ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ЕЁ МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.




Практическая работа №1

«Основы дифференциального исчисления.

Нахождение производных функций. Графики функций»

 

Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме

 

Вопросы теории (исходный уровень)

Введение. Содержание предмета. Инструктаж по технике безопасности.

1. Производная функции. Её физический и геометри­ческий смысл. (таблица производных основных элементарных функций)

2. Описание скорости протекания биологических процессов с помощью производной.

3. Градиенты.

4. Производные высших порядков.

5. Частные производные.

(самостоятельная подготовка)

 

Содержание занятия:

1. Ответить на вопросы по теме занятия

2. Решить примеры

 

Примеры

 

Найти производные следующих функций:

1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) y = xa+b; 8) 9)
10) y = (1 – 3x2)(1 – x)3; 11) y = (2x – 1)(x2 – 1); 12) y = (1 – 4x3)(1 + 2x2);
13) 14) 15)
16)   17) 18) y = tg x – ctg x;  
19) y = x – sin x;   20) y = loga x + ax;   21)
22) y = ex cos x; 23) y = sin x ln x; 24) y = sin x cos x;
25) y = x ln x; 26) 27)
28) y = 3 tg x ·ctg x; 29) 30)
31) 32) 33)
34) 35) 36)
37) 38) 39)
40) 41) 42)
43) 44) 45)
46) 47) 48)
49) 50) 51) y = e3x;  
52) y = cos 2x; 53) y = sin2 x; 54) y = sin x2;
55) 56) y = ln (x2 +1); 57)
58) y = esin x;   59) 60)
61) y = ln (ln x); 62) 63) y = sin(ln x);
64) y = ln (cos x); 65) y = (x2 – 3)5; 66)
67) 68) 69) y = ln (sin x + cos x);
70) 71) 72)
73) 74) 75)
76) y = sin2 (3x2+2x + 4); 77) 78)
79) 80) y = x2 · 3x+1; 81) y = ln2 x · sin2x
82) 83) 84)
85) y = (x2 – 3)5 ln x;   86) 87)
88) 89) y = ln x · tg x2; 90)
91) y = ln x2 · sin2x; 92) 93)
94) y = (1 – x2)3 cos x+ 2 sin2 x 95) 96)
97) 98) 99)
100) 101) 102)
103) 104) 105)
106) 107) 108)
109) 110) 111)
112) 113) 114)
115) 116) 117)
118) 119) 120)
121) 122) 123)
124) 125) 126)
127) 128) 129)  
130) 131) 132)
133) 134) 135)
136) 137) 138)
139) 140) 141)
142)    
         

 


Тема

Основные понятия высшей математики

 

Функция y = f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа е>0 найдется такое число δ>0, что

| y— A|<е, при | х —a|<δ

lim y= А

| х —a|→0

Основные теоремы о пределах.

Предел постоянной величины

limА=А.

Предел суммы (разности) конечного числа функций

lim [f(x)+φ(x)+ψ(x)]= lim f(x)+ lim φ(x)+ lim ψ(x) x →а x →а x →а x →а

Предел произведений конечного числа функций

lim [f(x) φ(x) ψ(x)]= lim f(x) lim φ(x) lim ψ(x)

x →а x →а x →а x →а

Предел частного двух функций:

lim [f(x) / φ(x)]= lim f(x) / lim φ(x) при lim φ(x)≠0

x →а x →а x →а x →а

 

Производная.

 

Производной функции f(x)называется предел отношения прира-щения функции Δу к приращению аргумента Δх в точке хпри стремлении Δх к нулю:

 

ý=lim (Δy / Δx)

Δx →0

Производные некоторых функций:

у=С: ý= 0;
y=x ý=1
у = хμ: ý=μxμ-1
у = аx: у = ех то ý=axlna; ý= еx;
y=logax у = lпх ý=(logae)/x=1/(x lna) ý=1/x
y=sinx y=cos x y = tgx. y = ctgx. y'=cosx; ý = — sin x; ý =1/cos2x ý =-1/sin2x
y=arcsinx y=arccosx y=arctgx y=arcctgx ý =1/(1-x2)1/2 ý =-1/(1-x2)1/2 ý =1/(1+x2) ý =-1/(1+x2)
y = v±u: y' = u'±v'
y=uv y' = u'v + v'u.
y=u/v: y' =(u'v- v'u)/ v2
y = f1(u), если u = f2(x), у'x = у'uu'x

 

 

 

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ЕЁ МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.

Приращение аргумента и функции. Пусть функция у=f(x) определена на некотором интервале, х0 и х – два произвольных значения аргумента из этого интервала. Разность между двумя значениями аргумента называется приращением аргумента: х – х0 = Dх, откуда х = х0 + Dх, то есть значение аргумента х можно определить через х0 и его же приращение .

Разность между двумя значениями функции называется приращением функции: Dу = Df = f(x0 +Dx) – f(x0).

Как видно из рис.1, приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки графика функции у = f(x), а приращение функции Df – приращение ординаты этой точки.

 
 
Рис.1


Вычисление приращения любой функции у = f(x) удобно проводить по следующей схеме:

1) даем аргументу х приращение и получаем точку х + Dх;

2) находим значение функции в точке х + Dх: f(x + Dx);

3) находим приращение функции: Df = f(x + Dx) – f(x).

Понятие непрерывности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если:

1) функция определена в точке х0 и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

2) предел приращения функции равен нулю при стремлении приращения аргумента к нулю, то есть

 

Определение производной. Задача нахождения скорости процессов привела к введению в математику понятия производной функции.

Пусть дана функция f(x), определенная на некотором интервале ] a, b [ и непрерывная на нем. Дадим аргументу приращение , тогда функция получит приращение Df:

 

Отношение


является функцией от и выражает среднюю скорость изменения функции f(x) относительно аргумента х на интервале ] х, х+Dх [.

Предел отношения Df/Dx приращения функции Df к приращению аргумента , когда стремится к нулю, при условии, что этот предел существует, называется производной функции f(x) в точке .

Таким образом, можно сделать следующий вывод: производная функции y = f(x):

В этом и состоит физический (в том числе механический) смысл производной.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, поэтому выражение «продифференцировать функцию» равносильно выражению «найти производную функции».

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-03-31 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: