Лабораторная работа №1.
Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
Цель работы. Изучение методов и отработка навыков перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую.
Количество различных цифр 
, используемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием -ой системы счисления.
Любое число N в позиционной системе счисления с основанием может быть представлено в виде полинома от основания :
,
где 
— число, 
— цифры числа (коэффициенты при степенях ), — основание системы счисления ( >1).
Числа записывают в виде последовательности цифр:
. 
, точка в последовательности отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при неотрицательных степенях, от коэффициентов при отрицательных степенях). Точка опускается, если число целое (нет отрицательных степеней).
В компьютерных системах применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.
В аппаратной основе ЭВМ лежат двухпозиционные элементы, которые могут находиться только в двух состояниях; одно из которых обозначается 0, а другое — 1. Поэтому арифметико-логической основной ЭВМ является двоичная система счисления.
Двоичная система счисления. Используется две цифры: 0 и 1. В двоичной системе любое число может быть представлено в виде: 
. 
, где 
либо 0, либо 1.
Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с указанными коэффициентами:
Восьмеричная система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (см. таблицу 1).
Шестнадцатеричная система счисления. Для изображения чисел используется 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр — латинскими буквами: A (10), В (11), C (12), D (13), E (14), F (15). Шестнадцатеричная система, так же как и восьмеричная, используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада) (см. табл. 1).
Таблица 1.
Алфавиты позиционных систем счисления (сс)
| Двоичная сс (Основание 2) | Восьмеричная сс (Основание 8) | Десятичная сс (Основание 10) | Шестнадцатеричная сс (Основание 16) | ||
| Двоичные триады | Двоичные тетрады | ||||
| A B C D E F |
Задание 1. Переведите числа из заданных систем счисления в десятичную систему.
Методические указания.
Перевод чисел в десятичную системуосуществляется путем составления суммы степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение этой суммы.
Примеры.
а) Перевести 
с.с.*
.
Ответ: 
.
б) Перевести 
с.с.
.
Ответ: 
.
в) Перевести 
с.с.
.
Ответ: 
.
Задание 2. Переведите целые числа из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.
Методические указания.
Перевод целых десятичных чисел в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системыосуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное равное нулю. Число в новой системе записывается в виде остатков от деления, начиная с последнего.
Примеры.
а) Перевести 
с.с.
Ответ: 
.
б) Перевести 
с.с.
 |
Ответ: 
.
Задание 3. Переведите правильные десятичные дроби из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.
Методические указания.
Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь последовательно умножают на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части полученных произведений. Если в результате умножения на некотором шагу дробная часть становится равной нулю, это означает, что получили конечную дробь в новой системе счисления. В новой системе дробь записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого. Не все конечные дроби в результате перевода станут конечными, зачастую в новой системе счисления получается бесконечная дробь.
Примеры.
а) Перевести 
с.с.
| 0, | ´ 8 |
| 2, | ´ 8 |
 0,
| ´ 8 |
| ´ 8 | |
Условно разделим вертикальной чертой целую и
дробную часть полученных произведений.
Результат перевода – есть последовательность
цифр, состоящих из целых частей произведений,
записанная сверху вниз.
Ответ: 
.
б) Перевести с точностью до 6 знаков после запятой 
с.с.
| 0, | 65´ 2 |
| 3´ 2 | |
| 6 ´ 2 | |
| 2 ´ 2 | |
| 4 ´ 2 | |
| 8 ´ 2 | |
| 6 ´ 2 | |
| ... |
0,65´2=1,3 далее умножаем дробную часть полученного произведения
0,3´2=0,6
0,6´2=1,2 каждый раз умножаем только дробную часть
произведения
0,2´2=0,4
0,4´2=0,8
0,8´2=1,6
0,6´2=1,2
Ответ: 
.
Задание 4. Переведите неправильные десятичные дроби из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.
Методические указания.
Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.
Пример. Перевести 
с.с.
1) Переведем целую часть: 2) Переведем дробную часть:
| 22 | ||||||
| 10 | ||||||
| 4 | |||||
| 0 | ||||||
 0,
| 125  2
|
| 25 2
| |
| 5 2
| |
Получили 
; 
. Результат перевода 
.
Ответ: .
Задание 5. Переведите числа из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему.
Методические указания.
Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную формудостаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) (см. таблицу 1) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) (см. таблицу 1), при этом отбрасывают незначащие нули в старших и младших (после запятой) разрядах.
Примеры.
а)   =  ;
б)   =  .
|
Задание 6. Переведите числа из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему.
Методические указания.
Для перехода от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.
Примеры.
а) Перевести 
с.с.
б) Перевести 
с.с.
Задание 7. Переведите числа из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления и из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления.
Методические указания.
Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.
Пример. Перевести 
с.с.
Ответ: 
.
Задания для самостоятельной работы
| Вари-ант | Переведите числа в 10-ю с.с. | Переведите десятичные числа в 2-ю, 8-ю и 16-ю с.с. | Восьмеричное число переведите в 16-ю с.с., а шестнадцатеричное – в 8-ю с.с. |
| 1. | 10010011111, 1012 1372,128 3CA,7D16 | 286,06 | 1263,718 2BA,2C16 |
| 2. | 11100101010, 0112 2136,318 1C3,A216 | 476,91 | 3472,628 4CA,2716 |
| 3. | 11001100111, 0112 1742,368 123E,4D16 | 438,76 | 1724,318 2АF,3C16 |
| 4. | 11101011101, 10012 1467,638 1AF,7316 | 362,87 | 1273,568 30A,E0F16 |
| 5. | 101011010110, 0012 1523,248 2А7,3Е16 | 305,37 | 1623,728 5C2,C716 |
| 6. | 11001100011, 10012 1273,568 30A,E0F16 | 324,93 | 12372,418 1D2,7D1 |
| 7. | 10011010111, 0112 1623,728 5C2,C716 | 457,21 | 1735,128 5AD,4D16 |
| 8. | 11000001111, 0112 1735,668 23A,EF16 | 343,43 | 2451,238 2BA,D316 |
| 9. | 10000111111, 10012 1327,468 3CD,BA16 | 381,93 | 1372,128 3CA,7D16 |
| 10. | 11100001101, 0112 1523,748 4BA,2F16 | 419,96 | 2136,318 1C3,A216 |
| 11. | 11011110110, 1012 4123,178 1C3,A516 | 400,01 | 1742,368 123E,4D16 |
| 12. | 110010010111, 10012 1272,128 3AD,7D16 | 153,63 | 5123,148 1B3,4D16 |
| 13. | 11100110101,10112 1071,218 5DC,F216 | 172,04 | 1263,718 2BA,2C16 |
| 14. | 10011010111, 0112 2372,128 1F2,7B16 | 191,11 | 3472,628 4CA,2716 |
| 15. | 11110010101,10012 1574,618 35C,F116 | 210,96 | 1724,318 2АF,3C16 |
| 16. | 11000011010, 10012 6123,518 13A,C216 | 229,74 | 1272,128 3AD,7D16 |
| 17. | 10011000111,11112 5412,638 52A,1716 | 248,2 | 1071,218 5DC,F216 |
| 18. | 11101101101, 10012 5123,148 1B3,4D16 | 267,72 | 2372,128 1F2,7B16 |
| 19. | 11101011001, 01012 1263,718 2BA,2C16 | 571,58 | 1742,368 123E,4D16 |
| 20. | 10101110111, 01012 3472,628 4CA,2716 | 590,72 | 1467,638 1AF,7316 |
| 21. | 10101101111, 0112 1724,318 2АF,3C16 | 495,32 | 1523,248 2А7,3Е16 |
| 22. | 11100101101,10112 1275,468 23А,Е716 | 552,5 | 1735,668 23A,EF16 |
| 23. | 10011010111, 0112 12372,418 1D2,7D1 | 533,51 | 1327,468 3CD,BA16 |
| 24. | 11011100010,11012 1735,128 5AD,4D16 | 514,58 | 1523,748 4BA,2F16 |
| 25. | 10100101111, 1012 2451,238 2BA,D316 | 609,11 | 4123,178 1C3,A516 |
Контрольные вопросы.
1. Как осуществляется перевод чисел из р -ой с.с. в десятичную
2. Как перевести целое десятичное число в р - ую с.с.
3. Как перевести правильную десятичную дробь в р - ую с.с.
4. Как перевести неправильную десятичную дробь в р - ую с.с.
* Здесь и в дальнейшем при одновременном использовании нескольких различных систем счисления основание системы к которой относится число будем указывать в виде нижнего индекса.