Задачи №17
Из опыта работы учителя
Математики и информатики
МКОУ «Бурганкентская СОШ» Табасаранского района
Республики Дагестан
Рамазанова Шихмагомеда Расуловича.
I. Вспомним:
1) 1% - это 0,01
2) Основные соотношения и выражениями, встречающиеся при решении задач на проценты:
· Число a составляет p% от числа в:
a = 
= 0,01bp
· Число а увеличили на p%:
a·(1+0,01p)
· Число а увеличили сначала на p%, а потом еще на q%:
a·(1+0,01p)·(1+0,01q)
· Число а уменьшили на p%:
a·(1 - 0,01p)
3) Задачи, связанные с изменением цены
Пусть So – первоначальная цена, S – новая (окончательная) цена.
· Повышение цены на a%n раз на a%
S= So ·(1+0,01a) S= So ·(1+0,01a)n
· Понижение цены на a%n раз на a%
S= So ·(1-0,01a) S= So ·(1-0,01a)n
· Удобно пользоваться схематичной записью:
So ·(1+0,01a)
a%
Sо d%
So ·(1+0,01a)(1-0,01d)
Пример 1.
Цена товара сначала понизилась на 5%, а затем повысилась на 5%.Изменилась ли первоначальная цена и если да, то на сколько процентов?
S= Sо(1-5·0,01) (1+5·0,01)
So
5% 5%
Sо(1-5·0,01)
S= Sо(1-5·0,01) (1+5·0,01)= Sо(1-25·0,0001).
Ответ. Понизилась на 25%.
Пример 2.
После двух последовательных понижений цены товар стал стоить 2400 руб. Какова исходная цена товара, если после первого понижения его цена была 3200 руб., а процент второго пониженения был на 5% больше, чем процент первого?
x руб
У%
X(1 – 0,01y)=3200
(y+5)%
2400 руб.
Получаем систему: 
3200·(1-(y+5)·0,01) = 2400;
(1-(y+5)·0,01) = 
; (y+5)·0,01 = 
; y+5 = 25; y=20%
X(1 – 0,01·20)=3200; X·0,8=3200; X=4000.
Ответ: 4000руб; 20%.
Пример 3.
31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Способ.
| Долг (руб.) | Остаток (руб.) | |
| 31.12.2014 г | 4 290 000 | |
| 31.12.2015 г | 4 290 000·1,145 = 4 912 050 | 4 912 050 - Х |
| 31.12.2016 г | (4 912 050 – Х) ·1,145= 5 624 297,25 – 1,145Х | 5 624 297,25 – 1,145Х – Х=0 |
Имеем уравнение: 5 624 297,25 – 1,145Х – Х=0;
Х=2 622 050.
Таким образом, ежегодная выплата составляет 2 622 050 руб.
Ответ: 2 622 050 руб.
Способ.
Ответ: 2 622 050 руб.
Пример 4.
31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Решение.
Способ.
| Долг | Остаток | |
| 31.12.2014 г | 6 902 000рублей | |
| 31.12.2015 г | 6 902 000·1,125 = 7 764 750 | 7 764 750- Х |
| 31.12.2016 г | (7 764 750– Х) ·1,125= = 8 735 343,75 – 1,125Х | 8 735 343,75– 1,125Х – Х= =8 735 343,75– 2,125Х |
| 31.12.2017 г | (8 735 343,75– 2,125Х) ·1,125 =9 827 261, 71875 – 2,390625Х | 9 827 261, 71875 – 3,390625Х |
| 31.12.2018 г | (9 827 261, 71875 – 3,390625Х)· ·1,125 = 11055669,43359375- -3,814453125Х | 11055669,43359375- -4,814453125Х = 0 |
Имеем уравнение:11055669,43359375- 4,814453125Х = 0;
Х=2 296 350.
Таким образом, ежегодная выплата составляет 2 296 350 руб.
Ответ: 2 296 350 руб.
2 способ.
Пусть S – cумма кредита, годовые а %., в =1+0,01 а.
31.12.2015 г. S1 = Sb-X
31.12.2016 г. S2 = S1b-X = (Sb-X)b-X = Sb2 – (1+b)X
31.12.2017 г. S3 = S2b-X= (Sb2 – (1+b)X)b –X = Sb3 – (1+b+b2)X=
= Sb3 – 
31.12.2018 г. S4 = S3b-X= Sb4 – (1+b+b2)bX-X= Sb4 – (1+b+b2+b3)X=
= Sb4 – 
При S=6 902 000, в = 1,125 находим S из уравнения Sb4 – 
Напомним: (a-1)(a2+a+1)= a3-1 отсюда a2+a+1 = 
(a-1)(а3+a2+a+1)= a4-1 отсюда а3+ a2+a+1 = 
Пример 5.
31 декабря 2014 года Антон взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Антон переводит определенный транш. Антон выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 510 тыс. рублей, во второй – 649 тыс. руб. Под какой процент банк выдал кредит Антону?
Решение. b=1+0,01a
| Долг | Остаток | |
| 31.12.2014 г | 1 000 000 руб. | |
| 31.12.2015 г | 1 000 000 · (1+0,01a) = 1 000 000 + 10 000a | 1 000 000 + 10 000a - 510 000= = 490 000+10 000a |
| 31.12.2016 г | (490 000+10 000a)· (1+0,01a)=100a2+14900a-4900 | 100a2+14900a-490000-64900=0 |
100a2+14900a – 159000 - 64900=0;
a2+149a - 1590=0;
a1=10; a2 = -159.
По смыслу задачи a>0, поэтому кредит выдан под 10%.
Ответ: 10%.
Пример 6.
31 декабря 2014 Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за з равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Способ.
| Долг (руб.) | Остаток (руб.) | |
| 31.12.2014 г | 7 007 000 | |
| 31.12.2015 г | 7 007 000·1,2 = 8 408 400 | 8 408 400- Х |
| 31.12.2016 г | (8 408 400– Х) ·1,2= 10 090 080 – 1,2Х | 10 090 080 – 2,2Х |
| 31.12.2017 г | (10 090 080 – 2,2Х)·1,2=12 108 096-2,64Х | 12 108 096-3,64Х |
12 108 096-3,64Х =0
Х= 3 326 400; 3Х=9 979 200
| Долг (руб.) | Остаток (руб.) | |
| 31.12.2014 г | 7 007 000 | |
| 31.12.2015 г | 7 007 000·1,2 = 8 408 400 | 8 408 400- Y |
| 31.12.2016 г | (8 408 400– Y) ·1,2= 10 090 080 – 1,2Y | 10 090 080 – 2,2Y |
10 090 080 – 2,2Y =0; Y= 4 586 400; 2Y= 9 172 800
Значит, 3Х-2Y= 9 979 200 - 9 172 800 = 806 400.
Ответ: 806 400 руб.
II способ.
1) S3 = S2b-X= (Sb2 – (1+b)X)b –X = Sb3 – (1+b+b2)X= Sb3 –
По условию задачи Sb3 – =0, откуда Х = 
2) S2 = S1b-Y = (Sb-Y)b-Y= Sb2 – (1+b)Y, откуда Sb2 – (1+b)Y=0, Y = 
Пример 7. ( Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2015)
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Решение.
Способ.
Пусть S руб. – cумма кредита, ежегодный платеж равен Х руб., годовые составляют a%, тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b=1+0,001a.
| Долг (руб.) | Остаток (руб.) | |
| 31 декабря 2013 года | S | |
| 31 декабря 2014 года | Sb | S1 = Sb-X |
| 31 декабря 2015 года | S1 b = (Sb - X)b | S2 =(Sb - X)b – X=Sb2 – Xb -X = = Sb2 – (1+b)X |
| 31 декабря 2016 года | S2 b = (Sb2 – (1+b)X)b | S3 =(Sb2 – (1+b)X)b – X=
= Sb3–(1+b+b2)X=
= Sb 3- 
|
По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому имеем уравнение:
Sb3 
=0. Откуда X= 
.
Ответ. 3 993 000 руб.
Пример 8. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же φксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?
Решение.
50% годовых означает, что каждый год сумма на счету вкладчика увеличивается в 1,5 раза.
Будем рассуждать следующим образом:
1) Вкладчик ничего не добавляет к первоначальной сумме:
| Первоначальная сумма | Через один год | Через два года | Через три года | Через четыре года | Через пять лет | ||
| 3 900 | 1,5·3 900 | 1,52·3 900 | 1,53·3 900 | 1,54·3 900 | 1,55·3 900 |
2) Первая добавка х рублей была внесена через год:
| Первоначальная сумма | Через один год | Через два года | Через три года | Через четыре года | Через пять лет |
| 3 900 | 1,5·3 900 | 1,52·3 900 | 1,53·3 900 | 1,54·3 900 | 1,55·3 900 |
| х | 1,5х | 1,52х | 1,53х | 1,54х |
3) Вкладчику это понравилось, и он стал повторять процесс (вносить х руб.) каждый год:
| Первоначальная сумма | Через один год | Через два года | Через три года | Через четыре года | Через пять лет | ||
| 3 900 | 1,5·3 900 | 1,52·3 900 | 1,53·3 900 | 1,54·3 900 | 1,55·3 900 | 3 900  8,25
| |
| х | 1,5х | 1,52х | 1,53х | 1,54х | 
| ||
| х | 1,5х | 1,52х | 1,53х | ||||
| х | 1,5х | 1,52х | |||||
| х | 1,5х |
Через 5 лет вкладчик забрал все деньги из последнего столбика:
а) Добавки принесли доход
1,5х +1,52х +1,53х +1,54х = x(1,5 +1,52 +1,53 +1,54)= 
= 3·х·(1,54-1)= 
.
б) Известно, что размер вклада увеличился на 725%, т.е. увеличился в 8,25 раз
1,55·3 900 + 
= 3 900·8,25; =3 900·8,25 - 1,55·3 900;
Х= 210.
Ответ: 210руб.
Примечание: Применим формулу суммы п-первых членов геометрической прогрессии :Sn= 
Пример 6. ( Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2015)
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Решение.
Способ.
Пусть S руб. – cумма кредита, ежегодный платеж равен Х руб., годовые составляют a%, тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b=1+0,001a.
| Долг (руб.) | Остаток (руб.) | |
| 31 декабря 2013 года | S | |
| 31 декабря 2014 года | Sb | S1 = Sb-X |
| 31 декабря 2015 года | S1 b = (Sb - X)b | S2 =(Sb - X)b – X=Sb2 – Xb -X = = Sb2 – (1+b)X |
| 31 декабря 2016 года | S2 b = (Sb2 – (1+b)X)b | S3 =(Sb2 – (1+b)X)b – X=
= Sb3–(1+b+b2)X=
= Sb 3-
|
По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому имеем уравнение:
Sb3 =0. Откуда X= .
Ответ. 3 993 000 руб.
Задача 3. УМК для экспертов
15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в процентах от кредита) | 100% | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Решение. Представим таблицей реальную ситуацию, описанную в условии задачи:
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 | ||||||
| Долг (в процентах от кредита) на начало месяца | 100% | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% | ||||||
| Долг (в процентах от кредита) к концу месяца | 1,05·90=94,5% | 1,05·80 =84% | 1,05·70 =73.5% | 1,05·60 =63% | 1,05·50 =52,5% | ||||||||
| Процент выплаты кредита | 105-90 =15% | 94,5-80= 14,5% | 84-70= 14% | 73.5-60 =13,5% | 63-50= 13% | 52,5% |
15%+14,5%+14%+13,5%+13%+52,5% =122,5%
122,5% - 100% = 22,5%
Ответ: 22,5.
Ресурсы:
1. https://www.prosv.ru – сайт издательства, Просвещение, рубрика,,математика,,/;
2. https://www.edu.ru-//www.edu.ru -Центральный образовательный портал, содержит нормативные документы Министерства, стандарты;
3. https://www.pedsovet.su/;
4. https://nsportal.ru/shkola/obshchepedagogicheskie-tekhnologii/library/2015/03/04/