Задача4. Доказать что, если радиус вневписанной окружности равен полупериметру треугольника, то треугольник будет прямоугольным. (Рис.12).
Дано: . Доказать: треугольник прямоугольный
L |
A |
K |
B |
M |
C |
O |
Рис.12 |
Доказательство:
Пусть вневписанная окружность (с центром О) треугольника АВС касается стороны АВ в точке К, а продолжений сторон СА и СВ – в точках L и M соответственно. Обозначим через р полупериметр треугольника.
Тогда P=АВ+ВС+АС=(АК+КВ)+ВС+АС=(АL+ВM)+ВС+АС=(АL+АС)+(ВM+ВС)=
= СL+СM.
Итак, СL+СМ=Р и ОL+ОМ= Р четырёхугольник ОLСМ – ромб, а т.к. ОL СL, то это квадрат. Следовательно,<АСВ=900. Что и требовалось доказать.
Задача5. Обратная. Доказать, что полупериметр прямоугольного треугольника равен радиусу вневписанной окружности.(Рис.13).
Дано: треугольник прямоугольный. Доказать:
Доказательство: пусть вневписанная окружность (с центром О) треугольника АВС касается стороны АВ в
точке К, а продолжений сторон СА и СВ – в точках L и M соответственно. Обозначим через р полупериметр треугольника. СМОL- квадрат, так как <C=900 по условию (∆АВС – прямоугольный), <L=<M=900 (OL┴CL).
L |
A |
K |
B |
M |
C |
O |
Рис.13 |
Тогда по свойству вневписанной окружности: CL+CM=Р
и OM ┴CM), ОL=ОM-радиус вневписанной окружности.
ОL +CM=Р, СМ=ОL=r= Что и требовалось доказать.
Задача6. Высота равностороннего треугольника равна радиусу вневписанной окружности.(Рис.14).
Дано: ▲АВС равносторонний, сторона которого равна а, высота треугольника h. Радиус вневписанной окружности обозначим r. Докажем, что h=r.
Решение: 1.Т.к. ▲ АВС равносторонний, то высота АН является и медианой. СН=НВ= . Из треугольника АНВ по теореме Пифагора получим: h=АН= (1).
2. SABC= - площадь равностороннего треугольника со стороной а.
Рис. 14 |
A |
B |
C |
H |
O |
Mttp://www.problems.ru/view_by_subject_new.php?parent=600&start= |
Tttp://www.problems.ru/view_by_subject_new.php?parent=600&start= |
3. По свойствам вневписанной окружности: r = , здесь р- полупериметр треугольника АВС. Получим ra= = :( -а)= : = (2).
4. Из равенств (1) и (2) h=r.
Ответ: h=r.
Задача 7.
Дано: Точка О – центр вписанной окружности треугольника АВС, а точка О1 – центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.
C |
L |
O |
А |
B |
Рис15 |
Найдите расстояние между точками О и О1, если радиус описанной окружности треугольника АВС=6, а sin< ВОС = . (Рис. 15)
Решение:
1) Так как О – центр вписанной окружности ∆АВС, то АО, ВО, СО –биссектрисы углов этого треугольника. Прежде чем приступить к решению задачи, докажем следующее вспомогательное утверждение <ВОС=900+ <А.
В самом деле, <ВОС= <ВОL+<СОL, см. рис.7
<ВОL=<ВАО+<АВО= <А+ <В (как внешний угол ∆АВО при вершине О), <СОL=<САО+<АСО= <А+ <В (как внешний угол ∆АСО при вершине О)
Отсюда получаем: <ВОС=( <А+ <В)+( <А+ <В)= (<А+<В+<С)+ <А=900+ <А, что и требовалось доказать.
По условию, sin<BOC= , следовательно sin(900+ <А)=cos( <А)= sin( <А)= .
2) (Рис.16)Так как точка О1 равноудалена от лучей АВ и АС, то она лежит на биссектрисе угла ВАС, а поскольку О1 равноудалена от стороны ВС и продолжения стороны АВ за точку В, то О1 лежит на биссектрисе внешнего угла ∆АВС при вершине В. Опишем вокруг треугольника АВС окружность, и пусть К – точка пересечения биссектрисы угла ВАС с этой окружностью, см. рис. 16
М |
О1 |
К |
C |
L |
O |
А |
B |
Рис.16 |
Покажем, что <ОВО1=900: <СВО1= <СВМ, <ОВО1=<СВО+<СВО1= <АВС+ <СВМ= ∙1800=900.
Следовательно, ОО1 является гипотенузой прямоугольного треугольника ОВО1. Заметим, что поскольку <СВК=<KАС (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), то <ОВК=<СВК+<СВО= <А+ <В. А поскольку <ВОК= <А+ <В (см. пункт 1 решения), то <ОВК=<ВОК, и, значит, ∆ВОК равнобедренный, ВК=ОК. Из равенства <ОВК=<ВОК следует, что <О1ВК=<ВО1К (<О1ВК=900-<ОВК, <ВО1К=900-<ВО1К). Поэтому ∆ВО1К также равнобедренный, ВК=О1К.
3)Из равенств ВК=ОК и ВК=О1К получаем, что ОО1= 2ВК. Длину отрезка ВК найдём из треугольника АВК по теореме синусов: ВК=2R∙sin<ВAК. Так как sin<ВAК=sin( <А)= (см. пункт 1 решения), а R=6 (по условию), то ВК= 2∙6∙ =8, ОО1=2ВК=16.
Ответ:16
Задача 8.
Точка О – центр вписанной окружности треугольника АВС, а точка О1 – центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Найдите длину ВС, если ОО1=12, а sin< ВО1С = .
Решение:
C |
L |
O |
А |
B |
Рис.17 |
1.Так как О – центр вписанной окружности ∆АВС, то АО,
ВО, СО биссектрисы углов этого треугольника. Прежде чем приступить к решению задачи, докажем следующее вспомогательное утверждение <ВОС=900+ <А.
В самом деле, <ВОС= <ВОL+<СОL (рис17).
<ВОL=<ВАО+<АВО= <А+ <В (как внешний угол ∆АВО при вершине О), <СОL=<САО+<АСО= <А+ <В (как внешний угол ∆АСО при вершине О)
Отсюда получаем: <ВОС=( <А+ <В)+( <А+ <В)= (<А+<В+<С)+ <А=900+ <А, что и требовалось доказать.
2). (Рис 18).Так как точка О1 равноудалена от лучей АВ и АС, то она лежит на биссектрисе угла ВАС, а поскольку О1 равноудалена от стороны ВС и продолжения стороны АВ за точку В, то О1 лежит на биссектрисе внешнего угла ∆АВС при вершине В. Опишем вокруг треугольника АВС окружность, и пусть К – точка пересечения биссектрисы угла ВАС с этой окружностью, см. рис.9
Покажем, что <ОВО1=900: <СВО1= <СВМ, <ОВО1=<СВО+<СВО1= <АВС+ <СВМ= ∙1800=900.
Следовательно, ОО1 является гипотенузой прямоугольного треугольника ОВО1 . Заметим, что поскольку <СВК=<KАС (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), то <ОВК=<СВК+<СВО= <А+ <В. А поскольку <ВОК= <А+ <В (см. пункт 1 решения), то <ОВК=<ВОК, и, значит, ∆ВОК равнобедренный, ВК=ОК. Из равенства <ОВК=<ВОК следует, что < О1ВК=<ВО1К (<О1ВК=900-<ОВК, <ВО1К=900-<ВО1К). Поэтому ∆ВО1К также равнобедренный, ВК=О1К и <ВО1К=<КВО1.
2)Из равенств ВК=ОК и ВК=О1К и ОО1=12 получаем, что ВК=6, а также т.к. <ВО1К= <КО1С и <ВО1К=<КВО1, а <ВКL=<ВО1К+<КВО1 (как внешний угол ∆ КВО1 при вершине К).
М |
О1 |
К |
C |
L |
O |
А |
B |
Рис.18 |
Следовательно sin<ВКL= . Рассмотрим ∆ВКL – прямоугольный. , , 3∙ВL=6, ВL=2. ВК=2R∙sin<ВAК. Так как sin<ВAК= , sin<ВAК= , <ВAК=300, <ВAС=600, ∆АВС - равносторонний, АL- биссектриса, медиана. ВС=2∙ВL=2∙2=4.
Ответ: 4.
Литература
1.Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. – М.: Наука, 1996. – 648 с
2.Научно-практический журнал Математика для школьников №1 2011г.
3.https://www.problems.ru/view_by_subject_new.
4.Энциклопедия.Математика.-М:Мир энциклопедий Аванта+,2007,с.281.
5.Гнеденко Б.В. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: «Педагогика», 1989.
6.Гохидзе М. Г. Вневписанная окружность. Математика в школе №3, 1989.
7. Д.А. Мальцев, А.А. Мальцев, Л.И. Мальцева. Математика. Всё для ЕГЭ 2011.─М.НИИшкольных технологий,2011.
8. Демонстрационный вариант ГИА,2013г.
9. Пробный экзамен ЕГЭ от 18.12.2012г.