НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Методические указания для студентов по направлению
210100 ЭЛЕКТРОНИКА И НАНОЭЛЕКТРОНИКА
Специализация «Промышленная электроника»
по дисциплине «Планирование эксперимента»
Магнитогорск
Составители: Р.С.Пишнограев,
Е.С. Суспицын
М.В. Коновалов
Нормальное распределение: методические указания к лабораторной работе по дисциплине «Планирование эксперимента» для студентов направления 210100. Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. техн. ун-та им. Г.И. Носова, 2014. 18 с.
Приведена информация об основных понятиях и определениях дисциплины, понятиях законов распределения и функций плотности вероятности. Приведены рекомендации по построению гистограмм случайных величин, свойства нормального распределения. Приведены методики: проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения гипотетическому нормальному; интервального оценивания параметров генеральной совокупности.
Приведены задания для лабораторных работ и рекомендации по их выполнению.
Рецензент: к.т.н., доцент В.Р. Храмшин
© Р.С. Пишнограев
Е.С. Суспицын
М.В. Коновалов
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 4
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 5
1.1 Основные термины и определения 5
1.2 Понятия о законах распределения одномерных случайных величин 7
1.3 Построение гистограммы распределения случайной величины 9
1.4 Параметры нормального распределения 11
1.5 Проверка гипотезы о согласовании выборочного эмпирического распределения с гипотетически нормальным распределением 12
2. ПРАКТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 14
ЛИТЕРАТУРНЫЕ ИСТОЧНИКИ 16
ВВЕДЕНИЕ
Данные методические указания предназначены для проведения практических занятий по дисциплине «Планирование эксперимента» со студентами направления 210106.62 «Промышленная электроника» и касаются следующих разделов предмета: свойства распределения Гаусса; рекомендации при построении гистограмм; проверка соответствия эмпирического распределения случайной величины гипотетическому нормальному.
Основным инструментом для проведения занятий является программный продукт Microsoft Excell. Это программное обеспечение позволяет обеспечить среднюю степень автоматизации процесса обучения, что с одной стороны даёт представление студентам о сути производимых ими действий, а с другой – избавляет от рутинных операций, связанных с арифметическими расчётами.
Структурно методические указания разделены на две части:
краткие теоретические сведения;
задание на практическое занятие.
На практических занятиях студентам предлагается определить характер распределения нескольких случайных величин по выборкам, объёмом N = 500÷1000. Затем необходимо выделить случайную величину, распределённую нормально, рассчитать значения оценок распределения, выполнить интервальную оценку параметров распределения, исследовать некоторые свойства нормального распределения.
При разработке данных методических указаний предполагается, что студенты прослушали курс «Иноформатика» и имеют навыки работы в приложении Microsoft Excell. При этом некоторые расчётные выражения, используемые при выполнении практических заданий, всё же будут приведены в тексте.
Для работы по данным методическим указаниям необходимо наличие авторской программы генерации текстовых файлов заданий (исходных данных). Кроме этого, для сокращения времени контроля правильности выполнения работ, удобно пользоваться авторской программой проверки результатов работы студентов.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Основные термины и определения
Ход изложения материала в данных методических указаниях учитывает то, что согласно программе подготовки инженеров по специальности «Промышленная электроника» на третьем курсе студенты должны иметь представление о предмете теории вероятностей и математической статистики. Однако для лучшего взаимопонимания необходимо дать некоторые определения из теории вероятностей и математической статистики.
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в массовых однородных случайных явлениях, т.е. таких явлениях природы и общества, которые при неоднократных наблюдениях или измерениях, казалось бы, в однородных условиях дают различающиеся результаты и которые невозможно заранее предсказать с абсолютной точностью.
Математическая статистика – наука о математических методах систематизации, обработки, анализа и использования статистических опытных данных для научных и практических выводов, для выявления объективных закономерностей.
Опыт – это воспроизведение или наблюдение какого-либо явления при определённом комплексе условий в целях испытания или исследования. В случае наблюдения явления опыт называется пассивным, в случае воспроизведения – активным.
Событие – это качественная характеристика опыта, заключающаяся в свершении или отсутствии какого-либо желаемого факта в результате опыта.
События имеют свою классификацию.
По степени достоверности события подразделяют: а) на достоверные (происходящие всегда в любом опыте); б) на невозможные; в) на случайные (промежуточные между достоверными и невозможными).
Случайные события, в свою очередь, также имеют классификацию.
По признаку совместимости случайные события подразделяют: а) на совместимые и б) несовместимые. Например, пусть событие 
– появление короля при вытягивании карты из колоды, событие 
– появление бубновой карты, а событие 
- появление карты трефовой масти. Тогда событие и – совместные, так как возможно появление бубнового короля. Аналогично совместны события и . События же и – несовместные, так как карт бубновой и трефовой мастей одновременно не существует (имеется ввиду стандартная колода карт без учёта джокера).
По степени возможности случайные события подразделяют: а) на равновозможные и б) на неравновозможные. Например, при бросании игрального кубика, появление любого из очков, от 1 до 6, должно быть равновозможным. Это можно доказать практически при большом числе опытов.
Рассматривают также противоположные события: например событие – попадание пули в мишень, противоположно событию 
– промаху.
Результат наблюдения (или просто наблюдение), если он получен в виде некоторого числа является количественной характеристикой опыта, выраженная числовым результатом измерения.
Случайная величина – есть такая величина, конкретное значение которой в результате опыта невозможно заранее точно предсказать. Непрерывнаяслучайная величина – случайная величина, которая может принимать любые частные значения в широком диапазоне. Дискретная случайная величина может принимать только определённое количество фиксированных значений 
, называемые её вариантами или дискретами. При этом совокупность К значений случайной величины x называют её спектром. Дискреты случайной величины на числовой оси могут располагаться неравномерно. Непрерывно-дискретная случайная величина – случайная величина, которая на отдельных участках числовой оси дискретна, а на остальных – непрерывна.
Статистической совокупностью называют совокупность всех частных значений случайной переменной, которые либо получены, либо могут быть получены в результате специальных опытов или текущего учёта.
Генеральная статистическая совокупность содержит все возможные частные значения случайной величины. Выборочная статистическая совокупность (выборка, проба) обычно является лишь небольшой частью генеральной. Элемент статистической совокупности – одно из частных значений x j случайной величины x в данной статистической совокупности. Объёмом статистической совокупности называется общее количество N её элементов. Для генеральной совокупности обычно 
. Для выборки всегда 
.
Относительная частота νk дискретной случайной величины x определяется числом N k элементов в её k -м варианте x k к общему объёму N выборки, т.е.
Понятие вероятности случайной величины применяется по отношению к генеральной совокупности. Известны три основные определения вероятности:
1) количественная мера «уверенности»;
2) доля, которую данное случайное событие занимает среди всех равновозможных событий;
3) предел относительной частоты, когда 
.
В данном методическом указании под вероятностью p k события (появления случайной величины в её k -м варианте) понимается предел относительной частоты νk при бесконечном увеличении объёма статистической совокупности
Интервал случайной величины x – это связная область (отрезок) между двумя частными значениями x на её числовой оси, например x j и xl, внутрь которой может попасть (или не попасть) некоторое количество элементов выборки x. При этом, если граница включается в интервал – она называется открытой, если исключается из интервала – закрытой, т.е. при условии x j < x ≤ xl граница x j будет открытой, а граница xl – закрытой.
Плотность вероятности непрерывной случайной величины определяется как вероятность её появления, приходящаяся на некоторый единичный интервал:
Плотность относительной частоты:
