формулы с двумя параметрами

Если задана какая-то таблица с экспериментальными данными xj и yj и нет никакой дополнительной информации, то определение вида эмпирической формулы представляет собой трудную задачу. Рассмотрим сначала случай, когда эмпирическая зависимость определяется формулой с двумя параметрами a и b, то есть

y = f (x; a,b) (4.13)

Если окажется, что

(4.14)

то искомая зависимость линейная, т.е.

y = ax + b1 (4.15)

и задача легко решается.

Другим простым случаем является определение квадратичной зависимости

y = ax2 + b (4.16)

путём построения графика на полуквадратической системе координат, на которой парабола (4.16) представляется прямой линией, а коэффициенты a и b легко находятся рассмотренными выше способами.

Рассмотрим общий случай, когда соотношение (4.13) не сводиться к формулам (4.15) и (4.16). Получим необходимое условие существования эмпирической зависимости вида (4.13) для заданной системы точек (xi, yi). Пусть Mi(xi, yi), Mj(xj, yj), Mk(xk, yk) три точки значений из нашей совокупности. Предполагая, что кривая (4.13) проходит через точки Mi, Mj и Mk, будем иметь

yi = f(xi; a, b), yj = f(xj; a, b), yk = f(xk; a, b) (4.17)

Исключая из системы (4.17) параметры a и b, получим соотношение вида

Ф(xi, xj, xk, yi, yj, yk) = 0. (4.18)

Выполнение равенства (4.18) для любых значений i, j, k ( ) необходимо для существования зависимости (4/13). Проверка соотношения (4.18) связана с трудоёмкими вычислениями, поэтому на практике ограничиваются одной тройкой точек: начальной (x1, y1), промежуточной (xS, yS) и конечной (xn, yn). Точку MS выбирают так, чтобы соотношение (4.18) было по возможности простым. Иногда точку MS выгодно брать не принадлежащую нашему ряду точек, тогда координаты xS, yS определяются интерполированием.

Пример. Получить необходимое условие для существования степенной зависимости

y = axk, (4.19)

предполагая, что xi > 0, yi > 0 (i=1,2,…, n).

Решение. Выберем

xS = .

Из формулы (4.19) имеем

y1 = axb; yS = a = a , yn = a (4.20)

Исключая из соотношения (4.20) параметры a и b получим

y1yn = a = a2

а от сюда следует, что y1yn = , т.е. .

Таким образом, для существования степенной зависимости (4.19) необходимо, чтобы среднему геометрическому xS значений х1 и хn соответствовало среднее геометрическое yS значение y1 и yn. Если xS не является табличным, то соответствующее значение yS определяется с помощью интерполирования.

Далее мы рассмотрим наиболее часто встречающиеся зависимости.

1. y = ax + b;

2. y = axb;

3. y = abx;

4. y = a + ;

5. y = ;

6. y =

7. y = a ln x + b.

Аналогично тому как это было сделано выше в примере для существования зависимостей 1–7 можно вывести простые необходимые условия: и , где и . При этом предполагается, что хi > 0 и уi > 0. Эти выражения для и приведены в таблице 9.

Таблица 9

Вид эмпирической формулы Способ выравнивания
  1. (среднее арифметическое) (среднее арифметическое)   y = ax + b  
  2. (среднее геометрическое) (среднее геометрическое)   y = ax2 Y = α + bX, где X = lgx, Y=lgy, α = lga.
  3.     y = abx или y = ae Y = α + x, где β = lgb, Y=lgy, α = lga.
  4.   y = a + Y = ax + b, где Y = xy
  5. y = Y= ax + b, где Y =
  6. y = Y= ax + b, где Y =
7. y = a ln x + b Y = ax + b, где y = lgx

Приведённая таблица 9 облегчает выбор эмпирической формулы среди указанных. Для проверки пригодности определённой эмпирической формулы, пользуясь исходными данными, находим значение и табличное значение и сравниваем его со значением ψ( ) = . Предпочтительнее та формула, для которой расхождение наименьшее.

Если значение ψ( ) = не находятся среди исходных данных xi, то отвечающее ему значение можно определить посредством линейной интерпретации

= + ( - ),

где и – промежуточные значения, между которыми находиться .

Следует иметь ввиду, что описанный подход является грубо ориентированным, так как мы не учитываем поведение всех промежуточных точек ( ). Кроме того, приведённая таблица эмпирических функций охватывает небольшое количество зависимостей и может случиться, что переменные х и у подчинятся некоторой закономерности, не вошедшей в наш список.

Следует так же учесть, что функции 1–7 монотонные, и, следовательно отвечающие им упорядоченные данные ( ) при ∆xi = xi+1 xi > 0 (i = 1,2,…,n-1), должны обладать постоянным знаком приращения . Если это условие не выполняется, то зависимости 1–7 не могут использоваться в качестве эмпирических формул.

Пример. Определить вид эмпирической формулы, отвечающей следующей таблице 10.

Таблица 10:

х
у 29,4 33,3 35,2 37,2 45,8 55,2 65,6 77,3

Решение. Будем искать эмпирическую формулу среди зависимостей 1–7, приведённых в таблице 9. Результаты вычислений приведены в таблице 11, из которой следует, что нужно выбрать степенную зависимость

y = axb.

Таблица 11

( ) Вид формулы
  1.     =53,35   50,5   2,85 y = ax + b мало подходит
  2.     = = 47,7   48,7   1,0 y = axb – подходит лучше других формул
  3.     = 47,7   50,5   2,8 y = axb – мало подходит
  4.       46,9   6,45 y = a + не подходит
  5.     50,5   7,9 не подходит
  6.   46,9   4,3 y = - не подходит
  7.   48,7   4,65 y=a lnx+ b не подходит

 

4.7. Эмпирические формулы, содержащие три параметра.

В этом случае эмпирические формулы в общем виде записываются так

y = f(x; a,b,c),

где a, b и с – некоторые постоянные.

Первой формулой с тремя параметрами является квадратическая зависимость

y= ax2 + bx + c. (4.21)

Критерий проверки экспериментальных данных на зависимость (4.21) существует. Но он строится с таки громоздкими расчётами и составлением сложной таблицы, что легче по экспериментальным данным построить кривую, как мы это уже делали, и убедиться, похожа ли она на зависимость (4.21).

Рассмотрим степенную зависимость вида

y = axb + c (4.22)

Отсюда yc = axb. Логарифмируя это выражение получим

lg (yc) = lg a +b lg x.

Полагая lg (y - c) = Y и lg x = X, получим линейную зависимость

Y = bX + lg a.

Определение параметров формулы (4.22) начнём с нахождения с. Для этого составим среднее геометрическое = , и, пользуясь графиком, построенным по исходным данным, или методом линейной интерполяции для , найдём соответствующее значение . Предполагая, что точки M1(x1, y1), MS(xS, yS), Mn(xn, yn) расположены на кривой (4.22), будем иметь три неравенства.

, , .

Возводя = в степень b и умножая на а, получим

a или ysc = .

Решим последнее уравнение относительно с.

= ; ;

c ( ) = ; c = .

После этого строим точки Ni(Xi, Yi) , где Xi = lg xi, Yi = lg(yic) (i = 1,2,…, n). Если эти точки располагаются близко к прямой линии, то зависимость (4.22) выбрана правильно. Причём, постоянные а и b находятся обычным способом.

Пример. Для переменных х и у дана таблица 12

 

Таблица 12

х
у 0,10 0,28 0,80 1,38 2,56 4,10

 

Найти эмпирическую формулу, связывающую эти переменные коэффициентами a,b и с.

Решение. Построим эмпирическую формулу вида:

y = axb + c.

Находим

.

На графике, если его построить, этому значению соответствует = 0,507. Отсюда

c = .

Остальные параметры а и b найдём методом средних.

Составляем начальное уравнение с учетом, найденного значения с.

lg (yi – 0,048) = lg a + b lg xi, (i = 1,2,…,6)

Тогда будем иметь систему уравнений

-1,2840 = lg a+ 2,3979b; 0,1245 = lg a + 3,0792b;

-0,6345 = lg a + 2,6990b; 0,4000 = lg a + 3,2041b;

-0,1238 = lg a + 2,9542b; 0,6077 = lg a + 3,3010b;

Группируя эти уравнения по три, получим

.

Вычитаем из первого уравнения второе: -3,1745 = 1,5332b; b = 2,071.

.

Таким образом, искомая эмпирическая формула будет иметь вид.

y = 5,75 · 10-7x2,071 + 0,048.

Рассмотрим показательную зависимость

y = aebx + c (4.23)

Перенося слагаемое с влево и логарифмируя, получим

lg (y - c) = lg a + bxM,

где M = lg e = 0,434.

Таким образом,

Y = lg a + bMx, (4.24)

где y = lg(y – c).

Определим параметр с. Для этого, как и в предыдущем случае, выберем крайние точки M1(x1, y1) и Mn(xn, yn) и составим среднее арифметическое

Для найдём соответствующее (или из чертежа, или линейной интерполяцией). Представляя эти значения в эмпирическую формулу (4.23), будем иметь

; ; .

 

Отсюда ; ; . Следовательно

( )( ) = ; ( = ;

( )( ) =( .

Получим точно такое же уравнение, как и в предыдущем случае.

Поэтому с запишем в таком же виде

с = .

Если обнаружена линейная зависимость (4.24), то остальные параметры а и b находятся обычными приёмами.

Пример. Дана таблица 13

Таблица 13

х 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
у 1,30 1,44 1,59 1,78 1,97 2,19 2,46 2,74 3,06 3,42 3,84

Найти эмпирическую формулу. Будем её искать в виде

y = aebx + c.

 

сначала найдём = = 0,5. Этому значению в данной таблице соответствует значение = 2,19. Отсюда

с = = 0,258.

Параметры а и b определяем по методу средних. Для этого запишем

lg (yi – 0.258) = lg a + bMxi, (i = 1,2,…,10).

Составим две системы уравнений

Подставив значения xi и yi и приведя подобные члены, получим систему двух уравнений

Решая эту систему найдём: а = 1,044; b = 1,234. Следовательно, эмпирическая формула имеет вид

у = 1,044е1,234х+0,258.

 


Библиографический список

1. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы. -М.: - СПб. Физматлит 2001. – 632с.

2. Кунцман Ж.Численные методы. -М.: Изд-во Наука, 1979.

3. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы в задачах и примерах. – М.: Высшая школа, 2000.

4. Волков Е.А.Численные методы, – М.: Изд-во Наука, 1987.

5. Калиткин Н.Н. Численные методы.–М.: Изд-во Наука, 1978. –512с.

6. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Изд-во Наука, 1970. -664с.

7. Гуттер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта.–М.: Изд-во Наука, 1970. –432с.

 

 





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.


ТОП 5 активных страниц!