение параметра :
.
То есть данный актив недооценен, его курсовая стоимость будет расти, надо покупать.
Построим теперь графики SML и CML:
SML
15 
10 
0 0,8571 1 
Рис.11.
CML
15
10
0 1,0954 1,1832 
Рис.12.