(Пример выполнения задания).
Пусть задана функция двух переменных и вектор 
Находим градиент функции:
1. Находим экстремум, определяя величину a аналитически
Записываем выражение для 
Находим 
:
Решаем уравнение 
Получаем
На первой итерации имеем: 
Вычисляем a1:
Находим новую точку X1:
На второй итерации получаем:
2. Находим экстремум 
, используя векторное уравнение (2).
Вычисляем нормированный антиградиент 
Вычисляем матрицу Гессе.
H = 
Находим a0:
Находим X1 по формуле:
Результаты вычисления пунктов 1 и 2 совпадают, т.к. минимизируемая функция - квадратичная.
3. Находим экстремум функции 
, используя метод золотого сечения для одномерного поиска экстремума.
3.1. Ищется начальный отрезок 
Чтобы сразу же “не проскочить” экстремум, будем выбирать a1 малым. Пусть 
увеличиваем шаг, полагая 
функция начинает возрастать.
Полагая 
получаем искомый отрезок для поиска a:
Вычисляем 
(При этом имеем в виду, что 
это значение a в интервале поиска ее оптимума!).
Находим значение функции при двух значениях a:
т.к. 
полагаем 
Отрезок, на котором ищется оптимальное значение a, сузился с [0, 0,03] до [0,0114, 0,03]
Продолжая процедуру, получим величину 
, и найдем новое значение вектора X.
4. Проведем вычисления, определяя градиенты в точках 
и т.д. численным способом.
4.1. Вычисляем 
при d = 0,001
Таким образом получаем 
Затем проводим поиск экстремума с помощью метода золотого сечения для одномерной оптимизации.
Результаты вычислений сводим в таблицу 2.1. а)
Таблица 2.1.
| N итерации | 
| 
| 
| 
| 
| a |
| 0,02 | ||||||
| 1,92 | 3,84 | 3,84 | 0,5 | |||
Аналогичные таблицы строятся для способов б) и в).
Требования к оформлению отчета:
Отчет должен содержать:
Название работы.
Цель работы.
Задание на работу.
Листинг программы (исходный текст).
Результаты работы, представляемые в виде таблиц 2.1.
Выводы об эффективности метода наискорейшего спуска по сравнению с методами, рассмотренными в работе №1.
Вопросы для самопроверки:
Почему рассмотренный в данной лабораторной работе метод носит название “ метод наискорейшего спуска”?
В чем заключается аналитический метод определения оптимальной величины шага a*?
Какой параметр оптимизируется при одномерном поиске экстремума?
Почему должны совпадать результаты, полученные при использовании аналитического метода определения оптимальной величины шага a* с вычисленным 
?
Какой критерий должен применяться для окончания итеративной процедуры поиска безусловного экстремума методом наискорейшего спуска?
Литература:
1. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М., Методы оптимизации.- М.: Наука, 1978 г, - 351 с.
2. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. - М.: Мир, 1975 г. 534 с.
3. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. - М.: Мир, 1982 г. - 583 с.