Минимальный список вопросов по теории вероятностей (ответ – без подготовки).
1. Чему равна вероятность объединения двух событий? P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
2. p(a/b) = p(a∩b)/p(b) = pb(a)
3. Как можно записать вероятность пересечения двух событий?
p(a∩b) = p(a/b)*p(b) = p(a)*p(b/a)
4. Пусть события А и В не пересекаются. Чему равна вероятность их объединения? P(AUB)=P(A)+P(B)
пересечения? P(A∩B) = P(A)*P(B) = 0
5. Что можно сказать о вероятности пересечения независимых событий?
P(A∩B)=P(A)*P(B)
6. Четыре раза бросается игральная кость. Как посчитать вероятность того, что шестерка выпадет ровно три раза? Хотя бы три раза?
ЧЕРЕЗ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ: Pn (k) = P { mn = k } = Cnk * pk * qn-k; q = 1 – p
P { “ровно 3 раза” } = P { mn = 3 } = C43 * (1/6)3 * (5/6)1 = 4 * 1/216 * 5/6 = 20/1296 = 5/324
P { “хотя бы 3 раза” } = P{ mn >= 3 } = P { mn = 3 } + P { mn = 4 } = C43 * (1/6)3 * (5/6)1 + C44 * (1/6)4 * (5/6)0 =
= 5/324 + 1/1296 = 21/1296 = 7/432
7. Чему равна функция распределения сл.в. X по определению?
Fξ(x)=P{w: ξ(w) < x} "x Î R
8. Как найти функцию распределения, если известна плотность распределения?
ВЗЯТЬ ИНТЕГРАЛ: Fξ (x) = ò fξ(x)dx + C
9. Как найти плотность распределения, если известна функция распределения?
ВЗЯТЬ ПРОИЗВОДНУЮ: fξ(x) = (Fξ(x))’
10. Пусть известна функция распределения сл.в. X. Как найти P(a<=X<b)
Fξ(b) – Fξ(a)
11. Пусть известна плотность распределения сл.в. X. Как найти P(a<=X<b)
aòb (fξ(x)dx)
12. Чему равна площадь под графиком плотности распределения?
1 =)))
1З. Пусть точка бросается на удачу на отрезок [а, b). Какое распределение имеет координата этой точки?
РАВНОМЕРНОЕ: ξ Î U[a, b); Fξ(x) = { 0, если x <= a; (x – a)/(b – a), если a < x <= b; 1, если x > b }
14. Пусть X – это число выпадений шестерки при 10 бросаниях игральной кости.
Какое распределение имеет такая случайная величина?
БИНОМИАЛЬНОЕ: ξ Î B(n, p); P{ ξ = k} = Cnk * pk * qn-k
15. Пусть Х – это время, между последовательными покупателями, подошедшими к кассе.
Какое распределение имеет такая случайная величина?
ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ: Fξ(x) = { 0, если x <= 0; 1 – e-ax, если x > 0 }
16. Пусть X – это число звонков, поступивших на АТС за минуту. К какому распределению близко распределение такой сл.в.?
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА: P { ξ = k } = (lk / k!) * e–l (l > 0)
17. Пусть Х – это дневная выручка в большом магазине. К какому распределению близко распределение этой сл.в.?
НОРМАЛЬНОЕ: Fξ(x) = Ф[(x-m)/d] + 1/2; 
18. Чему равно математическое ожидание дискретной сл.в.?
Mξ = ∑Xi*P(Ai)
19. Чему равно математическое ожидание абсолютно непрерывной сл.в.?
Mξ = -∞ ò+∞ (x*fξ(x)dx)
20. Что характеризует мат. ожидание?
СРЕДНЕЕ (ВЗВЕШАННОЕ) ЗНАЧЕНИЕ СЛ. ВЕЛ.
21. В каком случае математическое ожидание суммы равно сумме мат. ожиданий?
ВСЕГДА, ЕСЛИ ПАМЯТЬ НЕ ИЗМЕНЯЕТ
22. В каком случае математическое ожидание произведения равно произведению мат. ожиданий?
КОГДА СЛ. ВЕЛ. НЕЗАВИСИМЫ
23. Что такое дисперсия по определению? Что она характеризует?
Dξ = M(ξ – Mξ)2 = M(ξ2) – (Mξ)2; ОТКЛОНЕНИЕ СЛ. ВЕЛ. ОТ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ
24. В каком случае дисперсия суммы равна сумме дисперсий?
D(ξ1 + ξ2) = Dξ1 + Dξ2 + 2*COV(ξ1, ξ2); КОГДА СЛ. ВЕЛ. НЕЗАВИСИМЫ, COV(ξ1, ξ2) = 0
25. Что такое ковариация? Что она характеризует?
COV(ξ1, ξ2)=M(ξ1-Mξ1)(ξ2-Mξ2) = M(ξ1ξ2) – (Mξ1)(Mξ2); ХАРАКТЕРИЗУЕТ ЗАВИСИМОСТЬ СЛ. ВЕЛ.
26. Что такое коэффициент корреляции?
ПРОНОРМИРОВАННАЯ КОВАРИАЦИЯ; rξ 1 ξ 2= COV(ξ1, ξ2) / SQRT(Dξ1*Dξ2); | rξ1ξ2 | <= 1
27. Может ли коэффициент корреляции равняться -1? ДА 2? НЕТ
28. Что можно сказать о коэффициенте корреляции сл.в. X и Y, если Y=-X?
ЕСЛИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫ, ТО КОРРЕЛЯЦИЯ ПО МОДУЛЮ РАВНА 1
29. Как выглядит неравенство Чебышева (во 2ой форме)?
P{| ξ-Mξ|>=E }<= Dξ/E2
30. В чем состоит правило трех сигма?
σ = SQRT (Dξ); P{ |ξ – Mξ| >= 3σ} <= Dξ / 9σ2 = 1/9
ВЕРОЯТ. ТОГО, ЧТО СЛ. ВЕЛ. ОТКЛОНИТСЯ ОТ СВОЕГО МАТ. ОЖИД. БОЛЕЕ ЧЕМ НА 3*σ, МАЛА
ξ ÎN(m, σ); P{|ξ – m| >= 3σ} = 1 – P{|ξ – m| < 3σ} = [y = (x-m)/σ] = 
= 1 – 2Ф(3) = 0,0027
31. Объясните, в чем состоит закон больших чисел? (Можно на примере).
Пусть имеется последовательн. испытаний, в каждом – событие A появляется с вероятностью p независимо от других. Положим ξk = 1, если k-событие произошло, и ξk = 0 иначе. Тогда { ξk } – последовательность одинаково распределенных величин (по закону Бернулли). Обозначим Sn = ξ1 + … + ξn.
Тогда Sn – число появлений A – почти не зависит от распределения ξk (при достаточно больших n).
Теорема(Чебышева): ПУСТЬ ДАНА ПОСЛЕД. СЛ. ВЕЛ. { ξn } И ПУСТЬ ВЫПОЛНЯЮТСЯ 3 УСЛОВИЯ:
1) ξi – НЕЗАВИС.; 2) $Mξi, Dξi; 3) $c > 0 "n Dξn <= c, тогда limn®¥ P { |1/nå(ξi – Mξi)| >= E } = 0; ТУТ i ОТ 1 до n
32. Сформулируйте теорему Хинчина.
ДАНА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СЛ. ВЕЛ. ОНИ НЕЗАВИСИМЫ, ОДИНАКОГО РАСПРЕДЕЛЕНЫИ $Mξn=m; ТОГДА limn->∞ P{ |(1/n*∑ξi) – m| >= E} = 0; ТУТ i ОТ 1 до n
33. Пусть производится тысяча выстрелов и вероятность попадания при одном выстреле равна 0.001.
Как найти вероятность того, что будет 100 попаданий? Хотя бы одно попадание?
ЧЕРЕЗ ТЕОРЕМУ ПУАССОНА: lim n®¥ P {mn = k } » (lk / k!) * e–l; l = lim n®¥ (n*pn)
l = n*p = 1000*0.001 = 1
100 попад.: P {mn = 100 } = (1100 / 100!) * e–1 = 1 / (e * 100!) » 0
хотя бы 1: P {mn >= 1} = 1 – P{mn = 0} = 1 – P{mn = 0} = 1 - (10 / 0!) * e–1 = 1 – e–1 » 0,632 (лекция от 01.03.2006)
34. Монета бросается 100 раз. Как найти вероятность того, что число выпадений герба принадлежит интервалу (40, 60)
ЧЕРЕЗ ТЕОРЕМУ МУАВРА-ЛАПЛАСА: P{a <= mn <= b} » Ф[(b-np) / SQRT(npq)] – Ф[(a-np) / SQRT(npq)]
P{40 <= mn <= 60} » Ф[(60-100*1/2) / SQRT(100*1/2*1/2)] – Ф[(40-100*1/2) / SQRT(100*1/2*1/2)] =
= Ф[10 / SQRT(25)] – Ф[(-10) / SQRT(25)] = Ф(2) – Ф(-2) = 2Ф(2) = 2 * 0.4772 = 0,9544
35. Объясните, в чем состоит утверждение центральной предельной теоремы? (Можно на примере).
ВРОДЕ ТИПО ТАК: ВОТ ПОПРОСИМ УРАЛМАШЕВЦЕВ (ГОГУ, МИГАЧА И СИВА) ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ПАРТЫ– ПОЛУЧИМ РЕЗУЛЬТАТЫДЫК ПОЛУЧИВШАЯСЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА ДОЛЖНА ИМЕТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СХОДЯЩЕЕСЯ К НОРМАЛЬНОМУ
36. В чем состоит выборочный метод в статистике?
МЫВИБИРАЕМ КАКИЕ-ТО ДАННЫЕ И ПО НИМ СУДИМ О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СЛ. ВЕЛ.
37. Что Вы понимаете под репрезентативностью выборки? однородностью?
РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТЬ = КАЖДЫЙ ЭЛЕМЕНТ МОЖЕТ ПОПАСТЬ В ВЫБОРКУ.
ОДНОРОДНОСТЬ = ВЫБОРКИ ИЗ ОДИНАКОГО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СЛ. ВЕЛ.
38. Какая оценка называется несмещенной? состоятельной? эффективной?
НЕСМЕЩЕННАЯ – НЕ ДАЕТ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК
СОСТОЯТЕЛЬНАЯ – ЧЕМ БОЛЬШЕ ВЫБОРКА (ВРОДЕ) ТЕМ РЕЗУЛЬТАТ ТОЧНЕЕ
ЭФФЕКТИВНАЯ – ПУСТЬ У НАС ЕСТЬ НЕСКОЛЬКО ВЫБОРОК И ОЦЕНКА, ДАК ПРИ ПОДСТАНОВКЕ ВЫБОРОК В оценку а(тут выборка) РАЗБРОС БУДЕТ МИНИМАЛЬНЫЙ
39. Что Вы понимаете под доверительным интервалом?
ДОВЕРИТЕЛЬНЫМ ИНТЕРВАЛОМ ДЛЯ ПАРАМЕТРА а (С ДОВЕРИТЕЛЬНОЙ ВЕР-Ю ρ=0.95) НАЗЫВАЕТСЯ ИНТЕРВАЛ ВИДА: (а1(x1,…,xn),a2(x1,…,xn)), если P{a1(X1,…,Xn)<a< a2(X1,…,Xn)}=ρ
40. Что Вы понимаете под наилучшей критической областью при проверке гипотез?
ЗАДАЕМ ДОПУСТИМЫЙ УРОВЕНЬ ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ ПЕРВОГО РОДА И СРЕДИ ВСЕХ КРИТИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ ОБЕСПЕЧИМ ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ ПЕРВОГО РОДА НЕ ВЫШЕ ДОПУСТИМОГО. ВЫБЕРЕМ КРИТИЧЕСКУЮ ОБЛАСТЬ ДЛЯ КОТОРОЙ ВЕР-СТЬ ОШИБКИ ВТОРОГО РОДА МИНИМАЛЬНА – ЭТО И БУДЕТ НКО =)
Ну собственно теперь можете говорить что я опять тут половину всего неправильно написал (как и с экономикой) но несмотря на это сдал тер.вер. на 4 =))))
(С) Мигач