Задание 1. Доказать выполнимость следующих соотношений.
Вариант 1.
Вариант 2.
Вариант 3.
Вариант 4.
Вариант 5.
Вариант 6.
Задание 2. Для бинарных отношений определить, какими свойствами они обладают.
Вариант 1.
Пусть множество определено на множестве Z: xRy 
x 
y(mod 3). Это отношение сравнимости по модулю 3, которое означает, что xRy (x-y)/3=k 
Z.
Вариант 2.
Отношение определено на множестве действительных чисел: xRy x-y 
Z.
Вариант 3.
Отношение определено на множестве Z: xRy 
x 
y+1
Вариант 4.
Отношение определено на множестве Z: xRy 2x=3y
Вариант 5.
Отношение определено на множестве N: xRy 
x/y
Вариант 6.
Отношение определено на множестве Z: xRy 30/(x-y)
Тема 4. Комбинаторика.
Задание 1.
| Вариант | Задача |
| Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить? | |
| Каждую клетку квадратной таблицы 2×2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы? | |
| Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее "Спортпрогноз"? (В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча – победа одной из команд либо ничья; счет роли не играет). | |
| В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? | |
| Cколько существует различных семизначных телефонных номеров (считается, что номер начинаться с нуля не может)? | |
| В классе 30 учащихся. Сколькими способами могут быть выбраны староста и физорг, если каждый учащийся может быть избран на одну из этих должностей? | |
| У Димы есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами он сможет украсить ими пять елок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик? | |
| В пассажирском поезде 17 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 17 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник? | |
| Натуральные числа от 1 до 100 расставлены по кругу в таком порядке, что каждое число либо больше обоих соседей, либо меньше обоих соседей. Пара соседних чисел называется хорошей, если при выкидывании этой пары вышеописанное свойство сохраняется. Какое минимальное количество хороших пар может быть? | |
| Сколькими способами можно построить замкнутую ломаную, вершинами которой являются вершины правильного шестиугольника (ломаная может быть самопересекающейся)? |
Задание 2.
| Вариант | Задача |
| Чемпионат России по шахматам проводится в один круг. Сколько играется партий, если участвуют 18 шахматистов? | |
| Сколькими способами можно выбрать 4 краски из имеющихся 7 различных? | |
| На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках? | |
| Рота состоит из трех офицеров, шести сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых? | |
| У одного школьника есть 6 книг по математике, а у другого – 8. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого? | |
| Сколькими способами можно составить комиссию из 3 человек, выбирая ее членов из 4 супружеских пар, но так, чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновременно? | |
| На полке стоит 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них 5 книг, никакие две из которых не стоят рядом? | |
| Имеется 20 человек – 10 юношей и 10 девушек. Сколько существует способов составить компанию, в которой было бы одинаковое число юношей и девушек? | |
| Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов? | |
| На плоскости дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная, в которой 31 звено (соседние звенья не лежат на одной прямой). Через каждое звено провели прямую, содержащую это звено. Получили 31 прямую, некоторые, возможно, совпали. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться? |
Задание 3.
| Вариант | Задание | ||
| Найти разложение (a+b)8, используя треугольник Паскаля | |||
| Написать разложение бинома (x-2y)5 | |||
| В разложении (x3-3y2)10 найти коэффициент при x9y14 | |||
Найти член, содержащий x4 в разложение бинома ( )9
| |||
Найти члены, не содержащие иррациональности в разложение бинома ( )24
| |||
| Решить уравнение (n+2)!/n!=72 | |||
Решить уравнение 
| |||
Решить уравнение 
| |||
Решить уравнение 
| |||
Решить уравнение 
| |||
Задание 4. Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать неупорядоченный набор из 5 карт так, чтобы в этом наборе было бы точно:
| Вариант | Задание |
| 1 король, 2 дамы, 1 пиковая карта | |
| 1 крестовая карта, 2 дамы, нет червей | |
| Хотя бы 4 крестовые карты, 1 туз | |
| 3 дамы, 2 крестовые карты | |
| 1 бубновая карта, 2 крестовых, 1 дама | |
| 2 бубновые, 2 крестовые, 1 туз | |
| По крайней мере 4 пиковые карты, 1 дама | |
| 2 карты черной масти, 2 дамы | |
| 1 туз, 1 валет, 1 карта красной масти | |
| 3 туза, 3 карты черной масти |