Переходные характеристики электрических цепей




Переходной характеристикой цепи h(t) называют отношение отклика цепи y(t) (например, выходное напряжение Uy(t)) к величине X ступенчатого воздействия x(t)=X·1(t) (например входного напряжения U(t)=Uo·1(t)) при нулевых начальных условиях (рис.2.1) т.е.

 
 

h(t)=Y(t)/X, t > = 0 (2.1)

Существует ряд аналитических методов расчета переходных характеристик: классический, операторный, спектральный и временной.

рассмотрим классический метод. Классический метод расчета П.Х. сводится к составлению и решению дифференциального уравнения устанавливающего связь между входным и выходным сигналом. Согласно этому методу необходимо:

2.1. Составить дифференциальное уравнение, устанавливающее связь между откликом и воздействием.

2.1.1. Для этого, на основе законов Кирхгофа, или другими приемами решения задач для разветвленных цепей (например, методами контурных токов или узловых потенциалов), составляют уравнения для рассматриваемой цепи относительно мгновенных значений токов, напряжений или зарядов: i, u или q.

При их составлении используются следующие соотношения:

 

(2.2)

(2.3)

(2.4)

, (2.5)

где uR, uL, uC - мгновенное значение напряжения на соответствующих элементах цепи.

Составленные уравнения образуют систему интегро-дифференциальных уравнений. За переменные в этих уравнениях обычно принимают переменные состояния - величины, отражающие энергетическое состояние в цепи. Такими величинами являются: iL- токи через индуктивности, UC - напряжения на емкостях. Систему уравнений, составленную для переменных состояния, называют системой уравнений состояния цепи.

2.1.2 Путем последовательного исключения отдельных переменных, подстановок и повторного дифференцирования, систему уравнений состояния сводят к одному дифференциальному уравнению вида:

an , (2.6)

где y- отклик, x- воздействие, - постоянные коэффициенты, n - порядок дифференциального уравнения, зависит от числа реактивных элементов в схеме и способа их соединения.

2.2 Известно, что общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (НЛДУ) состоит из двух частей:

y(t)= yC(t) + yB(t), (2.7)

где yC(t) - общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ), полученное из (2.6) при x(t) = 0; y B(t)- частное решение НЛДУ.

Частное решение неоднородного уравнения yB(t) зависит от внешнего воздействия x(t). Поэтому его называют вынужденным. За него часто принимают решение уравнения в установившемся режиме yB(¥), то есть при t®¥. Если воздействие представляет собой скачок постоянного напряжения x(t)= E·1(t), то решение ищут путем анализа цепи по постоянному току, когда ω=0. Или, если известно выражение для комплексного коэффициента передачи цепи K(j w), то решение находят из выражения

yB(t ® ¥) = Ku(w ® 0)E, (2.8)

где Ku(0) - коэффициент передачи по напряжению на нулевой частоте (w = 0).

2.2.2. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) находится при x (t) = 0. Оно характеризует собственные процессы в цепи, а поэтому называется собственным или свободным и ищется в виде:

, (2.9)

где A 1, A 2.....AN - постоянные коэффициенты, зависящие от начальных или граничных значений; p 1, p 2 ...... p N - корни характеристического уравнения. Его получают из однородного дифференциального уравнения заменой производных, как показано ниже:

pn + an-1 pn-1+.....+ a0 = 0 (2.10)

Характер решения (2.9) дифференциального уравнения зависит от характера корней уравнения (2.10). Рассмотрим возможные варианты решения для уравнения второго порядка (n=2), для более высоких порядков решение получается громоздким. Корнями уравнения (2.10), при n=2, являются:

(2.11)

Если:

a) Корни вещественны и равны:

, (2.12)

б) Корни вещественны и неравны:

, (2.13)

в) Корни мнимые:

(2.14)

где ,

г) Корни комплексные:

(2.15)

где и определяются согласно (2.14).

В пассивных цепях собственные колебания протекают под действием начальной энергии накопленной в виде зарядов емкостей или токов через индуктивность. С течением времени накопленная энергия переходит в тепловую. Поэтому собственные колебания затухают, а величина <0.

Существенным этапом решения ЛОДУ являются нахождение постоянных интегрирования А1…Аn. Они определяются, исходя из начальных условий т.е. из состояния цепи при t=0, для искомой функции и ее производных. Определив при начальных условиях значения искомой функции y(0) и ее производных y1(0),..yn-1(0) и подставив эти значения в формулу для общего решения (2.18) и ее производных, при t=0, получаем систему уравнений из решения которой и находятся значения А1..Аn.

Для нахождения значений искомой функции и ее производных при t=0 следует учитывать следующие физические законы непрерывности (законы коммутации):

а) Закон непрерывности изменения магнитного потока. Из него следует, что ток через индуктивность, после изменения напряжения на ней, мгновенно изменяться не может т.е.

. (2.16)

б) Закон непрерывности изменения заряда. Из него следует, что напряжение на емкости, при изменении тока протекающего через него, мгновенно измениться не может т.е.

, (2.17)

Если порядок уравнения (2.6) больше двух, то расчет ПХ, методом дифференциальных уравнений оказывается громоздким и неудобным. В этом случае целесообразно применить операторный метод.

2.3. Переходная характеристика, в соответствии с ее определением (2.1), найденная классическим методом, в общем виде, определяется выражением:

(2.18)

2.4. Временными параметрами характеризующими ПХ являются - постоянная времени t, и время установления tуст.

Постоянная времени, вводится для экспоненциальной функции вида:

y= e pt, где p<0. Постоянная времени характеризует скорость изменения экспоненциальной функции на начальном этапе. Под постоянной времени цепи понимают время за которое выходной сигнал изменившегося по закону y = e pt уменьшается в e=2,71 - раз, т.е. до уровня 1/e = 0.37 от своего начального значения.

Время установления - это время за которое переходная характеристика достигает своего стационарного значения с заданной точностью. Функции уменьшающаяся по закону y=ехр(t/t) за время 3t достигает своего стационарного значения с точностью 5%. Если нет особых оговорок то за время установления и принимают 3t. (tуст =3t).

Рассмотрим цепь первого порядка.

1. Для цепи 1-ого порядка составленное дифференциальное уравнение имеет вид:

,

2. общее решение неоднородного ЛДУ известно

,

где - общее решение однородного дифференциальное уравнения, когда .

Его решение известно, оно имеет вид - ; -частное решение неоднородного ЛДУ

3.Найдем частное решение неоднородного ЛДУ. Его вид зависит от правой части неоднородного уравнения, т.е. от воздействующего сигнала. Если входной сигнал - ступенчатая функция Е1(t), то при t®¥ его можно считать постоянной величиной, а потому за принять , и находить, как отклик цепи на входной сигнал постоянной величины E, считая его гармоническим сигналом с нулевой частотой (Е=Еcosωt|ω=0). Отсюда общее решение имеет вид:

.

4. pi –определяют как корни характеристического уравнения. Оно для дифференциального уравнения первого порядка имеет вид- tp1+1=0, отсюда .

5. A1 –произвольная постоянная, определяется из начальных условий самой функции и ее производных.

Найдем А1. При , . Значение y(0) находится из начальных условий при t=0, используя законы коммутации или из схемы замещения исходной цепи при ω®¥.

6. Отсюда общее решение для цепи первого порядка имеет вид

.

Пример 2.1: Для схемы приведенной на рис.2.2 найти -

Порядок решения:

1.Составим дифференциальное уравнение относительно U2=Uc1 и приведем его к стандартному виду:

.

2. Запишем общее решение: , .т.е .

3. Найдем из схемы замещения (рис.2.3) исходной цепи при t®¥ (когда ω=0). Получим .

4. Найдем корень характеристического уравнения

.

5. Найдем y(0) из схемы замещения (рис.2.4) исходной цепи при t®0 (когда ω®¥). Учитывая, нулевые начальные условия и закон коммутации для емкости, получим y(0)=0

6. Запишем окончательное решение:

График ПХ приведен на рис.2.5

Переходная характеристика имеет 2 параметра:

1) постоянная времени - время за которое переходная характеристика достигает уровня 0.63 от своего стационарного значения: .

2) время установления: t уст. 1%=5τ, t уст. 5%=3τ.

Пример 2.2. Рассчитать переходную характеристику двухконтурной цепи рис.2.6.

U1(t)=E1(t), U2(t)=h(t)=?

,

1. Составим дифференциальное уравнение и приведем его к стандартному виду.

Уравнение будем составлять, относительно тока второго контура i2, используя метод контурных токов, а в конце найдем U2=L(di2/dt). По методу контурных токов запишем систему, после показанных ниже преобразований сведем ее к дифференциальному уравнению второго порядка

2.Общее решение относительно тока i2 имеет вид:

1. Найдем i2(∞) из схемы замещения (рис.2.7) при t®¥, когда ω=0. Получим i2(∞) =0.

Общее решение относительно напряжения имеет вид

2. Найдём А1 и А2. из схемы замещения (рис.2.8) при t®0, когда ω®¥.

Учитывая, нулевые начальные условия и законы коммутации для емкости и индуктивности или условие, когда ω®¥, получим систему

1) i2(0) = A1+ A2 = 0 (1)

2) U2(0) = Lp1A1 + Lp2A2 = E (2)

(1) A1 = -A2

A1 = E/L(p1-p2), A2 = - E/L(p1-p2)

3. Найдем p1,p2 - корни характеристического уравнения: .

6. Дальше проводится анализ корней характеристического уравнения и записывается окончательное решение - .

а) если α > w0, корни – действительные:. p1, p2 < 0, то решение состоит из двух экспонент (рис.2.9). Такое решение называется апериодическим.

б) если α < w0 , корни – комплексные: p1 = - α + jβ; p2 = - α - jβ;

В этом случае решение будет представлять собой затухающую гармоническую функцию. Такое решение называется колебательным.

Найдем границу между этими двумя случаями:

При Q < 2 – решение имеет апериодический характер

При Q > 2 - решение имеет колебательный характер.

Пример 2.3. Рассчитать переходную характеристику последовательного колебательного контура (рис.2.10). U1(t) = E 1(t)

1. Составим дифференциальное уравнение и приведем его к стандартному виду. Уравнение будем составлять, относительно UC = U2, используя 2-ой закон Кирхгофа UR + UC + UL = U1 и законы Ома для элементов контура, как показано ниже:

.

 
 

2. Общее решение относительно напряжения U2 имеет вид:

3. Найдем U2(∞) из схемы замещения (рис.2.11) при t®¥, когда ω=0. Получим U2(∞) = E.

4.Найдём А1 и А2. используя схему замещения (рис.2.12) при t®0, когда ω®¥.

Учитывая, нулевые начальные условия и законы коммутации для емкости и индуктивности, или условие когда ω®¥, получим систему для нахождения A1,A2:

 
 

при t = 0, U2(0) = A1 + A2 + E = 0; (1)
 
 

.

5. Найдем p1,p2 - корни характеристического уравнения:

6.Анализ корней и запись окончательного решения.


а) Если α > w0, то p1 = - α – β, p2 = - α + β; корни действительные отрицательные.

 
 

Если α >> β, то затухание экспоненты преобладает над всеми остальными функциями, т.е. βt→0 → sh0 = 0, ch0 = 1 и общее решение запишется так:

б) Если α < w0, то p1 = - α + jβ, p2 = - α - jβ; корни комплексные.

Определим время установления переходного процесса на уровне 0,1:

. tуст = 0,7QT, гдеT – период колебательного процесса. Отсюда следует, что Q – добротность, примерно определяется числом периодов, за которое амплитуда колебаний переходной характеристики уменьшается в 10 раз.

Пример 2.4. Для схемы приведенной на рис.2.14а, найти переходную характеристику-. . С1=С2=0.1мкФ, R1=1кОм, R2=10кОм.

 
 

Порядок решения:

1. Составим дифференциальное уравнение и приведем его к стандартному виду.

За переменную в дифференциальном уравнении принимаем напряжение снимаемое с конденсатора С2 оно есть выходное напряжение (отклик) и переменная, характеризующая энергетическое состояние цепи. Выходное напряжение определяется выражением:

, (2.19)

где -ток второго контура. Пользуясь методом контурных токов, составим уравнения для 1 и 2 контуров и установим связь между мгновенными значениями отклика u2 и воздействия u1.

,

где i1, i2- контурные токи 1-го; 2-го контуров.

Разрешим второе уравнение относительно i1 и, учитывая, что , получим

.

Подставим i1 в первое уравнение, получим

.

Сократим однородные члены и путем дифференцирования по времени всех членов уравнения получим дифференциальное уравнение вида:

. (4.20)

2. Запишем общее решение дифференциального уравнения второго порядка. Общее решение уравнения (4.20) известно, оно имеет вид:

. (4.21)

3. Найдем вынужденную составляющую общего решения u2(∞) из схемы замещения исходной цепи (рис.2.14б), составленной при t®¥ (w=0).

Анализ цепи показывает, что вынужденная составляющая переходной характеристики, равна

u2(∞) =0.

Отсюда следует, что искомая функция примет вид

. (4.22)

4. Найдем А1 и А2 исходя из начальных условий. Их находят из начальных условий (при t=0) для искомой функции и ее производных.

Из выражения (4.22) для общего решения следует, что искомая функция при t = 0 равна

u2(t=0)=A1+A2

а производная от искомой функции при t = 0 равна

.

Учтем, что , где i2(t=0) ток второго контура при t=0.

Определим u2(t=0) и i2(t=0) из анализа схемы при нулевых начальных условиях с учетом законов коммутации. Поскольку напряжение на конденсаторе мгновенно измениться не может, то uc(+0)=uc(-0)=0, где uc(+0) - напряжение на конденсаторе после подачи скачка напряжения. uc(-0) -напряжение на конденсаторе до подачи скачка напряжения. Последнее, при нулевых начальных условиях, равно нулю, а конденсаторы С1 и С2 на схеме (схема t = 0) представляют собой участки цепи с нулевым сопротивлением. Следовательно, схема замещения исходной цепи при t® 0 (w=¥) имеет вид приведенный на рис.2.14в.

Из анализа этой схемы замещения следует, что u2(t=0) =0 и i2(t=0) =Е/R2. Отсюда уравнения для нахождения постоянных интегрирования А1 и А2 принимают вид:

Из решения этой системы следует:

Запишем общее решение неоднородного дифференциального уравнения

5.Найдем корни характеристического уравнения р1=a+b; р2=a-b, где

;

Очевидно, что , а потому корни вещественны и различны, причем p2<p1<0.

6. Запишем окончательное решение и проведем анализ ПХ

Переходная характеристика имеет вид:

.

Качественный анализ ПХ показывает, что она состоит из двух экспонент: “быстрой”, с постоянной времени t2= -1/p2, и “медленной”, с постоянной времени t1= -1/p1 (), амплитуды которых одинаковы по величине, но противоположны по знаку (А1= -А2). Графики составляющих ПХ и самой ПХ приведены на рис.2.15. Очевидно, что время нарастания ПХ, т.е. область малых времен будет определяться t2, а время установления ПХ, область больших времен, постоянной времени t1.

7. Расчет и построение переходной характеристики с помощью ЭВМ

Для определения временного интервала и шага, с которым будем производить расчет графика ПХ, необходимо проанализировать характер функций, составляющих переходную характеристику.

В рассматриваемом примере ПХ представляется суммой двух экспонент с постоянными временами и .

Если величины и одного порядка, то за временной интервал 0-Т1 принимается . Шаг изменения времени определим из соотношения , где n - число точек ПХ (Примем n=20).

Если величины и сильно отличаются ( >> ), то расчет ПХ необходимо вести для двух интервалов:

а) для области малых времен примем с шагом (n=10);

б) для области больших времен примем с шагом (n=10).

В рассматриваемом примере =0.001, =9.01·10-3 , >> , а примерный вид ПХ приведен на рис.2.15.

В ряде случаев ПХ может иметь вид затухающей по экспоненте гармонической функции, вида . В этом случае за временной интервал принимать T2=(4¸5)/a. За шаг измерения принять величину , где T - период гармонических колебаний Т=2p/b..

8. Пример расчета переходных характеристик электрических цепей с помощью пакета математических программ Mathcad.

8.1.Вычислить корни характеристического уравнения р1, р2 и постоянные времени τ1, τ2.

8.2. Вычислить коэффициенты А1 и А2

Определим шаг по времени, примем число отсчетов

Т2=5 10-3

 

8.3.Введите выражение для переходной характеристики h(t), К=1000,

 
 

Результаты расчета переходных характеристик приведены на рис. 2.16, где h1i – Рис.2.16.

переходная характеристика для области малых времен, h1i – переходная характеристика для области больших времен.

 

 


 

Раздел 3.

Экспериментальное определение частотных и переходных характеристик с помощью приборов виртуальной лаборатории Elektronics workbench (ewb)

В состав виртуальной лаборатории (ewb) входят следующие измерительные приборы.

Осциллограф – это прибор, который предназначен для визуального контроля за формой электрических сигналов и измерения их параметров по изображению наблюдаемому на экране электронно-лучевой трубке. По наблюдаемому изображению сигнала возможно измерение амплитудных и временных параметров сигналов.

Генератор это прибор, который предназначен для создания электрических сигналов, которые используются для исследования электрических цепей и электронных устройств.

Измеритель диаграмм Боде (или плоттер Боде) предназначен для измерения АЧХ и ФЧХ электрических цепей.

Чтобы скопировать изображение схемы или любого фрагмента расположенного на рабочем столе программы EWB в отчет, подготавливаемый в текстовом редакторе Word необходимо действовать следующим образом:

- в меню Edit выделить команду Copy as Bitmap. После чего курсор мыши превращается в крестик, которым по правилу прямоугольника можно выделить нужную часть экрана. После отпускания левой кнопки мыши выделенная часть копируется в буфер обмена, содержимое которого может быть импортировано в любое приложения Windows.

 

3.1 Методика измерения частотных (АЧХ и ФЧХ) характеристик.

По определению частотная характеристика параметра цепи, есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде входного гармонического сигнала

H(jω) = Ym/Xm.

Т.о. ЧХ есть функция комплексной переменной jω - комплексной частоты, и ее называют комплексной частотной характеристикой (КЧХ), которую в показательной форме можно записать следующим образом:

H(jω) = Ym/Xm=(Ymеj φy)/ (Xmеj φx) = (Ym/Xmj φ(ω)

Из записанного следует, что комплексная функция состоит из двух действительных функций:

1. H(ω) = Ym/Xm – АЧХ

2. φ(ω) = φy - φx - ФЧХ

Измерение АЧХ и ФЧХ с помощью генератора и осциллографа слишком трудоемко, значительно проще проводить измерения с помощью измеритель диаграмм Боде, входящего в состав виртуальной электронной лаборатории EWB. Передняя панель и его выводы показаны на рис.3.1.

 
 

В режиме измерения АЧХ (Magnitude) на экран выводится график зависимости от частоты отношения Umy/Umx, где Umy -амплитуда гармонического сигнала по напряжению на выводах OUT - “ВЫХОД”, а Umx – амплитуда гармонического сигнала по напряжению на выводах IN - “ВХОД”. В режиме измерения ФЧХ (Phase) на экран выводится график зависимости от частоты фазового сдвига между гармоническими сигналами по напряжению Umy на выводах “ВЫХОД”, и - Umx на выводах “ВХОД”.

Настройка измерителя заключается в выборе масштабов по осям: логарифмический (кнопка LOG) или линейный (кнопка LIN), и в выборе пределов измерения по вертикальной и горизонтальной осям с помощью кнопок в окошках F – максимальное значение и I – минимальное значение.

Измерение конкретных значений АЧХ и ФЧХ можно проводить с помощью вертикальной визирной линии, которая в исходном положении находится в начале координат и перемещается по экрану с помощью мыши или кнопками ←, →.

Значения измеряемой функции и ее аргумента в месте установки визирной линии индицируется в окошках в правом нижнем углу.

3.2 Схема и методика измерения частотных передаточных по напряжению характеристик (АЧХ и ФЧХ) четырехполюсника

 
 

К частотным передаточным характеристикам четырехполюсника относят комплексную функцию коэффициента напряжений К(jω)= U2m/U1m. Она представляет собой зависимость от частоты отношения комплексной амплитуду выходного напряжения к комплексной амплитуда напряжения на входе. Отсюда следует, что АЧХ передаточной функции напряжений есть К(ω)=U2m/U1m, а ФЧХ передаточной функции напряжений есть φк(ω)= φ2- φ1

Следовательно для измерения указанных характеристик клеммы ВХОД измерителя диаграмм Боде необходимо подсоединить ко входу исследуемого четырехполюсника, а клеммы ВЫХОД к выходу четырехполюсника.

Схема измерения частотных передаточных по напряжению характеристик цепи приведена на рис.3.2.

Как следует из схемы Ym=U2m, а Хm= U1m. Отсюда следует, что измеряемая характеристика представляет собой комплексную функцию коэффициента передачи напряжений т.е.

H(jω) = Ym/Xm= U2m/U1m = К(jω)


На рис. 3.3 приведен пример измерения частотных передаточных по напряжению характеристик цепи, аналитический расчет которой был проведен в примере 1.6.

Рис. 3.3



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-21 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: