| Параметры | Обозна-чение | Единица измерения | Предположения |
| Интенсивность спроса | 
| Ед. товара в ед. времени | Спрос постоянен и непрерывен; весь спрос удовлетворен |
| Организационные издержки | 
| Ден. ед. за одну партию товара | Издержки постоянны и не зависят от размера партии |
| Издержки содержания запасов | 
| Ден. ед. за ед. товара в ед. времени | Стоимость хранения единицы товара в единицу времени постоянна |
| Стоимость товара | 
| Ден. ед. за ед. товара | Цена единицы товара постоянна; рассматривается один вид товара |
| Размер партии | 
| Ед. товара в одной партии | Размер партии постоянен; поступление товара происходит мгновенно, как только уровень запаса равен нулю |
Требуется определить размер заказываемой партии (
) и интервал времени между поставками (
) таким образом, чтобы общие затраты, связанные с организацией заказов и хранением товаров, были минимальными.
Средний уровень запасов составляет 
. Продолжительность цикла расходования запаса от максимального значения до нуля составляет 
единиц времени. Следовательно, суммарные затраты в единицу времени, связанные с организацией заказов и хранением товаров, можно представить в виде:
,
где 
− затраты на оформление заказа в ед. времени, 
− затраты на хранение запасов в ед. времени. Отметим, что здесь мы не учитываем стоимость товара и потери от дефицита.
За исключением 
все величины в правой части уравнения постоянны и известны, т.е. 
. Для нахождения минимума функции 
найдем производную и приравняем ее к нулю:
.
Откуда оптимальный размер заказа определяется по формуле:
, (1)
тогда оптимальный интервал между поставками 
.
Можно доказать, что точка является точкой минимума функции , показав, что вторая производная в точке строго положительна.
Выражение (8.1) называют формулой экономичного размера заказа Уилсона.
Оптимальная стратегия модели предусматривает заказ единиц продукции через каждые единиц времени. При этом найдены следующие параметры задачи, представленные в таблице 2:
Таблица 2
| Минимальные суммарные затраты в единицу времени | 
|
| Оптимальный средний уровень текущего запаса | 
|
Оптимальное число поставок за плановый период времени 
|  или  ,
где  − целая часть числа
|
| Относительное изменение суммарных затрат по сравнению с оптимальным при относительном изменении объема партии | 
|
Точка заказа. В реальных задачах следует учитывать время выполнения заказа 
от момента размещения заказа до его действительной поставки. Для бесперебойного снабжения заказ должен подаваться в момент, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения потребности на время выполнения заказа. Этот уровень называется точкой возобновления заказа (точка заказа) и обозначается 
, т.е. это нижний уровень, по которому мы должны заказывать новую партию.
На рис. 2 показан случай, когда точка возобновления заказа должна опережать на единиц времени ожидаемую поставку.
 |
В практических целях следует определять точку возобновления заказа через уровень запаса, соответствующий моменту возобновления. На практике это реализуется путем непрерывного контроля уровня запаса до момента достижения очередной точки возобновления заказа. Для систем, в которых дефицит не допускается, заказ должен размещаться в момент, когда величина наличного запаса равна
 ,
| (2) |
где [·] ─ целая часть числа; 
─ оптимальный интервал между поставками.
Для бездефицитной работы системы нужно иметь начальный запас 
. Если 
─ фактический запас, то для непрерывной работы необходимо, чтобы 
. Время потребления начального запаса 
. Чтобы заказанная партия прибыла ко времени полного исчерпания, ее нужно размещать в момент времени 
, а все остальные заказы нужно размещать в моменты
, 
Примеры решения задач
Пример 1. Потребность сборочного предприятия в деталях некоторого типа составляет 120 000 деталей в год, причем эти детали расходуются в процессе производства равномерно и непрерывно. Детали заказываются раз в год и поставляются партиями одинакового объема, указанного в заказе. Хранение детали на складе стоит 0,35 ден. ед. в сутки, а поставка партии − 10000 ден. ед. Задержка производства из-за отсутствия деталей недопустима.
1. Определить
а) оптимальный размер партии поставки;
б) оптимальный интервал между поставками;
в) средний уровень текущего запаса;
г) число поставок;
д) годовые затраты, связанные с работой данной системы.
2. Определить, на сколько процентов увеличатся затраты на создание и хранение запаса по сравнению с минимальными затратами при объеме заказываемых партий 5 000 деталей.
3. В условиях задачипредположим, что заказываются не все партии сразу, а каждая отдельно, причем срок выполнения заказа равен 16 дней. Определить точки заказа, т. е. при каком уровне запаса следует заказывать следующую партию.
4. Нарисовать график изменения запасов, отметить точки заказа.
Решение. По условию затраты на одну партию составляют 
ден. ед., затраты хранения единицы запаса в сутки 
ден. ед. Общий промежуток времени 
1 год = 365 дней, а потребность за этот период 
деталей. Следовательно, в сутки интенсивность спроса в деталях равна 
ед. (Отметим, что все параметры должны быть приведены к одной единице измерения!)
1. а) По формуле (8.1) 
деталей ― оптимальный размер партии поставки;
б) оптимальный интервал между поставками: 
дней;
в) средний уровень текущего запаса определим по формуле: 
;
г) число поставок равно 
поставок в год;
д) годовые затраты, связанные с работой данной системы:
ден. ед.
2. Относительное изменение объема партии по сравнению с оптимальным составляет 
. В соответствии с формулой 
относительное изменение суммарных затрат составит 
, или лишь 1,2%.
3. Так как по результатам решения задачидлина интервала между поставками равна 13,2 дня, то заказ в условиях налаженного производства следует возобновить, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения потребности на 
дня и равен
.
4. Построим график изменения запасов:
 |
Точки 
и 
― точки заказа.
Пример 2. Интенсивность равномерного спроса (
) составляет 2000 ед. товаров в год. Организационные издержки (К) для одной партии составляют 20 тыс. р. Цена единицы товара (s) равна 1 тыс. р., а издержки содержания составляют (h) 0,1 тыс. р. за одну единицу в год. Найти оптимальный размер партии, число поставок и продолжительность цикла.
Решение. По условию задачи =2000, =20, s =1, =0,1. Общие издержки в течение года: 
,
где − затраты на оформление заказа в ед. времени, − стоимость товаров, 
− затраты на хранение запасов в ед. времени. Тогда
,
,
ед.,
,
дн.
Ответ: Оптимальный размер партии составляет 894 ед. товара, число поставок — 2,24, продолжительность цикла — 163 дня.
Следует заметить, что срок выполнения заказа можно всегда принять меньше продолжительности цикла 
.
Пример. Ежедневный спрос на некоторый товар () составляет 100ед. Затраты на размещение каждого заказа (К) постоянны и равны 100 руб. Ежедневные затраты на хранение единицы заказа (h) составляют 0,02 руб. Определить экономичный размер партии и точку заказа при сроке выполнения заказа, равном 12 дням.
Решение. 
ед., 
дн. Т.к. срок выполнения заказа равен 12 дням и продолжительность цикла составляет 10 дней, возобновление заказа происходит, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса на 12-10=2 дня. Таким образом, заказ размером размещается, когда уровень запаса достигает 2*100=200 ед.