Проверка гипотез о законе распределения

Во многих случаях закон распределения изучаемой случайной величины неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет вполне определенный вид: нормальный, экспоненциальный или какой-либо другой.

 

 

Пусть выдвинута гипотеза о каком-либо законе распределения.

Для проверки этой гипотезы требуется по выборке сделать заключение, согласуются ли результаты наблюдений с высказанным предположением.

Статистический критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения называется критерием согласия.

Он используется для проверки согласия предполагаемого вида распределения с опытными данными на основании выборки.

Существуют различные критерии согласия: Пирсона, Колмогорова, Фишера и другие. Наиболее часто применяется критерий Пирсона.

Проверка гипотезы

О нормальном распределении генеральной совокупности

По критерию Пирсона

 

Пусть выборка из генеральной совокупности задана в виде статистического интервального ряда ряда:

 

где - интервальные частоты, - объем выборки,

- число интервалов, - длина интервала, - середина интервала.

Требуется проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, применяя критерий Пирсона. (К.Пирсон, 1857-1936 г; английский математик, биолог, философ).

 

Правило проверки

1. Вычисляем и (см. Пример 5).

2. Находим теоретические частоты .

Их можно вычислить двумя способами.

Первый способ

,

где - объем выборки, - шаг, ;

- функция Гаусса, значение которой в точке

находим по таблице (Приложение 1).

 

- вероятность попадания значений случайной

величины в - й интервал.

 

Для вычисления составляем табл. 9.

Таблица 9

Второй способ.

 

где - объем выборки, ,

- вероятность попадания в - й интервал,

- значение функции Лапласа (Приложение 2).

Полагают , .

 

Для вычисления составляем табл. 10.

Таблица 10

	Границы интервала		Границы интервала
						-0,5
							0,5

3. Сравниваем эмпирические () и теоретические () частоты с помощью критерия Пирсона.

 

Для этого:

1) составляем расчетную табл.11, по которой находим

- наблюдаемое значение критерия

Таблица 11.

 

Контроль: .

 

2) Находим число степеней свободы :

 

где - число интервалов; - число параметров предполагаемого распределения,

 

Для нормального распределения , так как (нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами и ).

 

4. В таблице критических точек (квантилей) распределения

(Приложение 3) по заданному уровню значимости и числу степеней свободы

находим правосторонней критической области.

Если - нет оснований отвергнуть гипотезу

о нормальном распределении генеральной совокупности.

Если - гипотезу отвергаем.

Замечание.

1) Объем выборки должен быть достаточно велик .

2) Малочисленные частоты следует объединить. В этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо сложить.

 

Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы по формуле следует в качестве принять число интервалов, оставшихся после объединения частот.

 

Пример 10. Пусть из генеральной совокупности задана выборка объемом 50 (табл.4). Требуется проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по данной выборке.

 

¦ 1. Из рассмотренных выше примеров известно:

 

- интервальный ряд табл. 12

Таблица 12

Интервалы
Частоты

 

Интервалы
Частоты				.

 

- числовые характеристики выборки , ,

, (см. Пример 5).

 

2. Проверим гипотезу с помощью средних квадратических отклонений коэффициентов и .

Критерием распределения выборки по нормальному закону является равенство нулю коэффициентов и .

Если они отличны от нуля, то для предварительного выбора закона распределения вычисляют средние квадратические отклонения для и :

 

Если и отличаются по модулю от нуля не более чем на удвоенные средние квадратические отклонения, то есть и , то можно предположить, что данная выборка распределена по нормальному закону.

 

Рассчитаем

 

.

 

Для условие критерия выполняется: .

Для условие критерия выполняется: .

 

Гипотезу принимаем, то есть можно предположить, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

 

3. Проверим гипотезу по критерию Пирсона.

1) , .

2) Найдем теоретические частоты вторым способом.

Интервальный ряд (табл.12) содержит интервалы с частотами меньшими 5. Следовательно, два первых и два последних интервала объединяем, при этом соответствующие частоты суммируем.

 

Составим расчетную табл.13 по форме табл.10.

Таблица 13

	Границы интервала		Границы интервала
	-2,06	-0,86			-1,01	-0,5	-0,3438	0,1562	7,81
	-0,86	-0,26		-1,01	-0,28	-0,3438	-0,1103	0,2335	11,675
	-0,26	0,34		-0,28	0,45	-0,1103	0,1736	0,2839	14,195
	0,34	0,94		0,45	1,19	0,1736	0,3830	0,2094	10,47
	0,94	2,14		1,19		0,3830	0,5	0,1170	5,85

 

3) Сравним эмпирические () и теоретические () частоты. Для этого составляем расчетную табл.14 по форме табл.11

 

Таблица 14

		7,810	0,190	0,0361	0,0046		8,1946
		11,675	-0,675	0,4556	0,0390		10,3640
		14,195	0,805	0,6480	0,0457		15,8507
		10,470	0,530	0,2809	0,0268		11,5568
		5,850	-0,850	0,7225	0,1235		4,2735
					0,2396		50,2396

 

Контроль:

. Расчеты проведены верно.

 

4) Зададим .

Вычислим число степеней свободы и найдем (Приложение 3). Получим .

Следовательно, нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности .

Другими словами различие между эмпирическими () и теоретическими () частотами незначительное (случайное), которое можно объяснить малым объемом выборки.

 

Построим нормальную кривую. Для этого составим табл.15.

 

Таблица 15

Середины интервалов	-1,76	-1,16	-0,56	0,04	0,64	1,24	1,84
	0,05	0,19	0,39	0,52	0,34	0,14	0,03

Рис.5

 

Так как гипотеза о нормальном распределении не отвергается, то нормальная кривая хорошо сглаживает гистограмму.?