Тема 5. Длина волны де Бройля

В 1924 году французский физик Луи де Бройль предположил, что корпускулярно-волновой дуализм присущ не только фотону, но и микрочастицам (атомам, молекулам, элементарным частицам). Это значит, что микрочастицы имеют не только корпускулярные свойства, но и волновые свойства. С движущейся частицей можно связать длину волны де Бройля

, (5.1)

где h - постоянная Планка, в знаменателе масса и скорость частицы.

Импульс тела равен , тогда длину волны де Бройля можно записать в виде

.

При большом импульсе тела длина волны де Бройля мала и не влияет на физические свойства тела. У микрочастиц (электронов и др. элементарных частиц, атомов, молекул) импульс маленький из-за малости массы частицы и длина волны достаточная для того, чтобы проявлялись волновые свойства.

У движущихся микрочастиц наблюдаются волновые явления: интерференция и дифракция.

Дифракцию электронов впервые наблюдали К. Дэвисон и Л. Джермер в 1927 году при отражении электронов от кристалла никеля. В том же году

 

 

 

П. Тартаковский и Дж.П. Томсон независимо друг от друга наблюдали дифракцию пучка электронов на металлической фольге (рис 20.1.1). Из катода К вылетают электроны, которые фокусируются с помощью анода А, и проходят сквозь металлическую фольгу М толщиной 1 мкм. В результате на фотопластинке Ф получается дифракционная картина подобная дифракционной картине световых волн (рис.20.1.2).

В опытах В. Фабриканта(1948 г.) было доказано, что волновые свойства присущи не только потоку электронов, но и одному электрону. В этих опытах пучок электронов был очень слабый, время испускания двух последовательных электронов в десятки тысяч раз было больше времени движения электрона от источника до экрана. Распределение электронов на экране было таким же, как для мощного пучка электронов.

Позже наблюдали дифракцию нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Длину волны де Бройля при движении микрочастицы с релятивистской скоростью можно получить, если учесть зависимость массы от скорости

.

Подставляя формулу массы в выражение длины волны де Бройля (5.1), получим

.

Волновые свойства микрочастиц привели к созданию электронной оптики: электронного и ионного микроскопа, электронно-оптического преобразователя.

При решении некоторых задач удобно импульс р частицы выражать через ее кинетическую энергию W_к. Для релятивистского движения частицы применяют соотношение

а в классическом случае здесь Е _о – энергия покоя частицы

ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Пример 1. Рассчитать длину волны де Бройля для электрона, прошедшего ускоряющее поле с разностью потенциалов 100 В.

 

Дано: U=100 B

Найти: λ-?

Решение

Длину волны де Бройля движущегося электрона можно определить по формуле

. (1)

Для решения задачи необходимо сравнить кинетическую энергию электрона с его энергией покоя Е _о

 

Кинетическая энергия электрона много меньше энергии покоя электрона W_к << E _o, поэтому для решения задачи можно использовать формулы классической механики.

В случае, когда кинетическая энергия частицы больше её энергии покоя , необходимо учитывать зависимость массы от скорости и пользоваться формулами релятивистской механики.

Электрон, прошедший разность потенциалов 100 В, приобретает кинетическую энергию за счет работы электрического поля, поэтому можно записать

. (2)

 

Из формулы (5.3) находим скорость

 

. (3)

Подставим выражение (3) в формулу (1)

 

.

 

Проводя преобразования, получим расчетную формулу длины волны де Бройля для электрона

 

.

Вычисления:

= 1,2∙10^-8м.

 

Ответ: λ=1,2∙10^-8м.

 

 

Пример 2. Вычислить длину волны де Бройля для протона, движущегося со скоростью 0,6с (с – скорость света в вакууме).

 

Дано:

Найти:

Длина волны для протона определяется по формуле де Бройля .

Решение

При движении частицы со скоростью близкой к скорости света необходимо учесть, что релятивистская масса зависит от скорости .

Подставляя выражение

.

Вычисления: λ= = 1,76∙10^-15 м

Ответ: 1,76∙10^-15 м.

Пример 3. Электрон движется по окружности радиусом 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией 0,008 Тл. Определить длину волны де Бройля электрона.

Дано:R=0.5см B=0,008Тл

Найти:

Решение

Дебройлевскую длину волны микрочастицы определяют по формуле

Радиус круговой орбиты электрона, движущегося в магнитном поле равен

.

Определим скорость частицы

и, подставляя ее в формулу, получаем

.

Вычисления: λ = = 10^-10 м

Ответ: =10^-10 м.

 

Пример 4. Найти длину волны де Бройля для атома водорода, движущегося при температуре 293 К с наиболее вероятной скоростью.

Дано: Т=293 К = кг/моль

Найти:

Решение

Дебройлевскую длину волны микрочастицы можно найти по формуле

.

Наиболее вероятная скорость определяется выражением

.

Подставляя в формулу выражение и массу атома

,

получаем .

Вычисления:

λ = = 180 пм

Ответ: = 180пм.

ЗАДАЧИ

1.Электрон движется со скоростью 1000 . Определить длину волны де Бройля, характеризующую волновые свойства электрона.

 

2. Определить ускоряющую разность потенциалов, которую должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля была равна 1 ?

 

3.Скорость движения электрона равна 200000 км/с. Определить длину волны де Бройля, учитывая изменение массы в зависимости от скорости.

 

4. Найти длину волны де бройля электрона, если его кинетическая энергия равна 1кэВ.

 

5. Определить длину волны де Бройля для протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов в 1 МВ.

 

6. Определить длину волны де Бройля для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии (скорость электрона равна 2·10⁶ м/с).

 

7. Рассчитать длину волны электрона, находящегося на второй орбите в атоме водорода.

 

8. Найти скорость движения электрона, если его дебройлевская длина волны численно равна его комптоновской длине волны

( м)?

 

9. Найти длину волны де Бройля для электронов, бомбардирующих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного спектра рентгеновских лучей приходится на длину волны .

 

10. Электрон движется по окружности радиусом 0,4 см в однородном магнитном поле с индукцией 7^. 10 ^–3 Тл. Определить длину волны де Бройля электрона.

 

11. Вычислить длину волны де Бройля для электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U = 25 В.

 

12. Вычислить длину волны де Бройля для протона, движущегося со скоростью V = 0,6 с (с - скорость света в вакууме).

 

13. На узкую щель шириной 1 мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость 3,65 ^. 10 ⁸ . Учитывая волновые свойства электронов, определить расстояние между двумя максимумами первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на L = 10 cм от щели.

 

14. Рассчитать длину волны де Бройля для протона, прошедшего ускоряющее поле с разностью потенциалов 100 В.

 

15. Вывести в общем виде формулу, выражающую зависимость волны де Бройля от ускоряющей разности потенциалов для релятивистской частицы.

 

16. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы дебройлевская длина волны была равна 1нм?

 

17. Определить длину волн де Бройля a -частицы, прошедшей ускоряющую разность потенциалов 1 кВ.

 

18. Кинетическая энергия протона равна 1 кэВ. Определить величину дополнительной энергии D W, которую необходимо ему сообщить для того, чтобы дебройлевская длина волны уменьшилась в три раза.

 

19. Определить длину волны де Бройля для частицы массой т = 1 г, движущейся со скоростью V = 10 . Нужно ли учитывать в этом случае волновые свойства частицы?

 

20. Вычислить длину волны l де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией W_k = 13,6 эВ (энергия ионизации атома водорода). Сравнить полученное значение l с диаметром d атома водорода (найти отношение ). Нужно ли учитывать волновые свойства электрона при изучении движения электрона в атоме водорода? Диаметр атома водорода принять равным удвоенному значению боровского радиуса.

 

21. Вычислить длину волны де Бройля l для тепловых (Т = 300 К) нейтронов. Масса нейтрона т_n = 1,67 ^. 10 ^–27 кг.

 

22. Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 15 мТл по окружности радиусом R = 1,4 м. Определите длину волны де Бройля для протона.

 

23. Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы длина волны де Бройля l для него была равна 1 нм.

 

24. Определите длину волны де Бройля для электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите.

 

25. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 500 В, имеет длину волны де Бройля l = 1,282 пм. Принимая заряд этой частицы равным заряду электрона, определите ее массу.

 

26. При какой скорости электрона его дебройлевская длина волны будет равна 6^. 10 ^–7 м? Какой области спектра электромагнитных волн соответствует эта длина волны?

 

27. При какой скорости электрона его дебройлевская длина волны будет равна 10 ^–10 м? Какой области спектра электромагнитных волн соответствует эта длина волны?

 

28. Определить длину волны де Бройля электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите.

 

29. Определить длину волны протона, движущегося со средней квадратичной скоростью при температуре 310 К.

 

30. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 100 до 50 пм?