ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Ч. 1

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫМЕХАНИКИ

Пример 1. Движение материальный точки по прямолинейной траектории описывается уравнением

x = At+Bt²+Ct³,

где А = 1м/с, В = -2м/с² и С =4 м/с³. Найти в момент t₁ = 3м/с координату точки, ее скорость и ускорение.

Решение. Подставив в уравнение движения (1) значения А, В, С и t₁, находим координату точки x₁: x₁ =93м.

Учитывая, что скорость в прямолинейном движение есть производная по времени от координаты, продифференцируем уравнение (1):

(2)

Подставив в это уравнение значения А, В, С и t₁, получим

v₁ = 97 м/с.

Так как ускорение в прямолинейном движении есть производная по времени от скорости, продифференцируем уравнение (2):

. (3)

Подставив в это уравнение значения В, С и t₁, находим

а₁= 68 м/с².

Ответ: x₁=93м; v₁ = 97 м/с; а₁=68 м/с².

Пример 2. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением, которое изменяется со временем по закону

а =At,(1)

где А =2м/с³. Найти ускорение, скорость и координату точки в момент t₁ =3 c, если в начальный момент времени ее координата x_o =0 и скорость v_o =4м/с.

Решение. Подставив значение t₁ в формулу (1), находим ускорение

a₁= 6м/с².

Выражаем дифференциал скорости: dv=a dt или dv=At dt. Интегрируем последнее выражение: , откуда

. (2)

Константу (const) интегрирования находим из начального условия (при t =0 имеем v=v_o): v_o=const. Отсюда вместо (2) имеем

. (3)

Подставляя в (3) значения А, t₁ и v_o, получаем v₁ =13 м/с.

Выражаем дифференциал координаты: dx=v dt или, используя (3),

. Интегрируем последнее выражение

, откуда . (4)

Учитывая начальные условия (при t=0 x=0), находим, что постоянная интегрирования равна нулю. Отсюда из (4) имеем

. (5)

Подставляя в (5) значения А, t₁ и v₀, получаем

x₁ =21 м.

Ответ: a₁=6м/с^2; v₁=13 м/с; x₁=21 м.

Пример 3. Тело массой 1кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением S=2t²+4t+1. Определить работу силы за 10с с начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.

Дано: m=1кг, t=10c, S=2t²+4t+1.

Найти: A, E_к=f(t).

Решение. Введем обозначение S=D·t² + B·t +C,

где D = 2м/с², В = 4 м/с, С = 1 м.

Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный интеграл: . (1)

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна

. (2)

Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим находим

, 3)

, (4)

Тогда (5)

Из выражения (3) определим dS:

. (6)

Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим

. (7)

По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10 с с начала ее действия:

,

.

Кинетическая энергия определяется по формуле

(8)

Подставляя (3) в (8), имеем

. (9)

Проведем проверку размерности:

- для А: ;

- для E_K: .

Ответ: А=960 Дж, Е_к=m(8∙t² + 16∙t +8).

Пример 4.. Две гири массами m₁ = 3 кг и m₂ = 1 кг соединены нерастяжимой нитью через сплошной цилиндрический блок массой m_б = 2 кг. Скольжение нити по блоку и трение в оси отсутствуют. Найти силы натяжения нитей Т₁ и Т₂ и ускорение а движения гирь.

Решение. Из различия масс тел (гирь) ясно, что блок будет вращаться против часовой стрелки (см. рис.1). рассмотрим силы, действующие на отдельные тела:

На первое тело действует сила тяжести и сила натяжения нити. На основании второго закона Ньютона запишем:

m₁g – T₁ = m₁a. (1)

На второе тело действует сила тяжести и сила натяжения нити. Рис.1

Запишем второй закон Ньютона, учитывая направление ускорения:

T₂ – m₂g = m₂a. (2)

Применим к блоку основное уравнение динамики вращательного движения

T₁r – T₂r = Jε, (3)

где r – радиус блока (плечо сил натяжения). Ускорение тел а будет равно тангенциальной составляющей ускорения наружных точек блока, поэтому на основании (3.4) запишем: (4)

Момент инерции сплошного цилиндра равен

(5)

Решая уравнения (1,2,3) находим неизвестное значение Т₁, Т₂, а.

Ответ: Т₁ = 17,6Н, Т₂ = 13,7Н, а = 3,9 м/с².

Пример 5.. Для создания «искусственной тяжести» в космическом корабле используется центрифуга с радиусом вращения r = 2 м. Сколько оборотов в минуту (n) должна делать центрифуга, чтобы космонавт испытывал силу реакции опоры в горизонтальном направлении, соответствующую его весу в обычных условиях?

Решение. Для выполнения условий задачи на космонавта в центрифуге должна действовать центробежная сила инерции, равная силе тяжести:

mω²r = mg или , (1)

где - угловая скорость, n – число оборотов в минуту.

Отсюда .

Ответ: 21 об/мин.

Пример 6. Написать уравнение гармонического колебания, если амплитуда его 10 см, максимальная скорость 50 см/с, начальная фаза 15°. Определить период колебания и смещение колеблющейся точки через 0,2 с от начала колебания, если А = 10 см; v _max = 50 см/с = 0,5 м/с; φ₀ = 15°; t=0,2с.

Найти: x(t), T, x (0,2).

Решение. Уравнение гармонического колебания с начальной фазой φ₀ имеет вид

x = A sin(ωt + φ₀).

Циклическая частота ω = 2π/Т. Скорость колеблющейся точки находится как первая производная смещения от времени:

.

Максимальная скорость достигается при значении

, v_max =Aw,

откуда , .

.

Выразим начальную фазу в радианах

В момент времени t = 0,2 с смещение x(t) будет равно:

Ответ: , ,

Пример 7. Звуковая волна, которая воспринимается человеком, проходит по разным структурам уха: от воздушно среды в слуховом проходе до жидкой (перилимфа) – во внутреннем ухе. Аппарат среднего уха способствует наиболее эффективной передаче энергии волны. Вычислить, используя уравнение плоской волны

,

какая часть интенсивности волны проходит через границу воздух-вода при нормальном падении волны.

Решение. Доля интенсивности плоской волны, прошедшей во вторую среду, определяется коэффициентом проникновения звуковой волны β. Этот коэффициент приближенно равен учетверенному отношению волновых сопротивлений сред:

.

Ответ: .

Пример 8. Два одинаковых маленьких шарика с зарядами 1,8∙10^-7 Кл и -8∙10^-8 Кл приведены в соприкосновение и вновь раздвинуты на расстояние 0,5 м. Определить силу взаимодействия между ними.

Дано: q₁ =1,8∙10^-7 Кл; q₂ =-8∙10^-8 Кл; r=0,5 м.

Найти: F.

Решение. После соприкосновения заряды шаров стали равны между собой, но сумма заряда не изменяется: .

Тогда, .

По закону Кулона сила взаимодействия равна: ,

где - электрическая постоянная.

Получаем, .

Ответ: F=9·10^-5Н.

Пример 9. Проволочная прямоугольная рамка со сторонами 20 и 30 см расположена в однородном магнитном поле перпендикулярно к силовым линиям. Определите индукцию этого поля, если при его исчезновении за в рамке наводится средняя ЭДС 3,5 мВ.

Дано: a = 0,2 м, b = 0,3 м, , .

Найти: В.

Решение. ЭДС индукции равно: , где - изменение магнитного потока.

При исчезновении поля имеем , тогда, .

Магнитный поток равен: , где - угол между векторами и , - площадь рамки.

Из рисунка видно, что . Значит . Тогда, .

Получаем, .

Ответ. .

Пример 10. Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 500 В, попал в вакууме в однородное магнитное поле и движется по окружности радиусом 10 см. Определите модуль магнитной индукции, если скорость электрона перпендикулярна силовым линиям.

Дано: U=500 B; R=0,1м; .

Найти: B.

Решение. На электрон действует сила Лоренца, которая по правилу левой руки направлена к центру окружности и является центростремительной.

Сила Лоренца равна: . Тогда ,

где - заряд электрона, - масса электрона.

По закону сохранения энергии: .

Значит, .

Получаем, .

Ответ: B=7,54·10^-4Тл.

Пример 11. По двум длинным параллельным проводам, расстояние между которыми 5 см, в одинаковом направлении текут одинаковые токи 10А. Определить индукцию и напряженность магнитного поля в точке, удаленной от каждого провода на расстояние 5 см.

Дано: d=0,05м; I=10A.

Найти: B, H.

Решение. Из рисунка 2 видно, что (равносторонний треугольник), значит, . Магнитная индукция от прямого проводника равна: , где - магнитная постоянная.

Рис. 2

По теореме косинусов: .

Так как и , то . Значит, . Напряженность магнитного поля равна: Значит, . Получаем, , .

Ответ: В=6,93 ּ 10^-5Тл, Н=55,16 А/м.

Пример 12. На тонком стержне длиной l равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 10 Кл/м. Найти потенциал φ, созданный распределенным зарядом в точке А, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближайшего конца на расстояние l.

Дано: τ = 10 Кл/м; ε_o = 8,85∙10^-12 Ф/м.

Найти: φ.

Решение. В задаче рассматривается поле, создаваемое распределенным зарядом. В этом случае поступают следующим образом. На стержне выделяют малый участок длиной dx. Тогда на этом участке будет сосредоточен заряд dQ = τ dx, который можно считать точечным. Потенциал dφ, создаваемый этим точечным зарядом в точке А (рис.3), можно определить по формуле .

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, потенциал электрического поля, создаваемого заряженным стержнем в точке А, найдем интегрирование этого выражения: .

Выполним интегрирование: .

Подставим числовые значения физических величин в СИ

(τ=10 ּ 10^-9 Кл/м, 1/(4πε_o) = 9∙10⁹ м/Ф) и произведем вычисления:

φ = 9∙10⁹∙10∙10^-9∙0,693 = 62,4 В.

Ответ: φ = 62,4 В.

Пример 13. На пластинах плоского конденсатора находится заряд Q = 10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см², диэлектрик – воздух. Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным. Рис.4

Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле напряженностью E, созданной зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (Рис.4)

F = QE (1)

Так как Е = σ/(2ε₀) = Q/(2ε₀S),

где σ – поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) примет вид

F = Q²/(2ε₀S)

Произведем вычисления:

.

Ответ: F=5,65 ּ 10^-4Н.

Пример 14. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсатора с двумя пластинами площадью S = 100 см² каждая и катушки с индуктивностью L = 1 мкГн, резонирует на волну длиной l = 10 м. Определить расстояние d между пластинами конденсатора.

Решение. Расстояние между пластинами конденсатора можно найти из формулы электроемкости плоского конденсатора , где e - диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей конденсатор, откуда

.

Электроемкость конденсатора выразим из формулы Томсона для периода колебаний электрического контура . Отсюда .

Неизвестный в условии задачи период колебаний определим, зная длину волны, на которую резонирует контур , где v _св – скорость электромагнитных волн (скорость света). Сделав все подстановки, окончательно получим

.

Произведем вычисления:

.

 

Ответ: d = 3,14·10^-3 м.

Пример 15. Какую наименьшую толщину должна иметь мыльная пленка, чтобы отраженные лучи имели красную окраску (λ = 0,63 мкм)? Белый луч падает на пленку под углом 30⁰ (n = 1,33).

Дано: λ = 6,3∙10^-7м; i = 30⁰; n = 1.33.

Найти: d_min.

Решение. Условие максимума при интерференции

D = kl,

где D – разность хода лучей, k – порядок интерференционного максимума, λ – длина волны.

При интерференции на тонкой пленке толщиной d, обладающей показателем преломления n, в отраженном свете разность хода лучей определяется выражением

.

Приравнивая выражения для D, получим:

,

откуда .

Очевидно, что d будет минимальной при k = 1.

.

Ответ: d_min = 0,13 мкм.

Пример 16. Для получения колец Ньютона используют плосковыпуклую линзу. Освещая ее монохроматическим светом с длинно волны 0,6 мкм, установили, что расстояние между 5 и 6 светлыми кольцами в отраженном свете равно 0,56 мм. Определить радиус кривизны линзы.

Дано: λ = 6 ∙10^-7м; k ₁ = 5; k₂ = 6; Dr = 5,6 ∙10^-4м.

Найти: R.

Решение. Расстояние Dr между кольцами есть разность радиусов r₆ и r₅ колец

Dr = r₆ – r₅.

Радиус светлого кольца в отраженном свете определяется по формуле:

,

где k – номер кольца.

;

откуда: .

Ответ: R ≈10,4м.

Пример 17. Расстояние между двумя когерентными источниками d = 0,9 мм. Источники посылают монохроматический свет с длиной волны 6400 Å на экран, расположенный от них на расстоянии 3,5 м. Определить число световых полос на 1 см длины.

Дано: d = 0,9 мм = 9∙10^-4 м; λ = 6400 Å = 6,4∙10^-7 м; L = 3,5 м; x = 10^-2 м.

Найти: k/x.

Решение. В точке О на экране (рис. 5) будет максимальная освещенность. Так как точка О равноудалена от источников S₁^′ и S₂^′, то разность хода волн S₁^′О и S₂^′О равна нулю. В произвольной точке экрана О_k максимум освещенности будет наблюдаться, если

Рис. 5 разность хода лучей равна целому числу длин волн:

Δ = s₂ – s₁ = kλ. (1)

Разность хода лучей .

Учитывая выражение (1), получим

(2)

Из выражения (2) можно определить искомую величину k/x – число световых интерференционных полос на единицу длины

.

Подставляя в это выражение числовые значения, получим

.

Ответ: .

Пример 18. Постоянная дифракционной решетки 2,5 мкм. Определить наибольший порядок спектра, общее число главных максимумов в дифракционной картине и угол дифракции в спектре 2-го порядка при нормальном падении монохроматического света с длиной волны 0,62 мкм.

Дано: с = 2,5 ∙ 10^-6 м; k = 2; λ = 6,2 ∙ 10^-7 м.

Найти: k_max, N, φ₂.

Решение. Условие максимума при дифракции на решетке csinφ = kλ, φ_kmax = 90^о; sinφ_kmax = 1.

Тогда т.е. = 4. Общее число максимусов

N = 2 k_max + 1 = 9.

Угол дифракции φ₂ определяется по формуле csinφ₂ = 2λ, откуда

φ₂ = 30⁰.

Ответ: , N =9, φ₂ = 30⁰.

Пример 19. Под каким углом к горизонту должно находиться Солнце, чтобы свет, отраженный от поверхности воды, был максимально поляризован? (n_в =1,33.)

Дано: n_в = 1,33; n₁ = 1.

Найти: α.

Р ешение: По закону Брюстера i_Б = 53°,

где n_В и n ₁ – показатели преломления воды и воздуха. Тогда как следует из рисунка, α = 90° - i_Б = 37°.

Рис. 6.

Ответ: α =37°.

Пример 20. Интенсивность естественного света, прошедшего через поляризатор, уменьшилась в 2,3 раза. Во сколько раз она уменьшится, если за первым поставить второй такой же поляризатор так, чтобы угол между их главными плоскостями был равен 60⁰?

Дано: I₀/I₁ = 2,3; α = 60⁰.

Решение. Естественный свет можно представить как наложение двух некогерентных волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях и имеющих одинаковую интенсивность. Идеальный поляризатор пропускает колебания, параллельные его главной плоскости, и полностью задерживает колебания, перпендикулярные этой плоскости. На выходе свет, интенсивность которого I₁ с учетом потерь на отражение и поглощение света поляризатором равна

. (1)

После прохождения второго поляризатора интенсивность света уменьшается как за счет отражения и поглощения света поляризатором, так и из-за несовпадения плоскости поляризации света с главной плоскостью поляризатора. В соответствии с законом Малюса и с учетом потерь на отражение и поглощение света эта интенсивность равна

I₂ = I₁(1 – k)cos²α, (2)

где α - угол между плоскостью поляризации света, которая параллельна главной плоскости первого поляризатора, и главной плоскостью второго поляризатора.

Найдем, во сколько раз уменьшилась интенсивность света:

. (3)

Выразим из (1)

. (4)

Подставляя (4) в (3), получим:

(5)

Проводя вычисления, найдем

Пример 21. Натрий освещается монохроматическим светом с длиной волны λ=40нм. Определить наименьшее задерживающее напряжение, при котором фототок прекратится. «Красная граница» фотоэффекта для натрия λ 0=584нм.

Дано: λ=40нм=0,4•10^-7м, λ ₀=584нм=5,84•10^-7м, с=3•10⁸м /с;

е=1,6•10^-19Кл; h=6,63•10^-34Дж•с.

Найти: U₀.

Решение. Задерживающее напряжение U₀ можно определить из выражения (1)

(е=1,6•10^-19Кл – заряд электрона), кинетическую энергию электрона – из уравнения Эйнштейна (2)

(учли, что энергия фотона, вызывающего фотоэффект, < 5 кэВ), где работа выхода . (3)

Подставив (3) в (2), получим . (4)

Подставив (4) в (1), найдем искомое задерживающее напряжение:

.

Подставляя данные и вычисляя, получаем U₀=28,9 В.

Ответ: U₀=28,9 В.

Пример 22. В результате соударения дейтерия с ядром бериллия образовались новое ядро и нейтрон. Определить порядковый номер и массовое число образовавшегося ядра, записать ядерную реакцию, и определить ее энергетический эффект.

Дано: ; с = 2,5 ∙ 10^-6 м; k = 2; λ = 6,2 ∙ 10^-7 м..

Найти: Z; А; Q.

Решение. Из законов сохранения зарядовых и массовых чисел следует, что Z=5, а A=10, т.е. образовавшееся в результате ядерной реакции ядро – изотоп бора . Поэтому ядерную реакцию запишем в виде

.

Энергетический эффект ядерной реакции

, (1)

где в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых – массы ядер продуктов реакции. При расчетах вместо масс ядер используют массы нейтральных атомов, так как, согласно закону сохранения зарядовых чисел, в ядерной реакции (а зарядовое число Z нейтрального атома равно числу электронов в его оболочке), получаются одинаковые результаты.

Массы нейтральных атомов в выражении (1):

, ,

, .

Вычисляя, получаем Q=4,84 МэВ; энергетический эффект положителен; реакция экзотермическая.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

1. Под действием какой силы при прямолинейном движении тела изменение его координаты со временем происходит по закону х=10+5t-10t²? Масса тела 2 кг.

2. Найти закон движения тела массой 1 кг под действием постоянной силы 10Н, если в момент t=0 тело покоилось в начале координат (х = 0).

3. Найти закон движения тела массой 1 кг под действием постоянной силы 1Н, если в момент t = 0 начальная координата x = 0 и v₀ = 5 м/с.

4. Найти закон движения тела массой 1 кг под действием постоянной силы 2Н, если в момент t = 0 имеем x₀ = 1 и v₀ = 2 м/с.

5. Тело массой 2 кг движется с ускорением, изменяющимся по закону a=5t-10. Определить силу, действующую на тело через 5 с после начала действия, и скорость в конце пятой секунды.

6. Сплошной шар массой 1 кг и радиусом 5 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Закон вращения шара выражается уравнением φ=10+5t-2t². В точке, наиболее удаленной от оси вращения, на шар действует вила, касательная к поверхности. Определить эту силу и тормозящий момент.

7. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны 100 м. Закон движения автомобиля выражается уравнением s =100+10t-0,5t². Найти скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорение в конце пятой секунды.

8. Материальная точка движется по окружности, радиус которой 20 м. Зависимость пути, пройденного точкой, от времени выражается уравнением s=t³+4t²-t+8. Определить пройденный путь, угловую скорость и угловое ускорение точки через 3 с от начала ее движения.

9. Материальная точка движется по окружности радиуса 1 м согласно уравнению s=8t-0,2t³. Найти скорость, тангенциальное, нормальное и полное уравнение в момент времени 3 с.

10. Тело вращается равноускоренно с начальной угловой скоростью 5с^-1 и угловым ускорением 1с^-2. Сколько оборотов сделает тело за 10с?

11. Шар массой m ₁ = 1 кг движется со скоростью v₁ = 4 м/c и сталкивается с шаром массой m₂= 2 кг, движущегося навстречу ему со скоростью v ₂ = 3 м/c. Каковы скорости u ₁ и u ₂ шаров после удара? Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

12. Шар массой m₁ = 3 кг движется со скоростью v ₁ = 2 м/c и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂ = 5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.

13. Определить к.п.д. неупругого удара бойка массой m ₁ = 0,5 т, падающего на сваю массой m ₂ = 120 кг. Полезной считать энергию, пошедшую на вбивание сваи.

14. Шар массой m ₁ = 4 кг движется со скоростью v ₁ = 5 м/с и сталкивается с шаром массой m₂ = 6 кг, который движется ему навстречу со скоростью v ₂ = 2 м/с. Считая удар прямым, центральным, а шары абсолютно упругими, найти их скорости после удара.

15. Вагон массой m =35 т движется на упор со скоростью v= 0,2 м/c. При полном торможении вагона буферные пружины сжимаются на D l= 12 см. Определить максимальную силу F_max сжатия пружин.

16. Шар массой m ₁ = 5 кг движется со скоростью v ₁ = 1 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂= 2 кг. Определить скорости u ₁ и u ₂ шаров после удара. Шары считать абсолютно упругими, удар - прямым, центральным.

17. Из орудия массой m ₁ = 5 т вылетает снаряд массой m ₂ = 100 кг. Кинетическая энергия снаряда при выстреле Т ₁ = 7,5ּ10⁶ Дж. Какую кинетическую энергию получает орудие вследствие отдачи?

18. Два груза массами m ₁ = 10 кг и m ₂ = 15 кг подвешены на нитях длиной l= 2 м так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на угол j = 60º и отпущен. Определить высоту h, на которую поднимутся оба груза после удара. Удар считать неупругим.

19. Определить работу растяжения двух соединенных последовательно пружин жесткостями k ₁ = 400 Н/м и k ₂ = 250 Н/м, если первая пружина при этом растянулась на D l= 2 см.

20. Нить с привязанными к её концам грузами массой m 1 = 50 г и m 2 = 60 г перекинута через блок диаметром D= 4 см. Определить момент инерции блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение e = 1,5 рад/c².

21. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину согласно уравнению φ =At+Bt³, где А= 2 рад/с; В= 0,2 рад/c³. Определить вращающий момент М, действующий на стержень в момент времени t= 2 с, если момент инерции стержня J= 0,048 кг м².

22. По горизонтальной плоской поверхности катится диск со скоростью v =8 м/c. Определить коэффициент трения, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь s= 18 м.

23. Карандаш, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую w и линейную v скорости будет иметь в конце падения верхний его конец? Длина карандаша l= 15 см.

24. Определить момент силы М, который необходимо приложить к блоку, вращающемуся с частотой n= 12 с^-1, чтобы он остановился в течение времени D t= 8 c. Диаметр блока D= 30 см. Массу блока m= 6 кг считать равномерно распределенной по ободу.

25. На какой угол a надо отклонить однородный стержень, подвешенный на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня, чтобы нижний конец стержня при прохождении им положения равновесия имел скорость v= 5 м/с? Длина стержня l= 1 м.

26. К ободу диска массою m= 5 кг приложена постоянная касательная сила F= 20 Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через D t= 5 с после действия силы?

27. Определить линейную скорость v центра шара, скатившегося с наклонной плоскости высотой h= 1 м.

28. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D= 75 cм и массой m= 40 кг приложена сила F =1 кН. Определить угловое ускорение e и частоту вращения n маховика через время t= 10 с после начала действия силы, если радиус r шкива равен 12 см.

29. Точка совершает колебания по закону x = Acos(ωt + φ₀), где А = 4 см. Определить начальную фазу φ₀, если х(0) = 2 см и х(0) = 0.

30. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить алюминиевый шарик вместо медного того же радиуса?

31. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение точки x_max = 10 см, наибольшая скорость V_max = 20 см/с. Найти циклическую частоту ω колебаний.

32. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение точки x_max = 10 см, наибольшая скорость V_max = 20 см/с. Найти максимальное ускорение a_max точки.

33. Определить период Т колебаний стержня длиной l =30 см около оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.

34. Определить период Т колебаний диска радиусом R= 40 см около горизонтальной оси проходящей через образующую диска.

35. Однородный шарик подвешен на нити, длина которой равна радиусу шарика R. Определить период Т колебаний этой системы.

36. Определить период колебаний диска радиусом R =20 см около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.

37. Обруч диаметром D= 60 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период Т этих колебаний.

38. В вершинах квадрата со стороной 0,1 м. расположены равные одноименные заряды. Потенциал создаваемого ими поля в центре квадрата равен 500 В. определить заряд.

39. В вершинах квадрата со стороной 0,5 м. расположены заряды одинаковой величины. В случае, когда два соседних заряда положительные, а два других - отрицательные, напряженность поля в центре квадрата равна 144 В/м. определить заряд.

40. В вершинах квадрата со стороной 0,1 м. помещены заряды по 0,1 нКл. Определить напряженность и потенциал поля в центре квадрата, если одни из зарядов отличается по знаку от остальных.

41. Пространство между двумя параллельными бесконечными плоскостями с поверхностной плоскостью зарядов +5 · 10^-8 и -9 · 10^-8 Кл/м² заполнено стеклом. Определить напряженность поля: а) между плоскостями; б) вне плоскостей.

42. На расстоянии 8 см. друг от друга в воздухе находятся два заряда по 1 нКл. Определить напряженность и потенциал поля в точке, находящейся на расстоянии 5 см. от зарядов.

43. Внутренняя часть биологической клетки и межклеточная среда разделены биологической мембраной, на которой существует разность потенциалов U =80 мВ. Полагая, что электрическое поле внутри мембраны однородно, и считая толщину мембраны l = 8 нм, найдите напряженность этого поля.

44. Определить напряженность Е поля, создаваемого зарядом, равномерно распределенным по тонкому прямому стержню с линейной плотностью заряда t = 200 нКл/м, в точке, лежащей на продолжении оси стержня на расстоянии а = 20 см от ближайшего конца. Длина стержня l =40 см.

45. По тонкому кольцу радиусом R =10 см равномерно распределен заряд Q ₁=20 нКл. Какова напряженность Е поля в точке, находящейся на оси кольца на расстоянии а =20 см от центра кольца?

46.. Заряды по 1 нКл помещены в вершинах равностороннего треугольника со стороной 0,2 м. Равнодействующая сил, действующих на четвертый заряд, помещенных на середине одной из сторон треугольника, равна 0,6 мкН. Определить этот заряд, напряженность и потенциал поля в точке его расположения.

47. Две одинаковые круглые пластины площадью S =400 см²каждая расположены параллельно друг другу. Заряд одной пластины Q ₁=400 нКл, другой Q ₂=-200 нКл. Определить силу F взаимного притяжения пластин, если расстояние между ними: а) r ₁=3мм; б) r ₂=10м.

48. Два одинаковых заряда находятся в воздухе на расстоянии 0,1 м. друг от друга. Напряженность поля в точке, удаленной на расстоянии 0,06 м. от одного и 0,08 м. от другого заряда, равна 10 кВ/м. Определить потенц