ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ




1. Ознакомиться с теоретическими сведениями.

2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени.

3. Записать исходные данные.

4. Решить задания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Производная функции. Понятие о производных высших порядков.

2. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.

3. Свойства производной функции. Производные основных элементарных функций.

4. Дифференцирование неявных, параметрически заданных и заданных в полярных координатах функций.


5.


6.

Практическаяработа№3
Тема:Исследование и построение графиков функций с помощью производной.

Цель: Научиться исследовать функцию и строить ее график.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1) Область существования функции. Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2) Точки разрыва. (Если они имеются).

3) Интервалы возрастания и убывания.

4) Точки максимума и минимума.

5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6) Области выпуклости и вогнутости.

7) Точки перегиба.(Если они имеются).

8) Асимптоты.(Если они имеются).

9) Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал(-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥<x< - - <x< -1 -1 <x< 0 0 <x< 1 1 <x< <x<¥
y¢¢< 0 y¢¢< 0 y¢¢> 0 y¢¢< 0 y¢¢> 0 y¢¢> 0
кривая выпуклая кривая выпуклая кривая вогнутая кривая выпуклая кривая вогнутая кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥<x< - - <x< -1 -1 <x< 0 0 <x< 1 1 <x< <x<¥
y¢> 0 y¢< 0 y¢< 0 y¢< 0 y¢< 0 y¢¢> 0
функция возрастает функция убывает функция убывает функция убывает функция убывает функция возрастает

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции.

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

    А-В Г-Е Ж-И К-М Н-П Р-Т У-Х Ц-Ш Щ-Э Ю-Я
Фамилия т                    
Имя п                    

ЗАДАНИЯ

Исследовать функцию и построить ее график.

.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: