этап. Свойства коэффициентов для быстрого нахождения корней квадратного уравнения.




Свойство 1. Если в уравнении ах2 + bх +с = 0, а + b + с = 0, то один из его корней равен 1, а другой, в соответствии с теоремой Виета, равен с/а.

Доказательство: Имеем а+b+с=0, тогда b= - (а+с). Найдем дискриминант D=b2 -4ас= а2+2ас+с2 - 4ас = а2- 2ас+с2=(а - с)2. Формула корней этого квадратного уравнения имеет вид: . Отсюда имеем Что и требовалось доказать.

Пример 1: х2 + х – 2 = 0; а = 1, в = 1, с = -2. Так как 1+1–2 =0, то х1 =1, х2 = -2.

Свойство 2. Если в уравнении ах2 + bх + с = 0, а – b + с = 0 или b=a+c, то один из его корней равен –1, а другой –с/а.

Доказательство: Имеем а - b+с=0, тогда b= а+с. Найдем дискриминант D=b2 -4ас= а2+2ас+с2 - 4ас = а2- 2ас+с2=(а - с)2. Формула корней этого квадратного уравнения имеет вид: . Отсюда имеем Что и требовалось доказать.

Пример 2: х2 – х – 2 = 0. Так как 1 – (- 1) + (-2) = 0, то х1 = -1, х2 = 2.

 

Свойство 3. Если a = c, b = a2 + 1, то x1 = - a, x2 = -1/a.

Доказательство: Имеем a = c, b = a2 + 1. Найдем дискриминант D=b2 -4ас= а4+2а2+1 - 4а2 = а4- 2а2+1=(а2 - 1)2. Формула корней этого квадратного уравнения имеет вид: . Отсюда имеем Что и требовалось доказать.

Пример 3. 3х2+10х+3=0, а=3, b=10, с=3. Так как а=с=3, b=32+1=10, то х1= -3, х2=-1/3.

 

Свойство 4. Если a = c, b = -(a2 + 1), то x1 = a, x2 = 1/a.

Доказательство: Имеем a = c, b = -(a2 + 1). Найдем дискриминант D=b2 -4ас= а4+2а2+1 - 4а2 = а4- 2а2+1=(а2 - 1)2. Формула корней этого квадратного уравнения имеет вид: . Отсюда имеем Что и требовалось доказать.

Пример 4.2 - 10х+3=0, а=3,b=-10,с=3. Так как а=с=3, b=-(32+1)=-10, то х1=3, х2=1/3.

 

Приём переброски.

, первый коэффициент в качестве множителя «перебрасываем к -3», получим уравнение

Корни 9 и -2. Делим числа 9 и (-2) на 6:

Ответ:

6 этап. Практическая направленность.

Задания, при решении которых необходимо умение решать квадратные уравнения.

Уровень А. 1. Найдите сумму и произведение корней уравнения: 2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 5.
Уровень В. 2. Найдите сумму и произведение корней уравнения: 2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны и .
Уровень С. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

С помощью квадратных уравнений можно решать многие текстовые задачи. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары, решить ее можно с помощью квадратного уравнения.

На две партии разбившись, забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате в роще весело резвилась;

Криком радостным двенадцать воздух свежий оглашали…

Вместе сколько, ты мне скажешь, обезьян там было в роще?

Вывод:

1. Проводя исследование, выяснили, что кроме традиционных методов решения квадратного уравнения, которые мы узнали на уроках математики, существуют еще не менее интересные, а главные полезные свойства, практически устного решения квадратного уравнения.

2. Исследовательскую работу по математике планируем продолжать и далее.

3. Результаты своего исследования я представила в виде карточки-памятки(приложение 1) по решению квадратного уравнения.

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

· А.П.Ершова, В.В.Голобородько, А.С.Ершова «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса», «ИЛЕКСА»,Москва,2003.

· М.Б.Миндюк, Н.Г.Миндюк «Разноуровневые дидактические материалы по алгебре, 8 класс», «ГЕНЖЕР»,Москва,2002.

· Л.В.Кузнецова, Л.О.Дедищева

· «Алгебра 7-9.Тематические зачеты»

· Г.И.Ковалева «Уроки математики в 8 классе»,издательство «БРАТЬЯ ГРИНИНЫ»,Волгоград, 2001.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Обратная связь