ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Для студентов заочного обучения специальности
231000.62 Программная инженерия
Иваново 2014
Составитель В.А. Гусев
Редактор В.М. Кокин
Настоящие материалы содержат программу, контрольные задания, методические указания к заданиям для студентов направления «Информатика и вычислительная техника» и «Программная инженерия».
Предназначены студентам, изучающим курс вычислительной математики.
Утверждены цикловой методической комиссией ИВТФ
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра программного обеспечения компьютерных систем,
Ф.Н. Ясинский, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высокопроизводительных вычислительных систем ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И.Ленина».
Рабочая программа
Цели и задачи курса
Целью курса является формирование у студентов систематического представления о методах вычислительной математики и использовании стандартных программ. Подготовить студентов к разработке компьютерно ориентированных вычислительных алгоритмов решения задач, возникающих в процессе математического моделирования законов реального мира и применения познанных законов в практической деятельности.
Объем полученных знаний дает возможность обучаемым применять численные методы математики в широком круге областей производственной и управленческой деятельности.
Задачи курса:
- изучить особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ;
- изучить теоретические основы численных методов;
- получить практические навыки применения численных методов.
Студент, изучивший дисциплину “Вычислительная математика”, должен знать:
- основные типы методов, используемые при решении задач;
- источники погрешностей, возникающих при решении задач и принципы распространения погрешностей;
- условия сходимости численных методов;
- современные компьютерные средства решения математических задач.
Студент должен уметь:
- применять соответствующие методы вычислительной математики при решении задач;
- получать оценку погрешности соответствующего метода;
- обосновывать выбор метода при решении задач;
- применять современные компьютерные средства при решении практических задач.
Тематический план курса
| Наименование темы | Объем в час. |
| Тема 1.Теоретические основы численных методов. Особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ. Понятие погрешности. Виды погрешностей, источники погрешностей и их распространение. Устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени). | |
| Тема 2. Практическое вычисление функций. Степенные ряды. Полиномы Чебышева. Экономизация степенных рядов. Вычисление многочлена. | |
| Тема 3. Численные методы линейной алгебры. Методы решения алгебраических уравнений. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости методов. Оценка погрешностей. Методы решения нелинейных систем уравнений. Методы поиска экстремума функции нескольких переменных. | |
| Тема 4. Методы приближения и аппроксимации функций. Проблемы аппроксимации. Аппроксимация функций многочленами, тригонометрическими функциями, экспоненциальная аппроксимация. | |
| Тема 5. Численное дифференцирование и интегрирование функций. Постановка задачи. Формулы приближенного дифференцирования. Графическое дифференцирование. Приближенное интегрирование – общие замечания. Квадратурные формулы интегрирования. | |
| Тема 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общие замечания. Разложение решения в ряд Тейлора. Методы Рунге-Кутта. Оценка погрешности одношаговых методов. Методы прогноза и коррекции. | |
| Тема 7. Интерполяция функций. Конечные разности различных порядков. Постановка задачи интерполирования. Интерполяционные формулы Ньютона, Лагранжа, Гаусса, Стирленга. | |
| Тема 8. Решение дифференциальных уравнений в частных производных. Классификация уравнений. Разностные схемы для уравнений в частных производных. Способы решения. | |
| Тема 9. Математические программные системы. Системы маткад и матлаб. | |
| Всего часов | |
| Курсовая работа | |
| Контрольная работа |
Основная литература
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. М.: Наука, 1987. 598 с.
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики: Учебное пособие. 5-е изд.,стер. – СПб.: Издательство "Лань", 2006. – 672 с.: ил.
Дополнительная литература
Калиткин Н.Н. Численные методы: Учеб. пособие. М.: наука, 1978. 512 с.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие. М.: Наука, 1989. 608 с.
Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач: Учеб. пособие. М.: Наука, 1986. 258 с.
Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1968. 400 с.
Вопросы для самоконтроля
Тема 1. Теоретические основы численных методов
1. Дайте определение абсолютной и относительной погрешности.
2. Приведите источники ошибок.
3. Распространение ошибок при вычислениях. Укажите способ подсчета распространения ошибки при вычислении арифметического выражения.
4. Оценка погрешностей при сложении и вычитании почти равных чисел.
5. Укажите рациональные способы организации вычислений с целью уменьшения погрешности результата.
Тема 2. Практическое вычисление функций
1. Опишите процедуру вычисления степенного ряда и дайте оценку возможной погрешности.
2. Полиномы Чебышева: понятие и применение при вычислении функций. Оценка возможной погрешности.
3. Опишите процедуру экономизации степенного ряда.
4. Опишите процедуру вычисления многочлена.
5. Влияние способа вычисления полинома на распространение ошибок.
Тема 3. Численные методы линейной алгебры
1. Дайте формулировку задачи решения уравнения. Отделение и уточнение корней.
2. Опишите алгоритм уточнения корня методом последовательных приближений. Достаточное условие сходимости метода.
3. Опишите алгоритм уточнения корня усовершенствованным методом последовательных приближений.
4. Метод Ньютона-Рафсона.
5. Опишите алгоритм уточнения почти равных корней.
6. Дайте оценку методам и их ошибок.
7. Опишите алгоритм уточнения корней многочлена методом Бриге-Виетта.
8. Дайте оценку влияния неточности коэффициентов многочлена на ошибку при нахождении корня.
9. Опишите общие свойства алгебраических уравнений.
10. Опишите алгоритм нахождения границ действительных корней алгебраических уравнений.
11. Опишите алгоритм нахождения числа действительных корней полинома.
12. Решение системы алгебраических линейных уравнений: постановка задачи. Классификация методов численного решения системы линейных алгебраических уравнений.
13. Опишите алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
14. Опишите способ уменьшения возможной ошибки округления при решении системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
15. Опишите алгоритм уточнения решения системы линейных алгебраических уравнений, полученного методом Гаусса.
16. Дайте оценку влияния неточности коэффициентов на решение системы. Достижимая точность решения.
17. Опишите итерационный метод Гаусса-Зейделя решения системы линейных алгебраических уравнений.
18. Приведите достаточные условия сходимости метода Гаусса-Зейделя при решении системы линейных алгебраических уравнений.
19. Приведите оценку методов решения системы линейных алгебраических уравнений.
20. Опишите алгоритм решения системы нелинейных линейных алгебраических уравнений.
21. Опишите алгоритм поиска экстремума функции нескольких переменных.
Тема 4. Интерполяция функций
1. Дайте определение конечных разностей различных порядков. Таблицы разностей. Понятие обобщенной степени.
2. Сформулируйте суть задачи интерполирования.
3. Выведите первую интерполяционную формулу Ньютона.
4. Выведите вторую интерполяционную формулу Ньютона.
5. Выведите интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя.
6. Выведите интерполяционную формулу Лагранжа.
7. Дайте оценку погрешности интерполяционных формул.
Тема 5. Методы приближения и аппроксимации функций
1. Постановка задачи аппроксимации функции.
2. Опишите алгоритм приближения функции многочленом по методу наименьших квадратов.
3. Опишите алгоритм приближения рациональными функциями.
4. Опишите алгоритм приближения тригонометрическими функциями. Ряд Фурье.
5. Опишите алгоритм экспоненциальной аппроксимации.
Тема 6. Численное дифференцирование и интегрирование функций.
1. Сформулируйте суть задачи численного дифференцирования и интегрирования.
2. Опишите алгоритм численного дифференцирования на основе первой интерполяционной формулы Ньютона.
3. Опишите алгоритм численного дифференцирования на основе интерполяционной формулы Стирлинга.
4. Опишите алгоритм численного дифференцирования для равноотстоящих точек, выраженный через значения функции в этих точках.
5. Опишите алгоритм численного интегрирования по методу трапеций. Оценка точности метода.
6. Опишите алгоритм численного интегрирования по методу Симпсона. Оценка точности метода.
7. Опишите алгоритм численного интегрирования несобственных интегралов.
Тема 7. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
1. Сформулируйте постановку задачи приближенного решения обыкновенного дифференциального уравнения.
2. Опишите алгоритм решения дифференциального уравнения с помощью рядов Тейлора.
3. Опишите алгоритмы Эйлера решения дифференциального уравнения первого порядка. Дайте оценку погрешности метода.
4. Опишите алгоритмы решения дифференциального уравнения первого порядка методами Рунге-Кутта.
5. Проанализируйте ошибки, возникающие при использовании методов Рунге-Кутта.
6. Опишите алгоритмы решения дифференциального уравнения первого порядка методом прогноза и коррекции.
7. Проанализируйте ошибки, возникающие при использовании метода прогноза и коррекции.
8. Опишите алгоритмы приближенного решения систем дифференциальных уравнений.
Тема 8. Решение дифференциальных уравнений в частных производных.
1. Сформулируйте постановку задачи приближенного решения дифференциального уравнения в частных производных.
2. Приведите классификацию дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.
3. Способы построения разностных уравнений.
4. Приведите способы решения разностных уравнений разных типов.
Задания к контрольной работе
Контрольная работа состоит из шести вопросов и четырех задач. Каждый студент выполняет вариант контрольной работы, номер которого совпадает с последней цифрой номера его шифра. Контрольная работа выполняется студентом на основе изучения учебной литературы, специальной литературы по теме, периодических изданий и других, указанных преподавателем материалов.