Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме
Алгебраической формой комплексного числа z = (a, b).называется алгебраическое выражение вида
z = a + bi.
Арифметические операции над комплексными числами z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i, записанными в алгебраической форме, осуществляются следующим образом.
1. Сумма (разность) комплексных чисел
z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2) ∙i,
т.е. сложение (вычитание) осуществляются по правилу сложения многочленов с приведением подобных членов.
2. Произведение комплексных чисел
z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1) ∙i,
т.е. умножение производится по обычному правилу умножения многочленов, с учетом того, что i 2 = 1.
3. Деление двух комплексных чисел осуществляется по следующему правилу:
, (z 2 ≠ 0),
т.е. деление осуществляется умножением делимого и делителя на число, сопряженное делителю.
Возведение в степень комплексных чисел определяется следующим образом:
.
Легко показать, что
Примеры.
1. Найти сумму комплексных чисел z 1= 2 – i и z 2 = – 4 + 3 i.
z 1 + z 2 = (2 + (–1) ∙i)+ (–4 + 3 i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2 i.
2. Найти произведение комплексных чисел z 1 = 2 – 3 i и z 2 = –4 + 5 i.
= (2 – 3 i) ∙ (–4 + 5 i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3 i)+ 2∙5 i – 3 i∙ 5 i = 7+22 i.
3. Найти частное z от деления z 1= 3 – 2на z 2 = 3 – i.
z = 
.
4. Решить уравнение: 
, x и y Î R.
(2 x + y) + (x + y) i = 2 + 3 i.
В силу равенства комплексных чисел имеем:
откуда x = –1, y = 4.
5. Вычислить: i 2, i 3, i 4, i 5, i 6, i -1, i -2.
6. Вычислить 
, если 
.
.
7. Вычислить число 
обратное числу z =3 -i.
.
Комплексные числа в тригонометрической форме
Комплексной плоскостью называется плоскость с декартовыми координатами (x, y), если каждой точке с координатами (a, b) поставлено в соответствие комплексное число z = a + bi. При этом ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой. Тогда каждое комплексное число a + bi геометрически изображается на плоскости как точка A (a, b) или вектор 
.
Следовательно, положение точки А (и, значит, комплексного числа z) можно задать длиной вектора | | = r и углом j, образованным вектором | | с положительным направлением действительной оси. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается | z |=r, а угол j называется аргументом комплексного числа и обозначается j = arg z.
Ясно, что | z | ³ 0 и | z | = 0 Û z = 0.
Из рис. 2 видно, что 
.
Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до 2 pk, k Î Z.
Из рис. 2 видно также, что если z=a+bi и j=arg z, то
cos j = 
, sin j = 
, tg j = 
.
Если zÎ R и z > 0,то arg z = 0 +2 pk;
если z Î R и z < 0,то arg z = p + 2 pk;
если z = 0, arg z не определен.
Главное значение аргумента определяется на отрезке 0 £ arg z £ 2 p,
либо -p £ arg z £ p.
Примеры:
1. Найти модуль комплексных чисел z 1 = 4 – 3 i и z 2 = –2–2 i.
;
.
2. Определить на комплексной плоскости области, задаваемые условиями:
1) | z | = 5; 2) | z | £ 6; 3) | z – (2+ i) | £ 3; 4) 6 £ | z – i | £ 7.
Решения и ответы:
1) | z | = 5 Û 
Û 
- уравнение окружности радиусом 5 и с центром в начале координат.
2) Круг радиусом 6 с центром в начале координат.
3) Круг радиусом 3 с центром в точке z0 = 2 + i.
4) Кольцо, ограниченное окружностями с радиусами 6 и 7 с центром в точке z 0 = i.
3. Найти модуль и аргумент чисел: 1) 
; 2) 
.
1) ; а = 1, b = 
Þ 
,
Þ j1 = 
.
2) z 2 = –2 – 2 i; a = –2, b = -2 Þ 
,
.
Указание: при определении главного аргумента воспользуйтесь комплексной плоскостью.
Используя формулы 
можно перейти от алгебраической формы записи комплексных чисел к тригонометрической форме (формула Муавра):
.
Комплексные числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на целое число кратное 2p.
4. Записать числа в тригонометрической форме.
1) 
, 2) 
, 3) 
, 4) 
.
1) 
, 
,
.
(За значение угла берем наименьшее неотрицательное из возможных значений аргумента.)
Таким образом: z 1 = 
.
2) 
, r 2 = 1, j2 = 
, 
.
3) , r 3 = 1, j3 = 
, 
.
4) , r 4 = 1, j4 = 
, 
.