Параметрические уравнения эллипса.




Теорема. Пусть 0<b<a – произвольные действительные числа. Тогда система уравнения

,

является параметрическими уравнениями эллипса в канонических для эллипса системе координат.

Параметрические уравнения параболы:

Параметрические уравнения циклоиды:

Пусть окружность без скольжения катится по прямой. Тогда точка такой окружности описывает кривую, которая называется циклоидой.

Выясним, как выглядит уравнение циклоиды. Для этого предположим, что окружность радиуса А катится по оси ОХ и что мы следим за траекторией точки, имевшей вначале координаы (0,0).

После того, как окружность повернулась на угол t? эта точка заняла положение точки М(х,у), как показано на рисунке. Так как нет скольжения, то длинна отрезка ОА должна равнятся длинне дуги АМ = at. Поэтомух = ОА – sint = at – a sint = a(t – sint). Далее, из элементарных геометрицеских соображений видно, что должно быть y = a – acost = a(1 – cost). Итак, мы получили параметрическое уравнение циклоиды

Заметим, что при t [0,2 ] уравнение описывает первую арку циклоиду.

 

 

Вопрос 23

Пусть y = f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент x – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = есть также функция x; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается или .

Итак, по определению = d(dy). Найдём выражение второго дифференциала функции y = f(x).

Так как dx = не зависит от x, то при дифференцировании считаем dx постоянным:

т.е. (1)

Здесь d обозначает (dx

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка:

И, вообще, дифференциал n – го порядка есть дифференциал от дифференциала (n – 1) – го порядка:

Отсюда находим, что . В частности, при n =1, 2, 3 соответственно получаем:

Т.е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующиго порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведённые выше формулы справедливы только, если Х – независимая переменная. Если же функцию y = f(x), где Х – функция от какой – то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.

Используя формулу дифференциала произведения (d(u*v)=vdu + udv), получаем:

(2)

Т.е.

Сравнивая формулы (1) и (2), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое

Ясно, что если ч – независимая переменная, то

и формула (2) переходит в формулу (1)

Вопрос 22

Производная функции y = f(x) есть также функция от Х и называется производной первого порядка.

Если функция диффуренцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается (или . Итак, .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается (или .

Производной n – го порядка (или n – й производной) называется производная от производной (n – 1) порядка:

Производные порядка выше первого называют производными высших порядков.

Начиная с производной четвёртого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках

( – производная пятого порядка).

Вопрос 21

Дифференциал, его геометрический смысл и приложения

Возьмем две точки: x и x+△x из промежутка задания функции f(x) и найдем приращение

ф-ции. если это приращение можно представить в виде: △f(x)=A(x)△x+ o(△) (△x→0)

то говорят, что ф-ция дифференцируема в точке х, а величину А(х)△х называют дифференциалом ф-ции и обозначают df(x).

Ф-цияf(x) имеет дифференциал, когда она имеет производную. Значит df(x)=f’(x)△x.

А так же: df(x)=f’(x)dx и f’(x)=

Дифференциал ф-ции равен приращению, которое получает ордината касательной при переходе от точки х к точке х+dx.

Замена приращения ф-ции дифференциалом означает замену с достаточно высокой степенью точности малого отрезка кривой малым отрезком прямой линии.

Такая замена приводит к очень простой связи приращения ф-ции с приращением аргумента: приращение ф-ции оказывается прямо пропорциональным приращению аргумента. Это позволяет решить огромное число задач, кажущихся неразрешимыми

Итак, если x является независимой переменной, то дифференциал функции y=f(x) можно

записать так: dy=f’(x)dx.

Покажем, что эта форма сохраняется и в случае, если x является не независимой

переменной, а функцией. Действительно, пусть y=f(x) и x= (t), то есть y – сложная

функция от t: y=f[ (t)]. Тогда, dy=y’tdt

По правилу дифференцирования сложной функции: y’t=y’x*x’t. .Отсюда dy=y’x*x’tdt=y’xdx=f’(x)dx.

Этим мы доказали следующее:

Теорема. Дифференциал сложной функции y=f(x), для которой x= (t), имеет такой же вид,

dy=f’(x)dx, как и в том случае, когда аргумент x является независимой переменной. Это

свойство называется – инвариантность формы дифференциала.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Как уже известно, приращение функции y = f(x) в точке Х можно представить в виде у = f’(x)* + , где а при , или у = dy + . Отбрасывая бесконечно малую * более высокого порядка, чем , получаем приближённое равенство

у , (1)

причём это равенство тем точнее, чем меньше .

Это равенство позволяет с большой точнойстью вычислить приближённо приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (1) широко применяется в вычислительной практике.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-07 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: