Задания для самостоятельной работы.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ

ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН

 

 

Направление подготовки: 01.03.02 «Прикладная математика и информатика»

Профиль подготовки: «Прикладная математика и информатика»

 

 

Форма обучения: очная

 

 

Тула 2016 г.

Методические указания к самостоятельной работе студента составлены доцентом каф. ПМиИ Ю.В. Московской и обсуждены на заседании кафедры ПМиИ механико-математического факультета,

протокол № 10 от «16 » мая 2016 г.

 

Зав. кафедрой ___________________ В.И. Иванов

 

Методические указания к самостоятельной работе студента пересмотрены и утверждены на заседании кафедры ПМиИ механико-математического факультета,

протокол № ______ от «____ » _______________ 20____ г.

 

Зав. кафедрой ___________________ В.И. Иванов

Цели и задачи освоения дисциплины

 

Целями освоения дисциплины «Математическая составляющая естественно-научных дисциплин»являются формирование математической культуры студентов, фундаментальная подготовка студентов в области элементарной математики и знакомство с элементами высшей математики, овладение основным аппаратом математики для дальнейшего использования при изучении дисциплин естественнонаучного содержания и в других областях математического знания.

Задачами освоения дисциплины являются:

- фундаментальная подготовка студентов в области элементарной математики и знакомство с элементами высшей математики,

- подготовка студентов к усвоению материала при изучении специальных математических дисциплин,

- приобретение практических навыков решения математических задач.

 

Задание на самостоятельную работу

 

Самостоятельная работа студентов предусмотрена учебным планом в объеме 38 часов.

Самостоятельная работа студентов предполагает подготовку к зачету, подготовку к контрольным работам, выполнение домашних работ по темам.

 

Темы самостоятельных работ

 

№ п/п	Наименование видов самостоятельной работы	Трудоемкость (час.)	Методические материалы
	Подготовка к контрольной работе № 1		1-8
	Подготовка к контрольной работе № 2		1-8
	Выполнение домашней работы по теме "Числовые множества. Элементы теории множеств".		1-2, 4, 9
	Выполнение домашней работы по теме "Делимость многочленов".		2-3, 7, 9
	Выполнение домашней работы по теме "Рациональные уравнения. Корни многочленов. Кратность корня и производная".		2-3, 5, 7, 9
	Выполнение домашней работы по теме "Рациональные неравенства".		2-3, 5, 7, 9
	Выполнение домашней работы по теме "Элементарные функции и их графики. Преобразования функций".		1-3, 7, 9
	Выполнение домашней работы по теме "Основные тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции. Основные свойства и формулы. Преобразование тригонометрических выражений".		1-3, 5, 7, 9
	Выполнение домашней работы по теме "Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства".		1-3, 5, 7, 9
	Выполнение домашней работы по теме "Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства".		1-3, 5, 7, 9
	Выполнение домашней работы по теме "Производная. Определение. Геометрический смысл. Производная сложной функции".		1-3, 5-7, 9
	Выполнение домашней работы по теме "Исследование функций одной переменной".		1-3, 5-7, 9
	Выполнение домашней работы по теме "Параметрически заданная функция".		1-3, 8-9
	Выполнение домашней работы по теме "Полярные координаты. Графики функций в полярных координатах".		1-3, 8-9
	Подготовка к зачету		1-8, 9

Форма отчетности

 

Отчеты по выполнению самостоятельной работы (домашних заданий) сдаются на проверку дважды в семестре: первый отчет до 31 октября, второй отчет до 28 декабря. Студенты, не сдавшие отчеты по самостоятельной работе, не допускаются к промежуточной аттестации.

По данной дисциплине промежуточная аттестация (зачет) проводится в письменной форме. Билет включает один теоретический вопроса и три задачи, каждое задание оценивается максимум в 10 баллов; на подготовку отводится до 1 часа времени. Задачи для промежуточной аттестации формируются случайным образом из банка задач, содержащегося в данных методических указаниях.

Список теоретических вопросов:

1. Множества. Числовые множества. Элементы теории множеств.

2. Делимость многочленов, деление с остатком. Симметрические многочлены и основная теорема.

3. Неприводимые многочлены. Многоугольник Ньютона и критерий Дарбу о неприводимости.

4. Наибольший общий делитель двух многочленов. Алгоритм Евклида.

5. Рациональные уравнения. Корни многочленов. Теорема Безу.

6. Схема Горнера. Кратность корня и производная.

7. Рациональные дроби и их разложение на простейшие дроби.

8. Рациональные неравенства.

9. Функция одной переменной. Основные понятия и определения.

10. Элементарные функции и их графики.

11. Преобразования функций.

12. Обратная функция.

13. Основные тригонометрические функции.

14. Обратные тригонометрические функции.

15. Тригонометрия. Основные свойства и формулы.

16. Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства.

17. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства.

18. Производная. Определение. Геометрический смысл. Производная сложной функции.

19. Исследование функций одной переменной.

20. Неявно заданная функция. Параметрически заданная функция.

21. Полярные координаты.

22. Графики функций в полярных координатах.

Задания для самостоятельной работы.

 

Докажите включение множеств

1. (B −C)−(B −A)_A−C;
2. A−C _(A−B)+(B −C).

 

Какие включения справедливы для множеств

1. A+(B −C) и (A+B)−C;
2. (A−B)+C и A+(C −B)?

 

Разделить многочлен f(x) на многочлен g(x):

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , ;

9. , ;

10. , ;

 

Найти числа a, b, c, при которых следующее равенство справедливо на области допустимых значений этого равенства:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. .

 

Построить графики функций преобразованием от элементарных функций

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 

 

Задать формулой функцию, обратную данной, указать ее ООФ и МЗФ. Построить их графики:

1. f(x) =

2.

3.

4. f(x) =

1. 

6. f(x) =

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 

 

Построить графики функций:

1. y=cos2x
2. y=sin(x-П/3)
3. y=tgx/3
4. y=ctg(2x+П/3)

Вычислить:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

 

Выяснить, какое из следующих двух чисел больше

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

 

Вычислить.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 

Найти значение

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Вычислить без помощи таблиц

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

 

Решить уравнение.

 

Решить неравенство:

1. 0,04 5^2-х 25
2. 0,5< 2^1-х 32
3. 9^.81^{1-2 х} - 27 ^{2- х} > 0
4. 28 ^.16 ^{2 х + 1} - 8 ^{3- 2х} 0
5. 0,4 < 0,16
6. > 25
7. 0,3
8. 0,7
9. 2
10. 
11. 
12. <
13. 
14. 
15. 7 > 5
16. 2 120
17. 4 5
18. > 31
19. > 48
20. <39
21. 3 0
22. 0
23. 0,2 > 0
24. <0
25. 2 0
26. <0
27. . < 0
28. 

 

Постройте график функции:

1. y =3^log₃^(-x); 6) y = log₂ |x|;
2. y = log _0,1 |x|; 7) y = |log₂ x|;
3. y = |log _0,5 x|; 8) y = log₂ log₂ x;
4. y = 0,5 log₃ (x – 1)²; 9) y = log₂ (1 – x²);
5. y = |log₂ x – 1|; 10) |y| = log _1/3 x.

 

№ 4. Решить уравнение.

1. log (x – 1) = 6
2. log₃ (x² – 4x – 5) = log₃ (7 – 3x)
3. lg (x – 6) – 0,5 lg 2 = lg 3 + lg
4. log_x5 – 1,25 = log²_x
5. _x = ()^x
6. x^log₂^x+2 = 8
7. log₂ (3x – 1) – log₂ (4 – x) = 4 – log₂ (x – 1);
8. log _0,5 x = 0,5 log _0,5 (2x² – x);
9. log _{3 – x} (3 + x) = 0,5;
10. log _0,2 4x + log₅ (x² + 75) = 1;
11. x^log₂^x-1= 4;
12. lg² x + lg x² = lg² 2 – 1;
13. = lg ;
14. log₂ x³ + log₂ = 2 log₄ (0,5x + 3);
15. log₂ = 3 + log₁₆ x⁴ – log₄ (x – 3)²;
16. x^log_a^x = a²x, где a > 0, a ≠ 1;
17. log_x 9x² · log² ₃ x= 4.

 

№ 5. Решить неравенство.

1. log _0,5 ((5x-3)/(x+2)) > 1
2. log_a x + log_a (x + 1) ≤log_a (2x + 6), a? (1; +∞)
3. log _1/6 (x² – 3x + 2) < -1;
4. log _0,5 (2x² – 4x – 14) ≤ –1;
5. log _{x – 6} (x² – 5) > log_{x – 6} (2x + 19);
6. log _{x – 2} (2x – 3) > log _{x – 2} (24 – 6x);
7. log _1/3 x + 2log _1/9 (x – 1) ≤ log _1/3 6;
8. log₃ (16^x – 2 · 12^x) ≤ 2x + 1;
9. log _0,3 |2x + 1| > 1;
10. log ₂ < 1;
11. log _1/3 (3 ^{x + 2} – 9) · log₃ (3^x – 1) > –3;
12. 2^x < 3^1/x;
13. log ₂ log _0,5 (x² – 2) < 1;
14. lg lg lg x < 0;
15. log _0,3 log₆ < 0.

 

Найти производные следующих функций:

1. 
2. 

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
33. 
34. 
35. 
36. 
37. 
38. 
39. 
40. 
41. 
42. 
43. 
44. 
45. 
46. 
47. 
48. 
49. 
50. 

 

Найти производные второго порядка следующих функций:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 

 

Найти производные n-го порядка следующих функций:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 

 

Исследовать и построить график неявно заданной функции

1.

2.

3.

4. (y-x)^2=x^4

5. y^2=x^3-x

6. y^2=x(x-1)

7. y^2=x^2(x-1)

8. 3xy^2=x^3-2

9. y^2=x^2(x+2)/(2-x)

10. (y-x^2)^2=x^5

11. 3xy^2-x^2-2

12. 9y^2=4x^3-x^4

13. y^2=x^2-x^4

14. y^2=(1-x^2)^2

15. y^2=x^2(x^2-4)^2

16. 16y^2=(x^2-4)^2(1-x^2)

17. y^2(4-x)=x^2

18. x^2y^2=(x-1)(x-2)

19. x^2y^2=4(x-1)

20. y^2x^4=(x^2-1)^2

21. x^2(y-x)=x^3+1

22. y^2=x^2(x+1)^2(1-x)

23. x^2y^2=4(x-1)

 

Исследовать и построить график параметрически заданной функции

1.

2.

3.

4. (циклоида)

5. (астроида)

6.

 

Построить график функции в полярной системе координат.

1. ρ=αtg
2. ρ= , или ln ρ=α (логарифмическая спираль), α>0
3. ρ = , >0.
4. ρ=b+ cos , 0< ≤b, ρ 0.
5. ρ= (1+bcos ) (Улитка Паскаля), , b>0
6. ρ = b (конхоида)

 

Список рекомендуемой литературы

 

Основная литература

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учебник для вузов. В 3 т. Т.1. — М.: Невский диалект, 2006.— 680 с.; Т.2. — М.: Невский диалект, 2006.— 864 с.

2. Кремер Н.Ш., Константинова О.Г., Фридман М.Н. Математика для поступающих в экономические вузы: Учеб. пособие / Под ред. Н.Ш.Кремера. — М.: Юнити-Дана, 2004.— 605с.

Дополнительная литература

3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ: Астрель, 2008.— 509 с.

4. Золотухин А.Я. Элементы теории множеств, меры и интеграла Лебега. Тула: ТулГУ, 2007. – 107с.

5. Иванов К.П. Сборник задач по элементарной математике для абитуриентов. — СПб.: Невский Диалект, 2007. — 336 с.

6. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). СПб.: Лань, 2008. – 240 с.

7. Симонян, А.З. Математика: Метод.пособие для поступающих в ТулГУ / Симонян А.З.;ТулГУ.— Тула, 2006.— 112с.