1. Из опыта известно, что, если замкнутую систему тел перенести из одного положения в пространстве в другое или повернуть ее в пространстве на любой угол, то такие операции не изменяют ход физических процессов в системе. Эти свойства называют однородностью и изотропностью пространства, соответственно.
Пусть 
– потенциальная энергия взаимодействия n – материальных точек. Доказать, что свойства однородности и изотропности пространства приводят к тому, что функция u должна зависеть от расстояний каких-либо (n – 1) точек и остальной точки, т. е.
.
Пусть 
– произвольный вектор смещения начала координат. Тогда однородность пространства требует выполнения равенства: 
. В частности, полагая 
, имеем 
. Очевидно, изотропность пространства требует равенства 
2. Светящаяся оболочка взорвавшейся звезды начала расширятся в точке O со скоростью 
. Найти:
1) Место точек («видимую» оболочку), излучение от которой достигает наблюдателя, находящегося на достаточно большом удалении R от точки O в момент времени 
.
2) Скорость 
расширения «видимой» оболочки. 3) Максимальное значение скорости 
.
4) Максимальное значение составляющей скорости 
перпендикулярной к лучу зрения.
Скорость света c.
1) Пусть момент времени испускания света от точки A равно 
, тогда
.
2) 
, 
, при 
.
3) 
.
4) Условие максимума 
, 
.
3. Расчеты показывают, что напряженность электрического поля 
внутри равномерно заряженного шара радиуса R равно 
, где r – объемная плотность заряда, 
– радиус вектор точки наблюдения (
), eо – электрическая постоянная. Используя эти результаты найти:
3.1. Напряженность электрического поля в полости, образованной пересечением двух шаров. Шары несут равномерно распределенные по объему заряды с плотностями r и –r. Расстояние между центрами шаров a.
3.2. Распределение зарядов 
по поверхности сферы радиуса R, чтобы поле внутри нее было однородным и равным .
1) По принципу суперпозиции: 
.
Таким образом, поле внутри полости – однородно-независимо от соотношения радиусов шаров и расстояния между центрами. В частности, поле – однородно внутри сферической полости, вырезанной внутри однородно заряженного шара.
2) Рассмотрим пересечение двух шаров радиуса R, равномерно заряженных по объему с плотностями r и –r. Расстояние между центрами 
. Как показано в 1) поле внутри полости однородно и равно 
.
При этом объемный заряд отличен от нуля только в тонком поверхностном слое. Переходя к пределу при 
(считая, что 
), мы приходим к представлению о поверхностном заряде на сфере. Очевидно, толщина заряженного слоя в точке, определяемой углом Q, равна 
. Тогда на единицу площади приходится заряд: 
.
4. Если электрон движется внутри сферы радиуса r с импульсом p, то имеет место соотношение неопределенностей Гейзенберга 
. Опираясь на соотношения неопределенностей Гейзенберга оценить «размеры» и энергию основного состояния атома водорода и гелия. Сравнить полученные оценки для энергий с экспериментом 
эВ, 
эВ.
Полная энергия атома водорода:
(1).
Минимизируя (1) по r, находим
м; 
эВ.
Полная энергия атома гелия
(2).
Минимизируя (2) по r, находим
м; 
эВ.
5. Два спутника A и B следуют друг за другом на расстоянии 45 км по общей круговой орбите вблизи Земли. Чтобы стыковаться, они должны сблизиться и продолжать движение по общей орбите. Какой простейшей последовательностью коротких включений двигателя отстающего спутника B можно осуществить этот маневр, если его двигатель может изменить его скорость на величину D v, не превышающую 8 км/ч? Радиус Земли R = 6,37×106 м, ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2.
Движение приземного спутника описывается уравнением:
или 
(1).
Из уравнения (1) можно получить ряд полезных соотношений:
Период обращения спутника 
ч (2).
Полная энергия спутника 
(3) 
(4).
(3-й закон Кеплера) (5).
Из уравнений (4) и (5) получаем: 
(6).
Для уменьшения периода T, необходимо увеличить | E | или уменьшить скорость на D v < 0 (т. к. E < 0). Для малых изменений периода и скорости из (6) получаем:
(7).
При этом спутник перейдет на орбиту меньшего радиуса и через n оборотов опередит свое первоначальное положение на круговой орбите на расстояние
.
Увеличив затем его скорость D v можно снова перевести его на исходную орбиту с относительной скоростью спутников равной нулю. Определим n и D v при L = 45 км и T = 1,41 ч:
км/ч; при n = 1 
км/ч, при n = 2 
км/ч, таким образом 
.
Для стыковки необходимо уменьшить скорость отстающего спутника на 5,3 км/ч, а затем через два оборота вновь увеличить ее до прежнего уровня.
II тур. 9 класс.
1. Имеется школьный лабораторный вольтметр с пределом измерения 6 B, источник стабилизированного напряжения не более 6 B, моток тонкой медной проволоки и линейка. Как, используя перечисленные материалы, изготовить амперметр измерения 1 A?
Чтобы изготовить амперметр, нужно знать сопротивление прибора. Для этого вольтметром необходимо измерить напряжение источника U 1. Затем, подключить вольтметр к источнику тока по схеме, изображенной на рисунке и измерить напряжение U2. 
, где l – длина проволоки, S – площадь поперечного сечения, r – удельное сопротивление меди. Полученные данные позволяют определить сопротивление шунта.
, 
, 
.
2. На призму из стекла, изображенную на рисунке, от щели падает параллельный пучок света. При вращении щели и призмы относительно оси пучка лучей происходит вращение изображения щели, отличающееся по направлению и частоте. Объясните наблюдаемые явления.
Задача решается путем последовательного построения изображения при различных положениях призмы:
1) Призма горизонтальна – изображение стрелки перевернутое (смотри рисунок).
2) Призма перевернута на 90о. Изображение прямое, т. е. повернулось на 180о.
3) Призма повернута еще на 90о. Изображение разворачивается снова на 180о.
Таким образом, изображение стрелки вращается с угловой скоростью в два раза большей, чем призма.
Направление вращения:
Пусть стрелка поворачивается относительно оси по часовой стрелке, тогда ее изображение вращается в противоположную сторону, против часовой стрелки.
При вращении призмы относительно предмета, его изображение вращается в туже сторону, что и призма.
II тур. 10 класс.
1. В стакан с водой опустили кипятильник, и вода начала понемногу нагреваться. График зависимости температуры воды от времени приведен на рисунке. По истечении трех минут кипятильник отключают от сети. Через какое время вода остынет до 50 градусов? До 30?
Начальный участок графика – почти прямолинейный; значит, потери тепла тут малы. Будем считать, что их вовсе нет. Это даст нам возможность оценить теряемую тепловую мощность при разных температурах воды в долях по отношению к мощности нагревателя. Для этого нам нужно сравнить наклоны касательных в разных точках графика.
В области температуры 60 оС тангенс угла наклона касательной в 8 раз меньше тангенса угла наклона начального прямолинейного участка. Это означает, что здесь 7/8 потребляемой энергии уходит наружу. Аналогично получаем, что при температурах, близких к 50 оС, теряется 3/4 энергии. При меньших температурах точность получается совсем плохой, поэтому на второй вопрос 
(остывание до 30 оС) ответ можно дать лишь приблизительный.
Примерный «график остывания», т. е. график зависимости температуры воды при остывании, от времени, приведен на рисунке. Из этого графика видно, что время остывания от 60 до 50 оС составляет примерно 0,3 мин, а до 30 оС – 2,5 – 3 мин.
Примечание. Полученные ответы, конечно же, очень сильно зависят от вида исходного графика. Поэтому не стоит серьезно полагаться на приведенные цифры, лучше постарайтесь аккуратно получить их из своих данных.
2. На призму из стекла, изображенную на рисунке, от щели падает параллельный пучок света. При вращении щели и призмы относительно оси пучка лучей происходит вращение изображения щели, отличающееся по направлению и частоте. Объясните наблюдаемые явления.
Задача решается путем последовательного построения изображения при различных положениях призмы:
1) Призма горизонтальна – изображение стрелки перевернутое (смотри рисунок).
2) Призма перевернута на 90о. Изображение прямое, т. е. повернулось на 180о.
3) Призма повернута еще на 90о. Изображение разворачивается снова на 180о.
Таким образом, изображение стрелки вращается с угловой скоростью в два раза большей, чем призма.
Направление вращения:
Пусть стрелка поворачивается относительно оси по часовой стрелке, тогда ее изображение вращается в противоположную сторону, против часовой стрелки.
При вращении призмы относительно предмета, его изображение вращается в туже сторону, что и призма.
II тур. 11 класс.
1. Бесконечная цепочка состоит из одинаковых шариков массы m, соединенных одинаковыми легкими пружинами жесткостью k. Каждый шарик может двигаться только в направлении вдоль цепочки.
1.1. Найти собственную частоту колебаний одного из шариков wо, если два соседних шарика закреплены.
1.2. По цепочке распространяется продольная бегущая волна, для которой смещение k -го шарика xk изменяется по гармоническому закону 
. Найти сдвиг фаз Dj между колебаниями двух соседних шариков при частоте волн w.
1.3. При каких частотах колебаний w по цепочке могут распространяться бегущие волны?
1) Обозначим смещение шарика от конечного положения равновесия через x. Уравнение движения шарика имеет вид: 
(1). Учитывая, что 
, 
из (1) получаем уравнение гармонических колебаний с круговой частотой 
(2) вида: 
2) Обозначим смещение k -го шарика от положения равновесия через 
. Тогда по закону Гука имеем: 
, 
.
Уравнение движения (1) примет вид:
,
или с учетом обозначения (2): 
(3).
Для бегущей волны 
. Сдвиги фаз колебаний между соседними шариками Dj – одинаковы, а выбор начальной фазы колебаний одного из шариков произволен. Поэтому подставляя в (3) следующие выражения для смещения:
, 
, 
.
Получим:
.
Учитывая соотношение 
, и сокращая на 
, находим 
(4) или 
.
Два знака соответствуют бегущим волнам, распространяющимся в разных направлениях.
3) Так как 
, находим 
(5).
2. В кабине космического корабля имеется высокочастотная печь для исследования плавления в условиях невесомости. Нужно расплавить металлический шар, который хорошо проводит тепло. Разработайте методику экспериментального определения времени полного расплавления шара.
Примечание:
1) Теплообмен шара с окружающей средой пропорционален разности температур;
2) Исследователь имеет возможность визуально наблюдать процесс плавки, а также изменять мощность печи и пользоваться справочными данными.
t o = 0 – начало плавки, так как шар обладает высокой теплопроводностью, то он быстро прогреется и, следовательно, температуру внутри шара можно считать не зависящей от радиальной координаты. Очевидно, что из-за разности температур внутри шара и вне он будет излучать. Шар начнет плавиться с поверхности. Из-за того, что опыт проводится в условиях невесомости, образующаяся жидкая пленка будет покрывать шар и никуда не будет стекать. В итоге получится жидкая капля радиусом, равным радиусу шара.
Визуально можно заметить начало плавления, но нельзя судить расплавился весь шар или нет. Запишем уравнение теплового баланса.
(1),
где t – время (в секундах); 
, 
, 
, 
– теплоемкость, плотность, объем шара и температура плавления шара соответственно; l – удельная теплота плавления; T o – температура окружающей среды; a – доля расплавившегося к моменту времени t объема; 
– излученная с поверхности энергия. 
(2), где R – радиус шара; 
– некоторый коэффициент; 
– тепло, излученное за время t 1, равное нагреву шара от T o до Tпл: при t < t 1 плавления еще нет, а при t > t 1 плавление уже есть.
Из (1), (2), (3) можно получить: 
(4), при полном расплаве шара a = 1, P, R, T o, t 1 – можно измерить, l и можно взять из справочника.
Для опытного определения коэффициента можно использовать следующее. Изменяя мощность печи добиваются такого ее значения, при котором подводимая мощность будет равна теряемой шаром на излучение. В этом случае 
, но он еще не плавится. Тогда из уравнения
, по измеряемым величинам R, , T o, P 1 найдем коэффициент .