Существует две основные схемы наращения капитала:
- схема простых процентов
- схема сложных процентов.
Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р, требуемая норма доходности - i. Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину (Рi). Через n лет размер инвестированного капитала S(n) будет равен:
S(n)= P + Pi +... + Pi = P(1 + ni). (2.6)
Это формула простых процентов, где n - срок инвестиций. Стандартный временной интервал в финансовых операциях - один год.
Если ссуда выдается на t дней, то срок инвестиций определяется по формуле:
n = t / K. (2.7)
где t - число дней ссуды, К - число дней в году или временная база.
Если К = 360 (30 дн. x 12 мес.), то полученные проценты называют обыкновенными или коммерческими. Если К = 365 дн., К = 366 дн., то получают точные проценты.
Число дней ссуды t также можно измерять приближенно и точно, т.е. либо условно - 30 дней в месяц, либо точно - по календарю.
Простая процентная ставка.
Любые проблемы, связанные с финансами, имеют множество нюансов. И это в полной мере относится к расчетам по формуле. Причем в практических проблемах, связанных с расчетом процентов, эти нюансы в основном касаются определения длительности займа t. Отметим некоторые из них. Для этого еще раз напомним, что мы договорились считать единицей времени год.
В краткосрочном контракте по предоставлению кредита срок его действия естественно измерять днями. Поэтому при выбранной единице времени длительность займа удобно записывать в виде t = n/N (1) где n - длительность контракта в днях, а N - число дней в году. При этом оказывается, что в разных странах мира сложилась своя практика, банковская и коммерческая, в отношении базы времени N. Возможны следующие четыре варианта: N=360, N=3б5, N=365,25, N = 366, из которых первый во многих странах называется коммерческим годом. Но выбор одного из этих вариантов еще не вносит полную ясность в расчет t поскольку не меньше подходов к определению числа n. Так, оно может быть точным числом дней от одной даты до другой, включающим или не включающим в себя границы. Хотя наиболее распространенная практика определения числа дней ссуды по календарю такая: первый день не учитывается, а последний – учитывается. Но это же число может получаться совсем по-другому. Например, когда рассматриваемый период (ссуды) разбивается на три части, две из которых - первая и третья - выражаются в днях, а средняя - точным числом месяцев, которые берутся равными 30 дням, или семестров, равных 90 дням.
Кстати, в Германии, Дании, Швеции год условно считается коммерческим, а месяц - имеющим 30 дней. Также коммерческий год используется во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии, Югославии. Но здесь предпочитают рассчитывать точное число дней контракта по календарю.
Наконец, обычный год в 365 дней (или 366) и календарный расчет срока распространен
в таких странах, как Португалия, США и Великобритания. При этом, скажем, в Англии,
при банковских ссудах полгода приравниваются к 182 дням.
В банковской системе используют три способа расчета процентов:
- Точеные проценты с точным числом дней ссуды или 365/365.
- Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды или 365/360.
- Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды или 360/360.
Вариант 360/365 на практике не применяется.
Формула наращения по простой процентной ставке
Пусть:
I-проценты за весь срок ссуды, Р - первоначальная сумма долга, S-наращенная сумма, или сумма в конце срока, i-ставка наращения (десятичная дробь), n-срок ссуды. Каждый год процента составляют Рi.
Начисленные за весь срок проценты:
I=Pni
S=Р+I=Р(1+ni) (3)
Это - формула простых процентов. Множитель - множитель наращения проема процентов.
Переменные ставки.
Если предусмотрены изменяющиеся во времени процентные ставки, то наращенная сумма будет определяться следующим образом:
S=Р(1+n1i2+n2i2+...+nmim)
Где ik-процентная ставка в период k, nk - продолжительность периода к. В ряде практических приложений финансового анализа встает вопрос об определении первоначальной суммы долга по накопленной сунне, в зависимости от используемой ставки он решается путей использования математического дисконтирования или банковского учета. Математическое дисконтирование является точным формальным решением обратной задачи.
Р=S/(1+ni)
Множитель: 1 /(1+ni) называют дисконтным множителем.
Сложные проценты.
Идея сложных процентов очень проста. В них, в отличие от простых процентов, существует период времени, по истечении которого проценты начисляются не только на имеющуюся в начале этого периода сумму, но и на накопившиеся к его концу проценты. Конечно, интервал этот может быть разным по длине, например, месяц или год. Но если уж он выбран, то является циклическим, т.е. на некотором промежутке ось времени разбивается этими периодами, а равные части, как линейка на сантиметры. В то же время так же, как и простые проценты, сложные не могут не существовать! Но если без простых процентов нельзя обойтись из-за соображений удобства в обращении или, скажем, ощущения справедливости линейной зависимости вознаграждения от суммы кредита и времени, то в случае сложных процентов основную роль играет наличие свободной конкуренции. Формула наращения сложных процентов
S=P(1+i)n
Р - первоначальная сумма долга, S - наращенная сумма, или сумма в конце срока,
i-ставка наращения(десятичная дробь), n-срок ссуды.