Урок №4
Арифметика.
Определение арифметических действий.
Все знают, что такое числа, арифметические выражения, числовой ряд и т.д. Но никто не определяет это формально. Представим это в системном виде. Построим систему чисел и арифметических выражений с помощью арифметических действий, но прежде всего, определим сами действия.
Существуют четыре пары противоположных действий: «сложение – вычитание», «умножение – деление», «возведение в степень – извлечение корня», «интегрирование – дифференцирование».
Сложение.
Сложение – это арифметическое действие, которое выполняет операцию прибавление условных единиц счета друг к другу.
Знак этого действия (+) - название «плюс». Символизирует переход количества в качество.
Вычитание.
Вычитание противоположное сложению действие, уменьшающее число условных единиц счета.
Знак действия (-) – название «минус». Символизирует переход качества в количество.
Деление.
Деление операция, представляющая условные единицы в виде равных частей соответствующих заданной мере, представленные в виде положительных или отрицательных целых, или дробных чисел.
Дробные числа бывают простые и десятичные – рациональные (периодические) или иррациональные (не периодические), они дополняют ряд целых чисел (см. таблицу №11). Знак (:, -, ÷) – название «деление» или «дробь». Название членов операция деления: делимое, делитель, частное.
Умножение.
Умножение – операция увеличения кратно исходного числа условных единиц заданной мерой. Знак (× или *) - название «умножение». Умножение можно рассмотреть, как операцию обратную делению. Она возвращает части в целое путем его кратного увеличения заданной мерой (см. таб.№12).
Начало счета – математический атом.
Начало счета – это существенная единица счета. Ее называют «системой отчета», «точкой отчета», «началом систем координат». Она совместно с другими числами определяет десятки, сотки, тысячи и т.д.
Название символа или знака начала счета «Ноль» или «Нуль», обозначают «0».
Ноль это «ничто», но когда мы его определяем, получаем «нечто». Ничто становится бытием. Многие авторы считают, что «ноль», это число, но никто не рассматривал «ноль», как нечто такое, что по аналогии с атомом в физике можно в математике рассмотреть, как математический атом. Ведь он реально начало числового ряда. Определив начало счета, мы определили «математический атом» как первое число – ноль. Многие математические понятия имеют историческую природу. Сегодня мы построим математически начало счета и числовой ряд.
Выше мы определили «арифметические» выражения, но для определения «арифметических» действий, нам нужны числа. Они известны, но нам необходимо получить их при помощи арифметических действий. У нас есть первое число «ноль». Надо произвести единицу. Используя символику, и свойства арифметических действий получим:
0+0; 0-0; 
; 0×0
Неполные арифметические выражения
В учебной литературе выражениями называют и математические и физические уравнения. Например: 5+76; V×t.Такие выражения мы будем называть неполными. Для образования полного математического выражения необходимы знаки сравнения.
Знаки сравнения.
Существует четыре основных знака сравнения: тождество, равенство (=), больше (>), меньше (<).
Тождество
Исходя из видов определения «тождества» можно заметить, что «тождество» это условное равенство. Т.е. для его выполнения необходимо определенное условие. Например, при любых значениях переменных. Обычно, ставится знак равенства (=). Мы не будем менять сложившихся правил, кроме таблицы, в ней, для отличия мы поставили символ (≡) (см. таб. №1).
Равенство
1. Просто «равенство». Сравнение, которое нас устраивает. Например: «тождество». Равенство, которое является строгим, но для нас это не существенно. Приблизительное равенство, которое нас устраивает и мы опускаем знак (≈), а пишем знак (=). «Не строгое равенство», которое мы получаем при делении и извлечении корней. Это рациональные и иррациональные числа. Мы пишем: 1÷3=0,3(3) или (√6=2,449489742…).
«Строгое равенство»
Строгое равенство это знак сравнения, которое ставится в полном числовом выражении, где правая часть – значение, определяется левой частью, и выполняются арифметические действия, не дающие рациональных или иррациональных результатов. Строгое равенство сохраняется при выполнении основных свойств сложения и умножения, как в арифметических выражениях, так и в выражениях с переменными. Второе равенство, это такой знак сравнения, который ставится только в полном выражении, когда левая часть определяет правую безусловно, и обязательно.
«Неравенства»
При записи полных числовых или алгебраических выражений используются знаки сравнения «строго больше» (>), больше или равно (≥). «Строго меньше» (<), «меньше или равно» (≤) Эти знаки используют и при сравнении любых двух значений выражений.
Знаки больше или меньше используют тогда, когда при выполнении арифметических действий получаемые результаты имеют дробные значения. Знаки больше или равно, меньше или равно, не являются строгими. Например: число дней в месяце <31 или равно 31. Число дней в месяце больше или равно 28. Два неравенства можно записать в виде двойного неравенства […] 28≤ 30≤31.
Образование числового ряда
Каждое арифметическое действие, что-либо производит. Все вместе они дают полный числовой ряд. Если расположим числа на прямой линии (см. рис. №5), то кроме числового ряда
-4 -3 -2 -1 0 1 3 5 6 7 8
Рис. №5
получим одномерную систему координат, разработанную Р. Декартом в 1600 годах. Она может быть двухмерная и трехмерная. Это нам уже известно.