Основные определения.
Пару 
действительных чисел а и b называют упорядоченной, если указано, какое из них считается первым, какое – вторым.
Определение 1. Комплексным числом называется любая упорядоченная пара
действительных чисел R.
Множество всех комплексных чисел обозначается С.
Определение 2. Два комплексных числа и 
считают равными и
пишут = , если 
.
Условимся в дальнейшем комплексные числа обозначать строчными буквами греческого алфавита.
Определение 3. Пусть 
и 
- два комплексных числа.
Сумма 
определяется равенством
,
а произведение 
- равенством
.
Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами:
1. 
(коммутативность сложения.)
2. 
(коммутативность умножения).
3. 
(ассоциативность сложения).
4. 
(ассоциативность умножения).
5. 
(дистрибутивность умножения относительно сложения).
Упражнение. Проверить свойства 1-5.
Упорядоченная пара 
обладает тем свойством, что сложение ее с любой другой упорядоченной парой не меняет этой пары: 
. Упорядоченная пара играет роль нуля при сложении упорядоченных пар; называют ее нуль-парой.
Определение 4. Пусть и - два комплексных числа.
Разностью 
двух упорядоченных пар называют такую
упорядоченную пару 
, что 
.
Найдем x и y. Поскольку 
, то 
, т.е. 
, 
, откуда 
, 
.
Таким образом, вычитание упорядоченных пар определяется формулой
.
Определение 5. Частным 
двух упорядоченных пар и
называют такую упорядоченную пару 
, что
.
Найдем x и y. Так как 
, то 
, т.е. 
, 
. Эта система имеет решение 
, 
.Если 
, т.е. 
, то частное 
двух упорядоченных пар определяется так: 
.
Из последнего равенства при 
, т.е. 
, получаем, что
.
Значит, роль единицы при делении упорядоченных пар выполняет упорядоченная пара 
.
1.1.2 Множество комплексных чисел как расширение множества действительных чисел.
Рассмотрим комплексные числа вида 
. Множество, состоящее из всех таких чисел, обозначим С*.
Если каждому действительному числу а сопоставим комплексное число , т. е. 
, то получим некоторое соответствие между множеством R и множеством С*. Это соответствие является взаимно однозначным.
Для любых двух действительных чисел а и b имеем 
. Если учесть, что 
, то можно записать 
. Это означает, что сумме действительных чисел а и b отвечает сумма соответствующих им комплексных чисел.
То же самое относится к произведению: так как 
и 
, то 
. Итак, произведению действительных чисел а и b отвечает произведение соответствующих им комплексных чисел.
Из сказанного следует, что если отождествить каждое действительное число а с комплексным числом , то тем самым множество R действительных чисел с его обычной арифметикой окажется как бы вложенным в множество С комплексных чисел. В этом смысле говорят, что множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел.
1.1.3 Алгебраическая форма комплексного числа.
Арифметические действия над комплексными числами.
Сопряженные комплексные числа. Свойства операции сопряжения.
Условимся в дальнейшем не делать различия между комплексным числом вида 
и действительным числом а, т. е. 
; основанием для такого соглашения являются одинаковые «арифметики» в множествах R и С*.
Рассмотрим упорядоченную пару 
. Согласно закону умножения комплексных чисел, имеем 
, тогда 
.
Определение 6. Упорядоченную пару ,.удовлетворяющую
соотношению 
или 
, называют мнимой единицей.
С помощью мнимой единицы можно выразить любое комплексное число. В самом деле, так как
,
то
.
Теперь можно забыть о первоначальном способе задания комплексного числа как пары и записывать комплексное число в виде 
.
Определение 7. Выражение 
называют алгебраической формой
комплексного числа. Число а называют действительной частью,
число b – мнимой частью комплексного числа .
Если задано комплексное число 
, то действительную часть числа 
обозначают 
(от франц. reele – «действительный»), а мнимую - 
(от франц. imaginaire – «мнимый»). Например, 
, 
.
Если 
, то число 
- действительное; если 
, то число имеет вид 
и называется чисто мнимым.
Определение 8. Пусть 
. Число 
, отличающееся от лишь
знаком коэффициента при мнимой части, называется
сопряженным числу и обозначается 
.
Итак, по определению, 
.
Если - действительное число, т.е. 
, то 
. Таким образом, любое действительное число равно своему сопряженному.
Из определения комплексного числа (как упорядоченной пары действительных чисел) и определения арифметических действий над упорядоченными парами следует, что
1. 
,
2. 
,
3. 
,
4. 
.
Формула 1 определяет правило сложения двух комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить отдельно их действительные и мнимые части. Формула 2 означает, что при вычитании одного комплексного числа из другого, необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части.
Формулу 3 можно получить путем умножения по правилам алгебры и замены 
его значением:
.
Чтобы получить формулу 4, необходимо предварительно числитель и знаменатель умножить на 
(число сопряженное числу 
): 
.
Сформулируем основные свойства операции сопряжения:
1) 
; 4) 
;
2) 
; 5) 
;
3) 
; 6) 
.
Упражнение 2. Доказать свойства 1-5 операции сопряжения.