При аксиоматическом построении теории целых неотрицательных чисел вычитание определяется как операция, обратная сложению.




Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется такое натуральное число с, что а = с + b. Это число обозначают а – b. Число а называют уменьшаемым, b – вычитаемым.

Разность целых неотрицательных чисел a и b существует, если b Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе a и она единственна.

 

Будем считать, что 0 – 0 = 0 и а – а = 0.

Теорема. Еслиразность целых неотрицательных чисел существует, если b a.

 

Доказательство. Пусть а = b. Тогда а – b = 0, и следовательно, разность существует. Если b < a, то по определению отношения «меньше» существует натуральное число с такое, что a = b + c. Тогда по определению разности с = а – b, т.е. разность существует и b + c = a. Если с = 0, то а = b; если с > 0, то b < a по определению отношения «меньше». Итак, b a.

 

Теорема. Если разность натуральных чисел a и b существует, то онаединственна.

 

Доказательство. Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b: a – b = c и a – b = c . Тогда, по определению разности, имеем: a = b + c и a = b + c . Отсюда следует, что b + c = b + c и значит c = c . Мы пришли к противоречию с нашим предположением. Следовательно, значение разности чисел a и b единственно.

 

Дистрибутивность умножения относительно вычитания: при b < a и при любых натуральных с верно равенство (a - b) c = a c - b c.

 

Докажем, что при b < a и при любых натуральных с верно равенство (a - b) c = a c - b c.

 

Доказательство. Пусть натуральные числа a и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество таких натуральных чисел с, для которых верно равенство (a - b) c = a c - b c.

 

Докажем, что 1 М, т.е. что равенство (а - b) 1 = а 1 - b 1истинно. Согласно свойству 1 из определения умножения имеем: (а - b) 1 = а - b = а 1 - b 1.

 

Докажем теперь, что если с М, то с М, т.е. что из равенства (a - b) c = a c - b c следует равенство (a - b) с = a с - b с .

 

По определению умножения, имеем: (a - b) с =(а - b) (c + 1 ) = (а - b) c - (a - b) 1 = (a c - b c) + (a - b) = (a c - b с + a) - b =(a c + а) - (b c + b) =a (c + 1 ) – b (c + 1 ) = a с - b с .

 

Итак, мы показали, что множество М содержит 1, и из того, что оно содержит с, следует, что и с содержится в М. По аксиоме 4 получаем, что М = N. Это значит, что равенство (a - b) c = a c - b c верно для любых натуральных чисел с, а также для любых произвольных а и b.

 

Правило вычитания числа из суммы: при а с имеем, что (a + b) - c = (a - c) + b; при b c имеем, что (a + b) - c = a + (b - c); при a c и b c можно использовать любую из данных формул.

 

Докажем, что если а с, то (a + b) - c = (a - c) + b. Доказательство. В первом случае разность существует, т.к. a > c. Обозначим ее через х: а – с = х, откуда а = с + х. Если (a + b) – c = y, то по определению разности a + b = c + y. Подставим в это равенство вместо а выражение с + х: (с + х) + b = с + y. Воспользуемся свойством ассоциативности сложения: с + (х + b) = с + y. Преобразуем это равенство: x + b = y. Заменив в данном равенстве х на выражение а – с, будем иметь (а – c) + b = y.

 

Таким образом, мы доказали: если а с, то (a + b) – c = (a - c) + b.

Правило вычитания суммы из числа: при условии, что a b +c, имеем а – (b + c) = (a – b) – c.

 

Правило вычитания разности из числа: при a > b, имеем а – (b – c) = (a + c) – b = (a – b) +c.

 

Правило вычитания числа из разности: при a > b, имеем (а – b) – c = a – (b + c).

 

В начальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над однозначными числами. Различные правила вычитания являются теоретической основой различных приемов вычислений.

 

Например, (40 + 16) – 10 = (40 – 10) + 16 = 30 + 16 = 46 или (40 + 16) – 10 = 40 + (16 – 10) = 40 + 6 = 46.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-21 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: