Вопросы для самопроверки
1. Как определяется расстояние между двумя точками?
2. Формула деления отрезка в данном отношении.
3. Как определить угол между двумя прямыми?
4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
5. Как найти расстояние от точки до прямой?
6. Сформулируйте определения окружности, эллипса, гиперболы, параболы?
7. Как определить угол между двумя плоскостями?
8. При каком условии данная прямая лежит в данной плоскости?
9. Как найти угол между прямой и плоскостью?
2.1. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого заданы (таблица 2.1). Найти четвертую вершину и острый угол параллелограмма.
2.2. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A, B, C (таблица 2.2) и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB.
2.3. Найти угол между плоскостью a и прямой, проходящей через начало координат и точку М (таблица 2.3). Вычислить расстояние от точки М до плоскости a.
2.4. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую l (таблица 2.4).
2.5. Построить кривые по уравнениям (таблица 2.5).
Таблица 2.1 – Варианты задания 2.1
| Вариант | А | B | C |
| (-1; -2; 3) | (-4; 1; 2) | (5; 2; 7) | |
| (1; 2; 3) | (3; -4; -2) | (-4; -3; 2) | |
| (2; -3; -1) | (-3; 5; 3) | (4; 3; -4) |
Продолжение таблицы 2.1
| (3; -4; 2) | (-5; 2; -3) | (-1; 7; -2) | |
| (-5; 2; 4) | (-3; -4; 2) | (6; -3; -3) | |
| (-4; -3; 5) | (2; -5; 6) | (-2; 3; -5) | |
| (4; 2; -3) | (-5; 6; -4) | (-2; -3; 4) | |
| (-4; 5; -2) | (-1; -5; -8) | (3; -2; 4) | |
| (-5; -3; -2) | (3; -4; -5) | (4; 2; 3) | |
| (-3; 2; 6) | (-4; -5; -2) | (1; -3; -5) | |
| (-2; 3; -1) | (1; 2; -4) | (2; 7; 5) | |
| (2; 3; 1) | (-4; -2; 3) | (-3; 2; -4) | |
| (-3; -1; 2) | (5; 3; -3) | (3; -4; 4) | |
| (-4; 2; 3) | (2; -3; -5) | (7; -2; -1) | |
| (2; 4; -5) | (-4; 2; -3) | (-3; -3; 6) | |
| (-3; 5; -4) | (-5; 6; 2) | (3; -5; -2) | |
| (2; -3; 4) | (6; -4; -5) | (-3; 4; -2) | |
| (5; -2; -4) | (-5; -8; -1) | (-2; 4; 3) | |
| (-3; -2; -5) | (-4; -5; 3) | (2; 3; 4) | |
| (2; 6; -3) | (-5; -2; -4) | (-3; -5; 1) | |
| (3; -1; -2) | (2; -4; 1) | (7; 5; 2) | |
| (3; 1; 2) | (-2; 3 –4) | (2; -4; -3) | |
| (-1; 2; -3) | (3; -3; 5) | (-4; 4; 3) | |
| (2; 3; -4) | (-3; -5; 2) | (2; -1; 7) | |
| (4; -5; 2) | (2; -3; -4) | (-3; 6; -3) | |
| (5; -4; -3) | (6; 2; -5) | (-5; -2; 3) | |
| (-3; 4; 2) | (-4; -5; 6) | (4; -2; -3) |
Окончание таблицы 2.1
| (-2; -4; 5) | (-8; -1; -5) | (4; 3; -2) | |
| (-2; -5; -3) | (-5; 3; -4) | (3; 4; 2) | |
| (6; -3; 2) | (-2; -4; -5) | (-5; 1; -3) |
Таблица 2.2 – Варианты задания 2.2
| Вариант | А | B | C | Вариант | А | B | C |
| (3; 4) | (2; -1) | (1; -7) | (3; 2) | (2; -5) | (-6; -1) | ||
| (-4; -5) | (3; 3) | (5; -2) | (6; -4) | (-3; -7) | (-1; 2) | ||
| (-3; 5) | (4; -3) | (-2; -4) | (-2; -1) | (7; 3) | (4; -3) | ||
| (3; -2) | (-5; -4) | (-1; 6) | (3; 4) | (6; 7) | (1; 1) | ||
| (2; 5) | (-3; 4) | (-4; -2) | (-4; -5) | (-2; 2) | (-7; 4) | ||
| (-3; 2) | (-2; -5) | (6; -1) | (3; -4) | (2; 1) | (1; 7) | ||
| (-6; -4) | (3; -7) | (1; 2) | (-4; 5) | (3; -3) | (5; 2) | ||
| (2; 1) | (-7; 3) | (-4; -3) | (-3; -5) | (4; 3) | (-2; 4) | ||
| (-3; -4) | (-6; 7) | (-1; 1) | (3; 2) | (-5; 4) | (-1; -6) | ||
| (4; -5) | (2; 2) | (7; 4) | (2; -5) | (-3; -4) | (-4; 2) | ||
| (-3; 4) | (-2; -1) | (-1; -7) | (-3; -2) | (-2; 5) | (6; 1) | ||
| (4; -5) | (-3; 3) | (-5; -2) | (-6; 4) | (3; 7) | (1; -2) | ||
| (3; 5) | (-4; -3) | (2; -4) | (2; 1) | (-7; -3) | (-4; 3) | ||
| (-3; -2) | (5; -4) | (1; 6) | (-3; 4) | (-6; -7) | (-1; -1) | ||
| (-2; 5) | (3; 4) | (4; -2) | (4; 5) | (2; -2) | (7; -4) |
Таблица 2.3 – Варианты задания 2.3
| Вариант | М | a |
| (2; -1; 3) | 
| |
| (2; -2; 4) | 
| |
| :9-4; 5; -1) | 
| |
| (-3; 2; 1) | 
| |
| (2; 3; 1) | 
| |
| (-3; -2; 4) | 
| |
| (2; 5; -3) | 
| |
| (-4; -3; -5) | 
| |
| (4; -3; -2) | 
| |
| (4; 1; 3) | 
| |
| (-1; 3; 2) | 
| |
| (2; 1; -3) | 
| |
| (-2; 4; 2) | 
| |
| (5; -1; -4) | 
| |
| (3; 1; 2) | 
| |
| (-2; 4; -3) | 
| |
| (5; -3; 2) | 
| |
| (-3; -5; -4) | 
| |
| (-3; -2; 4) | 
| |
| (1; 3; 4) | 
| |
| (3; 2; -1) | 
| |
| (1; -3; 2) | 
|
Окончание таблицы 2.3
| (4; 2; -2) | 
| |
| (-1; -4; 5) | 
| |
| (1; 2; 3) | 
| |
| (4; -3; -2) | 
| |
| (-3; 2; 5) | 
| |
| (-5; -4; -3) | 
| |
| (-2; 4; -3) | 
| |
| (3; 4; 1) | 
|
Таблица 2.4 – Варианты задания 2.4
| Вариант | M | l |
| (3; 2; 1) | 
| |
| (2; -1; 3) | 
| |
| (1; -3; -2) | 
| |
| (-4; 2; -3) | 
| |
| (-4; 5; 2) | 
| |
| (-2; -4; 5) | 
| |
| (3; 5; -2) | 
|
Продолжение таблицы 2.4
| (-2; -1; -3) | 
| |
| (-4; 2; -5) | 
| |
| (-5; 4; 3) | 
| |
| (2; 1; 3) | 
| |
| (-1; 3; 2) | 
| |
| (-3; -2; 1) | 
| |
| (2; -3; -4) | 
| |
| (5; 2; -4) | 
| |
| (-4; 5; -2) | 
| |
| (5; -2; 3) | 
| |
| (-1; -3; -2) | 
| |
| (2; -5; -4) | 
| |
| (4; 3; -5) | 
|
Окончание таблицы 2.4
| (1; 3; 2) | 
| |
| (3; 2; -1) | 
| |
| (-2; 1; -3) | 
| |
| (-3; -4; 2) | 
| |
| (2; -4; 5) | 
| |
| (5; -2; -4) | 
| |
| (-2; 3; 5) | 
| |
| (-3; -2; -1) | 
| |
| (-5; -4; 2) | 
| |
| (3; -5; 4) | 
|
Таблица 2.5 – Варианты задания 2.5
| Вариант | Уравнения | Вариант | Уравнения |
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Продолжение таблицы 2.5
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Продолжение таблицы 2.5
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Окончание таблицы 2.5
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Задания по математическому анализу (1)
Вопросы для самопроверки
1. Что называется областью определения функций одной и двух переменных?
2. Дайте определение предела функции.
3. Что называется бесконечно малой величиной и каковы ее основные свойства?
4. Какая величина называется бесконечно большой? Как связаны бесконечно большая и бесконечно малая величины?
5. Каков геометрический смысл производной?
6. Как определить вертикальные и наклонные асимптоты?
7. Сформулируйте необходимое и достаточное условия экстремума функции одной и двух переменных.
8. Какие свойства функций отражены в теоремах Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши?
9. Перечислите различные типы неопределенностей, для раскрытия которых может быть использовано правило Лопиталя.
3.1. Вычислить предел (таблица 3.1).
3.2. Исследовать функцию (таблица 3.2) и построить ее график.
3.3. Найти частные производные второго порядка функции многих переменных (таблица 3.3).
3.4. Найти экстремумы функции двух переменных (таблица 3.4).
3.5. Найти параметры линейной зависимости (таблица 3.5) методом наименьших квадратов.
Таблица 3.1 – Варианты задания 3.1
| Вариант | Предел | Вариант | Предел |
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
|
|
Окончание таблицы 3.1
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
|
Таблица 3.2 – Варианты задания 3.2
| Вариант | Функция | Вариант | Функция |
| 
| ||
| 
|
Продолжение таблицы 3.2
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Окончание таблицы 3.2
| 
|
Таблица 3.3 – Варианты задания 3.3
| Вариант | Функция | Вариант | Функция |
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Окончание таблицы 3.3
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Таблица 3.4 – Варианты задания 3.4
| Вариант | Функция | Вариант | Функция |
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
|
| ||
| 
|
Окончание таблицы 3.4
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Таблица 3.5 – Варианты задания 3.5
| Вариант | Линейная зависимость | |||||
| 1,0 | 1,5 | 2,0 | 3,0 | 3,2 | |
| 8,1 | 9,0 | 11,2 | 13,8 | 14,7 | |
|
| 0,3 | 0,5 | 0,8 | 1,1 | 2,3 | |
|
| 1,4 | 0,7 | -0,9 | -2,3 | -8,8 | |
|
| 0,5 | 0,8 | 1,2 | 1,3 | 4,0 | |
|
| 6,3 | 7,0 | 9,0 | 9,3 | 16,8 | |
|
| 1,2 | 1,7 | 3,3 | 4,1 | 4,3 | |
|
| -3,1 | -5,6 | -17,1 | -23,1 | -24,8 |
Продолжение таблицы 3.5
|
| 0,7 | 0,9 | 1,3 | 1,6 | 2,3 | |
|
| 7,0 | 8,0 | 9,0 | 10,0 | 12,0 | |
|
| -3,4 | -3,2 | -3,1 | -2,5 | -1,5 | |
|
| -13,9 | -12,9 | -12,2 | -9,1 | -4,2 | |
|
| 2,1 | 2,5 | 3,0 | 3,1 | 3,3 | |
|
| 11,1 | 12,8 | 13,9 | 14,5 | 15,1 | |
|
| 0,7 | 0,9 | 1,2 | 1,3 | 1,7 | |
|
| 1,7 | 1,1 | 0,8 | 0,1 | -0,5 | |
|
| -1,1 | -0,5 | 0,2 | 0,4 | 0,7 | |
|
| 2,1 | 3,4 | 5,1 | 6,3 | 6,9 | |
|
| -1,2 | -0,7 | 0,3 | 1,5 | 1,7 | |
|
| 5,1 | 5,1 | 0,1 | 0,2 | -0,7 | |
|
| 2,1 | 3,0 | 3,2 | 3,9 | 4,1 | |
|
| 3,4 | 8,1 | 9,2 | 12,6 | 13,3 | |
|
| 1,7 | 1,9 | 2,3 | 2,5 | 3,5 | |
|
| 0,1 | -0,6 | -2,0 | -2,7 | -5,3 | |
|
| -0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,9 | 1,2 | |
|
| -7,1 | -6,2 | -4,3 | -2,7 | -0,9 | |
|
| -1,2 | -1,1 | -0,9 | -0,5 | 0,1 | |
|
| 8,7 | 8,1 | 7,8 | 6,4 | 4,5 |
Продолжение таблицы 3.5
|
| 3,2 | 3,8 | 4,7 | 5,1 | 5,4 | |
|
| 10,5 | 12,3 | 14,9 | 16,4 | 16,9 | |
|
| 2,1 | 2,3 | 3,1 | 3,8 | 4,5 | |
|
| -9,3 | -7,2 | -13,4 | -16,1 | -18,9 | |
|
| 1,1 | 2,1 | 3,4 | 4,3 | 4,9 | |
|
| -0,8 | 1,2 | 3,8 | 5,4 | 6,7 | |
|
| 10,1 | 11,5 | 13,6 | 16,2 | 17,5 | |
|
| 0,9 | 0,8 | 0,6 | 0,3 | 0,2 | |
|
| 0,1 | 0,3 | 0,5 | 1,2 | 2,1 | |
|
| 1,0 | 1,1 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | |
|
| 3,2 | 4,1 | 5,3 | 6,7 | 7,3 | |
|
| 1,6 | 1,4 | 1,1 | 0,9 | 0,7 | |
|
| 1,1 | 1,3 | 1,7 | 1,9 | 2,2 | |
|
| 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,6 | 1,7 | |
|
| 2,2 | 3,1 | 4,5 | 5,3 | 5,7 | |
|
| 0,1 | -0,4 | -1,2 | -1,6 | -1,8 | |
|
| 1,3 | 2,4 | 3,5 | 4,1 | 5,5 | |
|
| 3,4 | 4,7 | 5,5 | 6,5 | 7,8 | |
|
| 1,9 | 2,4 | 3,7 | 4,3 | 6,1 | |
|
| -3,4 | -3,8 | -4,7 | -5,1 | -6,4 |
Окончание таблицы 3.5
|
| -1,1 | -0,7 | -0,5 | -0,1 | 1,2 | |
|
| 2,4 | 2,7 | 2,9 | 3,4 | 4,9 | |
|
| -9,1 | -7,5 | -2,1 | -0,6 | 2,0 | |
|
| 23,7 | 19,4 | 4,8 | 0,7 | -6,3 | |
|
| 4,5 | 5,1 | 5,2 | 6,1 | 6,4 | |
|
| 8,6 | 10,0 | 10,3 | 12,8 | 13,0 | |
|
| -3,1 | -1,5 | -0,7 | 1,2 | 2,1 | |
|
| 13,6 | 8,0 | 5,2 | -1,5 | -4,6 | |
|
| 1,0 | 3,7 | 5,8 | 6,1 | 7,2 | |
|
| 2,8 | 6,8 | 10,0 | 10,4 | 12,1 | |
|
| 5,1 | 5,5 | 5,7 | 6,2 | 8,1 | |
|
| -23,7 | -25,4 | -26,2 | -28,3 | -36,3 |