ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

 

Методическое пособие

К выполнению курсовой работы

Архангельск

Рассмотрено и рекомендовано к изданию методической комиссией

химико-технологического факультета

Архангельского государственного технического университета

24 декабря 2009 г.

 

 

Рецензенты

Ю.И. Берлин, ст. преп., кафедры бухгалтерского учета, аудита и статистики, канд. экон. наук, Всероссийский заочный финансово-экономический институт

А.Н. Шкаев, доцент, канд. хим. наук, Архангельский государственный технический университет

 

 

Планирование эксперимента: методическое пособие к выполнению курсовой работы [Текст] / авт. – сост. С.А. Кабаков. – Архангельск: Арханг. гос. техн. ун-т, 2010. – 101 c.

 

 

Подготовлено на кафедре “Стандартизация, метрология и сертификация”.

Выполнение курсовой работы по дисциплине “Планирование и организация эксперимента” позволит получить навыки при планировании эксперимента с расчетом реализованного полного факторного плана, получением уравнения регрессии, проверки его адекватности и построением поверхности отклика. В методическом пособии приведены некоторые теоретические положения, а также показан пример выполнения курсовой работы.

 

© Архангельский государственный

технический университет, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………
1 ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ………………….
2 ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА…………………………
2.1 Факторы………………………………………………………
2.2 Выбор уровней варьирования факторов и основного уровня
2.3 Система “черный ящик” ……………………………………
2.4 Определение значимости коэффициентов регрессии…….
3 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА ……………………………………………
3.1 Выявление грубых погрешностей ………………………...
3.2 Полигон и гистограмма частот распределения …………..
4 ПРИМЕР ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ………
4.1 Первичная обработка………………………………………...
4.2 Определение доверительного интервала…………………...
4.3 Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений…………………………………………..
5 РАСЧЕТЫПО ПЛАНИРОВАНИЮ ПОЛНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА……………………………...…………….
5.1 Расчет реализованного плана полного факторного эксперимента (ПФП)……………………………………………………
5.2 Расчет коэффициентов уравнения регрессии ………………
5.3 Определение значимости коэффициентов регрессии………
5.4 Проверка уравнения на адекватность……………………….
5.5 Приведение уравнения регрессии к натуральным значениям
5.6 Построение поверхности отклика……………………….....
ПРИЛОЖЕНИЕ А Квантили распределения Стьюдента t(p,f)..
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Значение f2(t) – распределение Пирсона ……
ПРИЛОЖЕНИЕ В Значения функции Лапласа…………………
ПРИЛОЖЕНИЕ Г Квантили распределения Фишера ………
ПРИЛОЖЕНИЕ Д Квантили распределения Кохрана……….
Варианты для выполнения курсовой работы……………………....

 

ВВЕДЕНИЕ

Эксперименты, как правило, являются многофакторными и связаны с оптимизацией качества материалов, отысканием оптимальных условий проведения технологических процессов, параметров оборудования и т.д. Объекты таких исследований зачастую представляют собой сложную систему, поэтому, несмотря на значительный объем выполненных исследовательских работ невозможно достаточно полно изучить данный объект. В связи с этим многие решения основаны на информации, имеющей случайный характер, и поэтому отличаются от истинных значений.

Традиционные методы исследований связаны с экспериментами, которые требуют больших затрат, сил и средств, так как основаны на поочередном варьировании отдельных независимых переменных при сохранении остальных в неизменном виде.

В шестидесятые годы прошлого столетия появилось новое направление в планировании эксперимента, связанное с оптимизацией процессов – планирование экстремального эксперимента. Первая работа в этой области была опубликована в начале 50-х годов английскими учеными Боксом и Уилсоном. Они предложили последовательно ставить небольшие серии опытов, в каждой из которых одновременно изменяются (варьируются) по определенным правилам все факторы. Серии опытов проводят таким образом, чтобы после математической обработки предыдущей можно было спланировать следующую серию опытов. Так последовательно, шаг за шагом, достигается область оптимума.

Планирование эксперимента делает поведение экспериментатора целенаправленным и организованным, существенно способствует повышению производительности труда и надежности полученных результатов. Важным достоинством является его универсальность, возможность применения в большинстве областей исследований.

 

 

1 ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

 

Объект исследования – материал, продукция, оборудование или технологический процесс.

Теория – совокупность положений, объясняющие общим принципом какие-либо факты, дающие возможность открывать и объяснять новые факты.

Фактор – переменная величина, по предположению влияющая на результаты эксперимента.

Эксперимент – система операций, воздействий и (или) наблюдений, направленных на получение информации об объекте при исследовательских испытаниях.

Опыт – воспроизведение исследовательского явления в определённых условиях проведения эксперимента при возможности регистрации его результатов.

Математическая статистика – наука о математических методах получения, систематизации, обработки, анализа и использования статистических данных для научных и практических выводов. Математическая статистика опирается на теорию вероятности, которая дает возможность оценить надежность и точность выводов, сделанных на основе ограниченного статистического материала.

План эксперимента – совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации планов.

Активный эксперимент – эксперимент, в котором уровни факторов в каждом опыте задаются исследователем.

Пассивный эксперимент – эксперимент, при котором уровни факторов в каждом опыте регистрируются исследователем, но не задаются.

Последовательный эксперимент – эксперимент, реализуемый в виде серий, в котором условия проведения каждой последующей серии определяются результатами предыдущих.

Отклик – наблюдаемая случайная переменная, по предположению, зависящая от факторов.

Функция отклика – зависимость математического ожидания отклика от факторов.

Поверхность отклика – геометрическое представление функции отклика.

Модель регрессионного анализа – зависимость отклика от количественных факторов и ошибок наблюдения отклика.

Адекватность математической модели – соответствие математической модели экспериментальным данным по выбранному критерию.

Коэффициент регрессии – параметр модели регрессионного анализа.

Точка плана – упорядоченная совокупность числовых значений факторов, соответствующая условиям проведения опыта.

Центральная точка опыта – точка опыта, соответствующая нулям нормализованной (безразмерной) шкалы по всем факторам.

Звёздная точка плана – точка плана второго плана, лежащая на координатной оси в факторном пространстве.

Матрица плана – стандартная форма записи условий проведения экспериментов в виде прямоугольной таблицы, строки которой отвечают опытам, столбцы - факторам.

Полный факторный план – план, содержащий все возможные комбинации всех факторов на определённом числе уровней равное число раз.

Дробный факторный эксперимент – план, содержащий часть комбинаций полного факторного плана.

Регрессионный анализ – статистический метод анализа и обработки экспериментальных данных при воздействии на отклик только количественных факторов, основанный на сочетании аппарата метода наименьших квадратов и техники статистической проверки гипотез.

Дисперсионный анализ – статистический метод анализа и обработки экспериментальных данных при воздействии на отклик только количественных факторов, основанный на использовании техники статистической проверки гипотез и представлений и общей вариации экспериментальных данных в виде суммы вариации, обусловленных исследуемыми факторами и их взаимодействиями.

 

2 ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

 

Планирование эксперимента – это наиболее эффективное (оптимальное) управление ходом эксперимента для получения максимально возможной информации на основе минимально допустимого количества опытов.

Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называют активным эксперимен­том. В противном случае эксперимент является пассивным.

Перед планированием активного эксперимента собирают предварительную (априорную) информацию об исследуемом объекте. Для получе­ния такой информации используют результаты экспериментов, проводимых в предыдущих исследованиях или опи­санных в литературных источниках. Планирование эксперимента позволяет варьировать всеми факторами и получать одновременно оценки их влияния. В случае статистического подхода математическую модель объекта или процесса пред­ставляют в виде полинома, т.е. отрезка ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная функция:

(2.1)

где b₀ - свободный член;

b_i - линейные эффекты;

b_ij - эффекты парного взаимодействия;

b_iju - эффекты тройного взаимодействия.

 

2.1 Факторы

 

После выбора объекта исследования и параметра оптимизации устанавливают все факторы, которые могут влиять на выбранный объект. Если какой-либо существенный фактор в ходе эксперимента принимал произвольные значения, не контролируемые экспериментатором, то в результате значительно возрастет ошибка опыта. Поддержание такого фактора на определенном уровне приведет к ложному представлению об оптимуме, т.к. не гарантирует оптимальности полученного уровня.

Фактором называют измеряемую переменную величину, принимающую в некоторый момент времени определенное значение и влияющую на объект исследования.

Факторы должны иметь область определения, внутри которой задают его конкретные значения. Область определения может быть непрерывной или дискретной. При планировании эксперимента значения факторов дискретные, что связано с уровнями факторов. В практических задачах области определения факторов имеют ограничения, которые носят либо принципиальный, либо технический характер.

Факторы бывают количественными и качественными.

Факторы должны быть управляемыми, что означает возможность поддерживания нужного значения фактора на постоянном уровне в течение всего опыта. Планировать эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов может задавать экспериментатор.

Например, эксперименты проводят на открытой площадке. В этом случае невозможно управлять температурой воздуха, ее можно только контролировать, и потому при выполнении опытов температуру, как фактор, не учитывают.

Точность замеров факторов должна быть максимально высокой, при этом степень точности зависит от диапазона изменения факторов. В длительных процессах, измеряемых многими часами, минуты не учитывают, а в быстрых процессах учитывают даже доли секунды.

Факторы должны быть однозначны. Трудно управлять фактором, который является функцией других факторов. Однако в планировании могут участвовать другие факторы, такие, как соотношения между компонентами, их логарифмы и т.п.

При планировании эксперимента одновременно изменяют несколько факторов, поэтому необходимо знать требования к совокупности факторов. Прежде всего, факторы должны быть совместимы, что означает осуществимость и безопасность всех их комбинаций.

Несовместимость факторов наблюдается на границах областей их определения, а избавиться от нее можно сокращениемэтих областей. Положение усложняется, если несовместимость проявляется внутри областей определения. В этом случае одно из возможных решений – разбиение на подобласти и решение двух отдельных задач.

При планировании эксперимента важна независимость факторов, т.е. возможность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Если это условие невыполнимо, то невозможно планировать эксперимент.

 

2.2 Выбор уровней варьирования факторов и основного уровня

 

Фактор считают заданным, если указаны его название и область определения. В выбранной области определения он может иметь несколько значений, которые соответствуют числу его различных состояний. Выбранные для эксперимента количественные или качественные состояния фактора называют уровнями фактора.

В планировании эксперимента значения факторов, соответствующие определенным уровням их варьирования, выражают в кодированных величинах. Под интервалом варьирования фактора понимают разность между двумя его значениями.

При выборе области определения факторов особое внимание уделяют выбору нулевой точки, или нулевого (основного) уровня. Выбор нулевой точки эквивалентен определению исходного состояния объекта исследования. Оптимизация связана с улучшением состояния объекта по сравнению с состоянием в нулевой точке. Поэтому желательно, чтобы данная точка была в области оптимума или как можно ближе к ней, тогда можно ускорить поиск оптимальных решений.

Если проведению эксперимента предшествовали другие исследования по рассматриваемому вопросу или проведен анализ имеющихся литературных данных (получение априорной информации), то за нулевую принимают точку, которой соответствует наилучшее значение параметра оптимизации, установленного в результате формализации априорной информации.

Если при постановке задачи область определения факторов задана, то центр этой области принимают за нулевую точку. Например, если в некоторой задаче фактор W (влажность) изменяется от 10 до 60 %., то за нулевой уровень принимают среднее значение фактора, соответствующее 35 %.

После установления нулевой точки выбирают интервалы варьирования факторов. Это связано с определением таких значений факторов, которые в кодированных величинах соответствуют “+1” и “–1”. Интервалы варьирования выбирают с учетом того, что значения факторов, соответствующие уровням “+1” и “–1”, должны в достаточной степени отличаться от значения, соответствующему нулевому уровню. Поэтому во всех случаях величина интервала варьирования должна быть больше удвоенной квадратичной ошибки фиксирования данного фактора. С другой стороны, чрезмерное увеличение величины интервалов варьирования нежелательно, т.к. это может привести к снижению эффективности поиска оптимума, а очень малый интервал варьирования уменьшает область эксперимента, что замедляет поиск оптимума.

При выборе интервала варьирования целесообразно учитывать, если это возможно, число уровней варьирования факторов в области эксперимента. От числа уровней зависят объем эксперимента и эффективность оптимизации.

В общем виде зависимость числа опытов от числа уровней факторов имеет вид

N=p^k, (2.2)

где N – число опытов;

р – число уровней факторов;

k – число факторов.

Минимальное число уровней, применяемое на первой стадии эксперимента, равно 2. Это верхний и нижний уровни, обозначаемые в кодированных координатах через “+1” и “–1”. Варьирование факторов на двух уровнях используют в отсеивающих экспериментах, на стадии движения в область оптимума и при описании объекта исследования линейными моделями. Но такое число уровней недостаточно для построения моделей второго порядка (если фактор принимает только два значения, то через две точки можно провести множество линий различной кривизны).

С увеличением числа уровней повышается чувствительность эксперимента, но одновременно возрастает число опытов. При построении моделей второго порядка используют 3, 4 или 5 уровней, причем здесь наличие нечетных уровней указывает на проведение опытов в нулевых (основных) уровнях.

В каждом отдельном случае число уровней выбирают с учетом условий задачи и предполагаемых методов планирования эксперимента.

Необходимо учитывать наличие качественных и дискретных факторов. В экспериментах, связанных с построением линейных моделей, наличие этих факторов, как правило, не вызывают дополнительных трудностей. При планировании второго порядка качественные факторы не применимы, т.к. они не имеют ясного физического смысла для нулевого уровня. Для дискретных факторов часто применяют преобразование измерительных шкал, чтобы обеспечить фиксацию значений факторов на всех уровнях.

После выбора объекта исследования и параметра оптимизации оценивают все факторы, которые могут влиять на объект. Если какой-либо существенный фактор окажется неучтенным, принимающим произвольные значения, не контролируемые экспериментатором, то это существенно увеличит ошибку опыта. При поддержании этого фактора на определенном уровне может быть получено ложное представление об оптимуме, т.к. нет гарантии, что полученный уровень является оптимальным.

С другой стороны большое число факторов увеличивает число опытов и размерность факторного пространства. Итак, выбор факторов является весьма существенным, т.к. от этого зависит успех оптимизации.

 

2.3 Система “черный ящик”

 

Объект исследования можно представить в виде системы “черный ящик” (рисунок 2.1). Суть такой системы состоит в изучении зависимости отклика системы Y на изменение входных измеряемых и управляемых параметров (факторов) X(x₁, x₂,..., x_k) при действии случайных факторов W(w₁,w₂,..., w_n), которые на­зывают возмущающими эффектами объекта. Параметры Х называют основными, определяющими условия эксперимента. Выходным параметром (откликом) Y могут быть любые технологические или технические показатели исследуемого процесса. Случайным будет считаться любой фактор, не вошедший в основной ком­плекс входных параметров.

Рисунок 2.1 – Система “черный ящик”

 

При описании области, близкой к экстремуму, чаще других применяют полиномы второго порядка, что связано в первую очередь с тем, что полино­мы второго порядка легко поддаются систематизации и исследованию на экстремум. При этом число опытов N должно быть не меньше числа опреде­ляемых коэффициентов в уравнении регрессии второго порядка для k факто­ров.

На практике функцию (2.1) строят в виде полинома

. (2.3)

После выбора линейной модели для построения аппроксимирующей функции выбирают основной уровень и интервал варьирования для каждого фактора. Для линейной модели интервал варьирования определяют

, (2.4)

где X_{i max}, X_{i min} – значения факторов на верхнем и нижнем уровнях.

Основной (нулевой) уровень определяют

 

. (2.5)

Для упрощения планирования эксперимента вместо реальных (натуральных) уровней факторов используют кодированные значения факторов. Эту операцию называют нормализацией.

, (2.6)

где x_i – нормализованное значение переменного фактора;

, – натуральные значения факторов.

Рассмотрим полный факторный план (ПФП) линейной модели (2.1) при числе факторов k = 2. Для проведения полного факторного эксперимента необходимо провести N = 2^k опытов, где 2 – число уровней факторов.

Условие проведения такого эксперимента можно записать в виде матрицы.

 

Номер серии опытов	x1	x2	x1.x2	yj
	-1	-1	+1	y1
	+1	-1	-1	y2
	-1	+1	-1	y3
	+1	+1	+1	y4

Коэффициенты регрессии рассчитывают по формулам

, (2.7)

, (2.8)

, (2.9)

. (2.10)

2.4 Определение значимости коэффициентов регрессии

 

В планах ПФП дисперсии коэффициентов при линейных членах и членах, характеризующих взаимодействие различных порядков, равны, что упрощает оценку значимости коэффициентов. Коэффициенты считают значимыми, если выполняется условие

, (2.11)

где - дисперсия коэффициентов регрессии;

– коэффициент Стьюдента (приложение 1),

при p = 0,05 и f = N (n – 1));

f – число степеней свободы;

n – число повторных опытов;

N – число серий опытов.

 

Дисперсию коэффициентов регрессии рассчитывают

(2.12)

где _ дисперсия воспроизводимости выходного параметра,

, (2.13)

где - сумма построчных дисперсий.

= , (2.14)

где - значение выходной величины в i -ом дублированном опыте j - ой серии;

- среднее арифметическое повторных опытов.

Среднее арифметическое повторных опытов определяют

. (2.15)

 

Следующим этапом оценивают воспроизводимость экспериментальных данных по критерию Кохрана (приложение Г).

, (2.16)

где S²_{j max} – максимальное значение дисперсии серий опытов.

Если < , то опыты воспроизводимы (статистически однородны), если – необходимо принять при проведении исследования более точные методы и средства измерения.

Проверку уравнения на адекватность проводят по критерию Фишера, расчетное значение которого находят:

, (2.17)

где – дисперсия адекватности;

– дисперсия воспроизводимости.

Дисперсию адекватности рассчитывают

, (2.18)

где – расчетные значения выходной величины;

f_ад. – число степеней свободы, равно N – m;

m – число значимых коэффициентов уравнения регрессии с учетом свободного члена.

Расчетное значение сравнивают с критерием Фишера, принимаемым по таблице (приложение Д). Если F_расч < F_табл, то уравнение адекватно.

 

3 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

 

Научные исследования основаны на принципах системного и научного подходов.

При системном подходе исследуемый объект представляют как совокупность некоторого числа взаимосвязанных элементов (систем), являющихся одновременно подсистемами некоторых более сложных систем, что позволяет исследовать все аспекты взаимосвязей между ними.

Научный подход предполагает использование при обработке результатов исследований теории вероятностей и математической статистики.

Результаты измерений при экспериментальных исследованиях представляют собой единичные измерения (y_i), которые являются случайными величинами, принимающими в результате испытания заранее неизвестные числовые значения, зависящие от случайного исхода испытаний.

Случайные величины могут быть:

дискретными, принимающими конечное множество значений, отдаленных друг от друга и которые можно пронумеровать (например, количество дефектных деталей);

непрерывными, возможные значения, которых заполняют какой-то промежуток.

При изучении свойств объекта исследований путем измерения и регистрации количественных значений этих свойств получают множество значений случайной величины или статистическую совокупность.

Совокупность, которая содержит все возможные значения исследуемого свойства объекта, полученные при данных условиях эксперимента, называют генеральной совокупностью.

Обычно имеют дело с частью генеральной совокупности называемой выборочной совокупностью (выборкой).

Получение абсолютно точных измерений невозможно из-за ошибок, поэтому при проведении эксперимента одной из основных задач является оценка ошибок, выполняемая с помощью математической статистики.

Воздействие помех на процесс измерения приводит к тому, что результаты измерения всегда отличаются от истинного значения измеряемой величины и по этим результатам определить истинное значение нельзя. Разность между результатом измерения и истинным значением называется истинной погрешностью измерения. В силу того что истинное значение неизвестно, неизвестной является и истинная погрешность.

Учитывая, что ни истинное значение физической величины, ни истинную погрешность в опыте определить невозможно, задачу нахождения истинного значения формулируют как задачу нахождения неко­торого приближенного значения с указанием диапазона возможных отклонений этого приближенного значения от истинного значения. Найденное в эксперименте значение измеряемой величины, приближенное к истинному значению, называется оценкой физической величины. Оценка с указанием ее возможного интервала отклонения от истинного значения называют результатом измерения.

Погрешность измерения включает в себя множество различных составляющих, которые классифицируют по различным призна­кам, включающим около 30 видов.

Погрешности измерения подразделяют:

а) по виду влияния на результаты – систематические и случайные;

б) по характеру изменения во времени – статические и динамические;

в) по источникам возникновения – методические, инструментальные, погрешности оператора. Эти погрешности, в свою очередь, могут быть как случайными, так и систематическими. По возможности выявления и исключения из результатов измерения погрешности подразделяют: выявленные и невыявленные, устранимые и неустранимые, исключенные и неисключен­ные;

г) по характеру принадлежности (близости) результатов наблюде­ний к основной совокупности выделяют грубые погрешности и промахи.

Невыявленные погрешности всегда неустранимы. Выявленная пог­решность может быть как устранимой, так и неустранимой. Например, слу­чайная погрешность, а также систематическая погрешность известной величины, но неизвестного знака, имеют определенные числовые значения, т. е. относятся к разряду выявленных. Тем не менее, они не могут быть устранены (исключены из результатов), т. е. являются неустранимыми.

Систематическая погрешность – это составляющая погрешности измерения, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях.

Одной из основных задач обработки результатов эксперимента является выяв­ление, оценка величины и, по возмож­ности, устранение всех систематических погрешностей. Изме­няющиеся систематические погрешности выявляются легче, чем постоянные погрешности. Для выявления постоянной систематической погрешности необходимо выполнить измерения, например, двумя различными мето­дами. Обнаруженные и оцененные систематические погрешности иск­лючают из результатов путем введения поправок.

В зависимости от причин возникновения систематические погрешности подразделяют на следующие виды:

– погрешности метода или модели, которые обычно называют ме­тодическими погрешностями, например: определение плотности вещес­тва без учета имеющихся в нем примесей, использование формул, не совсем точно описывающих явление, и др.;

– погрешности воздействия внешних факторов: внешних тепло­вых, радиационных, гравитационных, электрических и магнитных по­лей;

– погрешности, возникающие из-за неточности действий или личных качеств оператора (экспериментатора), называемые личност­ными погрешностями;

– инструментальные (приборные, аппаратурные) погрешности, обусловленные схемными, конструктивными и технологическими несовершенствами средств из­мерения, их состоянием в процессе эксплуатации. Например, смещение начала отсчета, неточность градуиров­ки шкалы прибора, использование прибора вне допустимых пределов его эксплуатации, неправильное положение прибора и т. п. За исключением смещения начала отсчета, приборные погрешности относят к разряду неустранимых погрешностей.

В общем случае систематическая погрешность обусловлена сум­марным воздействием перечисленных факторов, многие из кото­рых невозможно рассчитать, исключить или выявить в данном экспери­менте. Самым простым способом выявления суммарной систематической погрешности было бы сопоставление результатов измерений, получен­ных с помощью серийного (рабочего) и более точного образцового приборов. Разность результатов измерений даст суммарную система­тическую погрешность, вносимую серийным прибором в результат из­мерения. Однако такой способ выявления систематической погрешнос­ти является слишком дорогим. Поэтому на практике различные составляющие систематической погрешности устраняют с помощью экспериментальных или математических приемов путем введения поправок в результаты наблюдений при условии, что погрешность дан­ного вида по величине и знаку известна. После внесения поправок влияние систематической погрешности данного вида на результат и погрешность измерения устраняется полностью. Если же системати­ческая погрешность неизвестна, но имеет известные границы изменения, то её учитывают в результате измерения.

Случайная погрешность – это составляющая погрешности измере­ния, проявляющаяся в виде непредсказуемых отклонений от истинного значения физической величины, меняющихся от одного наблюдения к другому. Данная погрешность обусловлена влиянием на результаты из­мерения множества факторов, воздействие которых на каждое отдельное измерение невозможно учесть или заранее предсказать. Такими причинами могут быть перепады напряжения в сети, вибрация установки, изменения атмосферного давления, влажности, температуры, а также ошибки, связанные с действиями самого экспериментатора (неправильное считывание показаний приборов, различная скорость реакции и т. п.). Случайную погрешность нельзя исключить из результатов измерений, од­нако, пользуясь статистическими методами, можно учесть ее влияние на оценку истинного значения измеряемой величины.

Грубая погрешность – погрешность измерения, значительно превышающая погрешности большинства результатов наблюдений. Такие погрешности могут возникать вследствие резкого изменения внешних условий эксперимента. Грубые погрешности обнаруживают статистическими методами и соответствующие результаты измерений, как не отражаю­щие закономерностей поведения измеряемой величины, исключают из рассмотрения.

Промах – это вид грубой погрешности, зависящий от наблюдате­ля и связанный с неправильным обращением со средствами измерений: неверными отсчетами показаний приборов, описками при записи ре­зультатов, невнимательностью экспериментатора, путаницей номеров образцов и т. п. Промахи обнаруживают нестатистическими методами и результаты наблюдений, содержащие промахи, как заведомо непра­вильные, исключают из рассмотрения.

Указанные составляющие, как правило, не зависят друг от дру­га, что допускает их раздельное рассмотрение.

Полная погрешность измерения, являющаяся суммой ука­занных составляющих, может быть представлена в абсолютном и относительном виде.

Абсолютная погрешность – это погрешность измерения, выражен­ная в единицах измеряемой величины. Наряду с абсолютной погрешно­стью часто используется термин абсолютное значение погрешности, под которым понимают значение погрешности без учета ее знака. Эти два понятия различны.

Относительная погрешность – это погрешность измерения, выра­женная отношением абсолютной погрешности к результату измерения.

Относительная погрешность являются безразмер­ной величиной и ее выражают в процентах.

Числовой характеристикой погрешности является доверительный интервал, в котором с заданной доверительной вероятностью (Р) находится погрешность измерения ( ). При доверительной вероятности , статистический вывод будет справедлив в 95 случаях из 100.

Для практических целей используют величину р, называемую уровнем значимости

р =1 – P. (3.1)

 

Большинство статистических оценок предполагает нормальное (или Гауссово) распределение результатов измерений.

Если на основании наблюдений некоторого непрерывного показателя построить распределение частот, то обычно оно представляет собой симметричную (нормальную) кривую – кривую нормального распределения. Подобную форму кривой имеют, например результаты повторных измерений показателей качества продукции.

Уравнение кривой нормального распределения определяют выражением

 

, (3.2)

 

где у – плотность вероятности некоторого значения переменной х;

а и b – коэффициенты.

С увеличением коэффициента а, кривая "вытягивается " в высоту, а при увеличении коэффициента b – кривая "сплющивается".

Нормальное распределение определяют двумя параметрами: генеральное среднее M _y, которое характеризует положение центра группирования результатов на числовой оси, и генеральная дисперсия s или рассеивание результатов относительно M _y.

Кривая симметрична относительно среднего значения M _y и имеет две точки перегиба с координатами: y = (рисунок 3.1).

 

Рисунок 3.1 – Стандартные отклонения и точки перегиба при нормальном распределении

 

Поделиться: