Множество – это фундаментальное понятие не только математики, но и всего окружающего мира. Возьмите прямо сейчас в руку любой предмет. Вот вам и множество, состоящее из одного элемента.
В широком смысле, множество – это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое (по тем или иным признакам, критериям или обстоятельствам). Причём, это не только материальные объекты, но и буквы, цифры, теоремы, мысли, эмоции и т.д.
Обычно множества обозначаются большими латинскими буквами 
(как вариант, с подстрочными индексами: 
и т.п.), а его элементы записываются в фигурных скобках, например:
– множество букв русского алфавита;
– множество натуральных чисел;
ну что же, пришла пора немного познакомиться:
– множество студентов в 1-м ряду
… я рад видеть ваши серьёзные и сосредоточенные лица =)
Множества 
и 
являются конечными (состоящими из конечного числа элементов), а множество 
– это пример бесконечного множества. Кроме того, в теории и на практике рассматривается так называемое пустое множество:
– множество, в котором нет ни одного элемента.
Пример вам хорошо известен – множество на экзамене частенько бывает пусто =)
Принадлежность элемента множеству записывается значком 
, например:
– буква «бэ» принадлежит множеству букв русского алфавита;
– буква «бета» не принадлежит множеству букв русского алфавита;
– число 5 принадлежит множеству натуральных чисел;
– а вот число 5,5 – уже нет;
– Вольдемар не сидит в первом ряду (и тем более, не принадлежит множеству или =)).
В абстрактной и не очень алгебре элементы множества обозначают маленькими латинскими буквами 
и, соответственно, факт принадлежности оформляется в следующем стиле:
– элемент 
принадлежит множеству 
.
Вышеприведённые множества записаны прямым перечислением элементов, но это не единственный способ. Многие множества удобно определять с помощью некоторого признака (ов), который присущ всем его элементам. Например:
– множество всех натуральных чисел, меньших ста.
Запомните: длинная вертикальная палка 
выражает словесный оборот «которые», «таких, что». Довольно часто вместо неё используется двоеточие: 
– давайте прочитаем запись более формально: «множество элементов 
, принадлежащих множеству натуральных чисел, таких, что 
». Молодцы!
Данное множество можно записать и прямым перечислением:
Ещё примеры:
– и если и студентов в 1-м ряду достаточно много, то такая запись намного удобнее, нежели их прямое перечисление.
– множество чисел, принадлежащих отрезку 
. Обратите внимание, что здесь подразумевается множество действительных чисел (о них позже), которые перечислить через запятую уже невозможно.
Следует отметить, что элементы множества не обязаны быть «однородными» или логически взаимосвязанными. Возьмите большой пакет и начните наобум складывать в него различные предметы. В этом нет никакой закономерности, но, тем не менее, речь идёт о множестве предметов. Образно говоря, множество – это и есть обособленный «пакет», в котором «волею судьбы» оказалась некоторая совокупность объектов.
Подмножества
Практически всё понятно из самого названия: множество 
является подмножеством множества , если каждый элемент множества принадлежит множеству . Иными словами, множество содержится во множестве :
Значок 
называют значком включения.
Вернёмся к примеру, в котором – это множество букв русского алфавита. Обозначим через – множество его гласных букв. Тогда:
Также можно выделить подмножество согласных букв и вообще – произвольное подмножество, состоящее из любого количества случайно (или неслучайно) взятых кириллических букв. В частности, любая буква кириллицы является подмножеством множества .
Отношения между подмножествами удобно изображать с помощью условной геометрической схемы, которая называется кругами Эйлера.
Пусть – множество студентов в 1-м ряду, 
– множество студентов группы, 
– множество студентов университета. Тогда отношение включений 
можно изобразить следующим образом:
Множество студентов другого ВУЗа следует изобразить кругом, который не пересекает внешний круг; множество студентов страны – кругом, который содержит в себе оба этих круга, и т.д.
Типичный пример включений мы наблюдаем при рассмотрении числовых множеств. Повторим школьный материал, который важно держать на заметке и при изучении высшей математики:
Числовые множества
Как известно, исторически первыми появились натуральные числа, предназначенные для подсчёта материальных объектов (людей, кур, овец, монет и т.д.). Это множество уже встретилось в статье, единственное, мы сейчас чуть-чуть модифицируем его обозначение. Дело в том, что числовые множества принято обозначать жирными, стилизованными или утолщёнными буквами. Мне удобнее использовать жирный шрифт:
Иногда к множеству натуральных чисел относят ноль.
Если к множеству 
присоединить те же числа с противоположным знаком и ноль, то получится множество целых чисел:
, рационализаторы и лентяи записывают его элементы со значками «плюс минус»:))
Совершенно понятно, что множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел:
– поскольку каждый элемент множества принадлежит множеству 
. Таким образом, любое натуральное число можно смело назвать и целым числом.
Название множества тоже «говорящее»: целые числа – это значит, никаких дробей.
И, коль скоро, целые, то сразу же вспомним важные признаки их делимости на 2, 3, 4, 5 и 10, которые будут требоваться в практических вычислениях чуть ли не каждый день:
Целое число делится на 2 без остатка, если оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8 (т.е. любой чётной цифрой). Например, числа:
400, -1502, -24, 66996, 818 – делятся на 2 без остатка.
И давайте тут же разберём «родственный» признак: целое число делится на 4, если число, составленное из двух его последних цифр (в порядке их следования) делится на 4.
400 – делится на 4 (т.к. 00 (ноль) делится на 4);
-1502 – не делится на 4 (т.к. 02 (двойка) не делится на 4);
-24, понятно, делится на 4;
66996 – делится на 4 (т.к. 96 делится на 4);
818 – не делится на 4 (т.к. 18 не делится на 4).
Самостоятельно проведите несложное обоснование данного факта.
С делимость на 3 чуть сложнее: целое число делится на 3 без остатка, если сумма входящих в него цифр делится на 3.
Проверим, делится ли на 3 число 27901. Для этого просуммируем его цифры:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – не делится на 3
Вывод: 27901 не делится на 3.
Просуммируем цифры числа -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 – делится на 3
Вывод: число -825432 делится на 3
Целое число делится на 5, если оно заканчивается пятёркой либо нулём:
775, -2390 – делятся на 5
Целое число делится на 10, если оно заканчивается на ноль:
798400 – делится на 10 (и, очевидно, на 100). Ну и, наверное, все помнят – для того, чтобы разделить на 10, нужно просто убрать один ноль: 79840
Также существуют признаки делимости на 6, 8, 9, 11 и т.д., но практического толку от них практически никакого =)
Следует отметить, что перечисленные признаки (казалось бы, такие простые) строго доказываются в теории чисел. Этот раздел алгебры вообще достаточно интересен, однако его теоремы… прямо современная китайская казнь =) А Вольдемару за последней партой и того хватило…, но ничего страшного, скоро мы займёмся живительными физическими упражнениями =)
Следующим числовым множеством идёт множество рациональных чисел:
– то есть, любое рациональное число представимо в виде дроби 
с целым числителем и натуральным знаменателем.
Очевидно, что множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел:
И в самом деле – ведь любое целое число можно представить в виде рациональной дроби 
, например: 
и т.д. Таким образом, целое число можно совершенно законно назвать и рациональным числом.
Характерным «опознавательным» признаком рационального числа является то обстоятельство, что при делении числителя на знаменатель получается либо
– целое число,
либо
– конечная десятичная дробь,
либо
– бесконечная периодическая десятичная дробь (повтор может начаться не сразу).
Полюбуйтесь делением и постарайтесь выполнять это действие как можно реже! В организационной статье Высшая математика для чайников и на других уроках я неоднократно повторял, повторяю, и буду повторять эту мантру: