Практическая работа №4
«Решение дифференциальных уравнений»
Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме.
Вопросы теории (исходный уровень):
1. Дифференциальные уравнения.
2. Простейшие приемы составления и решения дифференциальных уравнений.
3. Понятие об обыкновенных дифференциальных уравнениях.
4. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
5. Общие и частные решения.
6. Моделирование медико-биологических процессов с помощью дифференциальных уравнений (развитие эпидемий, изменение со временем концентрации лекарственных веществ в организме, накопление и выведение радионуклидов и др.).
(самостоятельная подготовка)
Содержание занятия:
1. Ответить на вопросы по теме занятия.
2. Решить примеры.
Задачи и примеры
Выяснить, являются ли решениями данных дифференциальных уравнений, указанные функции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
Найти частные решения дифференциальных уравнений:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Составив дифференциальные уравнения, решить задачи:
1. Тело движется прямолинейно с ускорением а = 5 см/с2. Начальная скорость тела vo = 2 м/с. Вывести закон движения этого тела и вычислить путь, который оно пройдет за первые 10 мин движения.
2. Найти зависимость потенциальной энергии сжатой пружины от величины деформации.
Указание. Потенциальная энергия сжатой пружины равна работе силы F = Rx на пути от 0 до х.
3. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. До какой температуры охладится тело за 30 мин, если за 10 мин оно охладилось от 100 до 60° С? Температура окружающей среды 20° С.
4. Уменьшение интенсивности света при прохождении через поглощающее вещество пропорционально интенсивности падающего света и толщине поглощающего слоя. Найти закон убывания интенсивности света, если известно, что при прохождении слоя l = 0,5 м интенсивность света убывает в два раза.
5. Найти закон убывания лекарственного препарата в организме человека, если через 1 ч после введения 10 мг препарата масса его уменьшилась вдвое. Какое количество препарата останется в организме через 2 ч?
6. Составить дифференциальное уравнение, описывающее движение математического маятника, считая, что углы отклонения маятника малы.
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
Понятие о дифференциальных уравнениях. Дифференциальные уравнения используются при изучении явлений и процессов в физике, химии, биологии, медицине, фармации, астрофизике, кибернетике, социологии и других областях знаний. Сформулировав задачу на языке дифференциальных уравнений, специалист любой отрасли знаний получает в руки готовый аппарат для численного решения задачи, изучения качественных особенностей этого решения. Многие вопросы естествознания и техники сводятся к нахождению неизвестной функции у = f(x), если известно уравнение, содержащее х, у и производные разных порядков функции f(x): f¢(x), f¢¢(x), …, f(n)(x) или дифференциалы функции df, d2f, …, dnf. Такие уравнения называются дифференциальными.
Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному уравнению: установить закон изменения скорости u свободно падающего тела массой т без учета силы сопротивления воздуха.
Согласно второму закону Ньютона,
где mg – сила тяжести.
Полученное уравнение является дифференциальным, так как в него входит производная du/dt искомой функции u. Решить дифференциальное уравнение – значит найти такую функцию u = f(t), которая тождественно удовлетворяет этому уравнению. Легко проверить, что уравнению удовлетворяет функция вида u = gt + C, где С – любое число. Указав начальные условия, можно найти одну функцию, удовлетворяющую уравнению. Так, если при t = 0 u = u0, то получим функцию u = u0 + gt.
Существует много задач из различных областей знаний, решение которых сводится к составлению и решению дифференциальных уравнений.
Основные определения теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальным называют уравнение, связывающее аргумент х, искомую функцию у = f(x), ее производные f¢(x), f¢¢(x), …, f(п)(x) или дифференциалы df, d2f, …, dпf.
Дифференциальное уравнение в общем виде можно записать так:
F(x, f(x), f¢(x), f¢¢(x), …, f(п)(x)) = 0
или
F(x, y, y¢, y¢¢, …, y(n)) = 0.
Если искомая функция y = f(x) есть функция одного аргумента, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным.
Если функция u = f(x, y, z, …, t) зависит от двух и большего числа аргументов, то уравнение будет содержать частные производные и т.д. Такое уравнение носит название дифференциального уравнения в частных производных. Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной или дифференциала, входящих в уравнение.
Например, у¢ = 2ху2 + 5 – уравнение первого порядка, а у¢¢ + у =0 – второго.
Общим решением дифференциального уравнения порядка r называется функция y = f(x,C1, C2, …, Cr) от х с произвольными постоянными C1, C2, …, Cr, обращающая это уравнение в тождество.
Общее решение, записанное в неявном виде Ф(x, у,C1, …, Cr) = 0, называется общим интегралом.
Так, решением дифференциального уравнения у¢¢ + у =0 является функция у = С1 sin x + C2 cos x, где C1 и C2 – произвольные постоянные. При подстановке функции у = С1 sin x + C2 cos x в уравнение у¢¢ + у =0 оно превращается в тождество. Действительно,
у¢х = C1 cos x – С2 sin x; у¢¢хх = - С1 sin x - C2 cos x;
- С1 sin x - C2 cos x + С1 sin x + C2 cos x =0.
При любом наборе конкретных постоянных получаются частные решения. На практике частное решение получают из общего не прямым заданием значений произвольных постоянных, а с учетом тех условий, которым должно удовлетворять искомое частное решение. Задание таких условий называется заданием начальных условий и записывается кратко так:
f(x0) = y0; f¢(x0) = y¢0;…; f(r-1)(x0) = y0(r-1).
Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.
Уравнение вида f1(x)j1(y)dx + f2(x)j2(y)dx =0
называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на j1(y) f2(x):
при условии, что j1(y) f2(x) ¹ 0. После сокращения получаем
(1)
Интегрируя равенство (1), получаем
(2)
где С – произвольная постоянная.
Выражение (2) является общим решением уравнения (1).
Пример. Найти общее и частное решения уравнения dy/dx = - y/x при x = 1, y = 2.
Решение. В уравнении dy/dx = - y/x путем умножения обеих частей на dx разделим (отделим) дифференциалы: dy = -(y/x)dx. Разделив обе части последнего уравнения на у, получим уравнение с разделенными переменными: dy/у = -dx/x. Проинтегрируем его: откуда
Потенцируя последнее равенство, получаем - общее решение уравнения.Из условия, что при х = 1 у = 2, найдем значение С: 2 = С/1, откуда С = 2. Частное решение будет иметь вид у = 2/х.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнение dy/dx = f(x,y) называется однородным уравнением первого порядка, если функция f(x,y) может быть представлена как функция отношения своих аргументов: f(x, y)= j(y/x).
Например, уравнение dy/dx = ху/(х2 – у2) однородное, так как, разделив числитель и знаменатель правой части на х2, получим