Тогда
в) 
Решение
Используем формулу, позволяющую понизить степень тригонометри-ческой функции
Тогда получаем
г) 
Решение
Так как подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, то разделим числитель на знаменатель:
Таким образом, получаем
П р и м е р 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
Решение. Изобразим фигуру, площадь которой необходимо вычислить:
Координаты точек пересечения параболы и прямой 
найдем из решения системы 
Откуда получаем (
) и (
) – координаты точек пересечения. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, находим
= 
(ед.2).
П р и м е р 3. Вычислить длину дуги данной линии
Решение. Воспользуемся формулой
Находим подынтегральную функцию:
П р и м е р 4
а) Найти общее решение уравнения
(1)
Решение. Данное уравнение относится к уравнениям вида 
Понизив его порядок с помощью подстановки 
где 
. Тогда 
. Подставив в уравнение (1) вместо 
и 
их выражения, получим
(2)
Это однородное уравнение первого порядка относительно функции 
. Уравнение (2) решим с помощью подстановки 
Подставив это в уравнение (2), получим
Разделив переменные и проинтегрировав, получим
,
,
.
Проинтегрировав, получим
б) Найти общее решение уравнения
. (3)
Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относится к уравнениям вида Порядок такого уравнения понижается подстановкой 
, где 
Тогда
Подставляя вместо и их выражения в уравнение (3), получим
или
– линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно искомой функции 
Решаем подстановкой 
,
. (4)
Функцию 
выберем так, чтобы коэффициент при 
был равен нулю.
или 
Подставляя 
в уравнение (4), получим
.
Тогда 
или
Разделив переменные и проинтегрировав, получим
– общий интеграл данного уравнения при 
Если 
т.е. 
то 
Ответ: 
.
П р и м е р 5. Найти частное решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее начальным условиям 
Решение. Общее решение данного уравнения состоит из суммы общего решения 
соответствующего однородного уравнения и частного решения 
неоднородного уравнения, т.е. 
Решим сначала однородное уравнение
.
Составим и решим характеристическое уравнение
Так как корни характеристического уравнения действительные и разные, то общее решение будет иметь вид
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде 
.
В нашем случае 
так как 
встречается один раз среди корней характеристического уравнения.
Итак, 
, где 
это многочлен нулевой степени.
(Если 
то 
при 
и т.д.).
Чтобы найти коэффициент А, найдем 
и подставим в первоначальное уравнение.
;
.
.
Приведя подобные и сократив на 
, получим
откуда 
и частное решение имеет вид 
.
Общее решение данного уравнения:
Найдем 
и поставим начальные условия, откуда найдем 
и 
.
откуда 
.
И частное решение будет иметь вид
П р и м е р 6. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле 
в том и другом порядке, если область 
задана линиями 
и вычислить площадь этой области.
Решение. Строим область :
  |
Площадь плоской области с помощью двойного интеграла вычисляется по формуле
.
Расставим пределы интегрирования в том и другом порядке. Переменная 
изменяется от 0 до 1, в это время 
изменяется от прямой 
до параболы 
, так как прямая, параллельная оси ОУ, пересекает сначала прямую (нижний предел), а затем параболу (верхний предел). При изменении порядка интегрирования область придется разбить на две области 1 и 2 прямой, параллельной оси 
, так как правая часть контура области состоит из двух линий, определяемых разными уравнениями 
и 
Следовательно,
(кв.ед.)
П р и м е р 7. Вычислить криволинейный интеграл 
,
где АВ–дуга параболы 
от т.А(
) до т.В (
).
Решение. Изобразим кривую, вдоль которой ведется интегрирование:
Вычисление криволинейного интеграла сведем к вычислению определенного интеграла по формуле
= 
.
Так как АВ–дуга параболы, заданной уравнением от т.А() до т.В (), то 
, а переменная меняется в пределах от 1 до 2. Следовательно,
= 
= 
= 
В О П Р О С Ы для подготовки к экзамену