Разложение элементарных функций в ряд Маклорена




Критерий разложимости функции в ряд Тейлора

Вернемся к рядам. В §2.7 мы установили, что если функцию можно разложить в сходящийся к ней степенной ряд, то он является для этой функции рядом Тейлора.

Возникает вопрос, справедливо ли обратное утверждение? Пусть функция бесконечно дифференцируема на интервале . Мы можем формально построить для нее ряд Тейлора. Но пока мы не знаем, будет ли наша функция суммой этого ряда, т.е. будет ли построенный ряд Тейлора сходиться к нашей функции на интервале , вместо знака равенства поставим знак соответствия:

Выясним, при каких условиях этот знак можно заменить на знак равенства. Напишем формулу Тейлора для функции :

, (2.9.1)

где - остаточный член, а

. (2.9.2)

– многочлен Тейлора n -ой степени, который можно рассматривать как частичную сумму ряда Тейлора. Таким образом,

. (2.9.3)

Остаточный член формулы Тейлора для функции можно определить как разность между функцией и частичной суммой ряда Тейлора:

. (2.9.4)

При увеличении номера п число слагаемых в частичной сумме, т.е. в многочлене Тейлора, увеличивается, а остаточный член изменяется. Можно рассмотреть последовательность остаточных членов . Это последовательность функций, определенных в той же окрестности точки а, в которой имеет место бесконечная дифференцируемость функции . Остаточный член показывает погрешность, получающуюся при замене функции частичной суммой ряда Тейлора. Ясно, что для получения хорошего приближения последовательность остаточных членов должна стремиться к нулю. Вместо сочетания «последовательность остаточных членов» часто говорят просто «остаточный член».

 

Теорема 1 О необходимом и достаточном условии сходимости ряда Тейлора к функции .

Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора

(2.9.5)

на интервале , необходимо и достаточно, чтобы имела на этом интервале производные любого порядка и чтобы остаточный член в данной формуле Тейлора (2.9.1) стремился к нулю при всех , когда n ®¥.

 

Теорема 2 О достаточном условии сходимости остаточного члена формулы Тейлора к нулю.

Если функция в e-окрестности точки а имеет производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом то остаточный член ее формулы Тейлора в этой окрестности стремится к нулю при :

. (2.9.8)

 

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

1. .

 
 

В примере 2 была выведена формула Маклорена для этой функции. Можно показать, что остаточный член стремится к нулю при .

 

Согласно теореме о необходимом и достаточном условии сходимости ряда Тейлора к функции полученный ряд сходится к функции и можно написать равенство:

. (1*)

Найдем интервал сходимости этого ряда. По общему признаку Д’Аламбера

Þ

ряд Маклорена сходится на всей числовой оси, т.е. для всех .

Заменим х на (- х):

2.

(2*)

(нечетные степени с факториалами, все с плюсами)

3. (3*)

(четные степени с факториалами, все с плюсами). Разложение (3*) можно также получить с помощью почленного дифференцирования ряда (2*).

 

4. Найдём сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , :

.

Переписав это равенство справа налево, получим разложение в ряд функции :

(4*)

 

5. В разложении (4*) выполним замену х на (- х). Тогда :

(5*)

 

6. Проинтегрируем ряд (5*) почленно от 0 до переменного предела х:

.

Получили разложение натурального логарифма:

(6*)

(без факториалов). Интервал сходимости по теореме об интегрировании степенных рядов остался прежним. Исследуем сходимость ряда на концах интервала. При получим знакопеременный гармонический ряд 7°, сходящийся по теореме Лейбница:

.

При получаем и расходящийся гармонический ряд. Таким образом, интервал сходимости ряда (6*) .

 

7. В разложении (5*) заменим х на (х 2):

Проинтегрируем почленно этот ряд:

. (7*)

(нечетные степени без факториалов). При получим сходящийся по Лейбницу ряд (8°):

.

При - тот же ряд, но с противоположными знаками:

.

Таким образом, интервал сходимости ряда (7*) .

 

8.

 
 

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

……………………………………………………….

, .

Взятие производной – это поворот на 90° (нрис.2.10.3). Производные любого порядка ограничены: на : . Поэтому по теореме 2 , и функция разлагается в сходящийся к ней на ряд Маклорена по степеням x:

(8*)

Покажем, что полученный ряд сходится на всей числовой оси. По общему признаку Д’Аламбера:

сходится при всех х.

Ряд (8*) отличается от разложения гиперболического синуса (2*) знакопеременностью.

 

9. .

Почленным дифференцированием ряда (8*) получаем разложение косинуса в ряд Маклорена:

Таким образом,

(9*)

Т.к. ряд (9*) получен путем дифференцирования ряда (8*), то по теореме о дифференцировании степенных рядов ряд (9*) имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (8*).

Ряд (9*) отличается от разложения гиперболического косинуса (3*) знакопеременностью.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: