Оценка точности прямых равноточных измерений




МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

ИЗМЕРЕНИЙ

Все измерения подвергаются математической обработке с целью определения точности и наиболее вероятного значения измеренных величин.

Погрешности измерений, их виды

Погрешность измерения D это отклонение результата измерений l от истинного (действительного) значения измеряемой величины X:

D i = li - X. (3.1)

Такая погрешность называется абсолютной, она выражается в тех же единицах, что и измеряемая величина. Часто в геодезических работах пользуются относительными погрешностями D /l, которые выражаются дробью с числителем, равным 1. Например, погрешность измерения линии 5 см на 100 м можно записать в относительной мере как 1:2000. Точность измерения углов характеризуется абсолютными погрешностями, точность измерения линий выражается как в абсолютной, так и в относительной мере.

По характеру действия различают погрешности грубые, систематические, случайные.

Грубые погрешности (промахи) – это брак в работе. По модулю они значительно превышают допуски. Устраняют такие погрешности повторными измерениями, заменой неисправных приборов.

Систематические – это односторонние погрешности, проявляющиеся в результатах измерений постоянной величиной и (или) знаком. В сумме измерений такие погрешности быстро накапливаются. Систематическими являются, например, погрешности измерения линий лентой: неточное уложение ленты в створе измеряемой линии, влияние неровности местности, отличие длины ленты от номинала и т.п. Систематические погрешности необходимо устранить из результатов измерений одним из трех способов:

юстировкой ( исправлением ) приборов (например, юстировкой уровня теодолита для получения горизонтальной проекции измеряемого угла);

использованием правильной методики измерений (например, измерением горизонтального угла при двух положениях вертикального круга для исключения влияния коллимационной погрешности трубы теодолита, нивелированием из середины для исключения влияния негоризонтальности визирного луча, кривизны Земли и ослабления влияния рефракции);

введением поправок в результаты измерений (например, опреде-лением места нуля при измерении вертикальных углов теодолитом, поправки за компарирование ленты, постоянной поправки светодальномера и т.д.).

После устранения грубых и систематических погрешностей в результатах измерений остаются случайные погрешности. Они изменяются при повторных измерениях случайным образом, поэтому нельзя заранее предсказать их знак и величину, нельзя полностью устранить их. При достаточно большом числе измерений эти погрешности обладают свойствами, знание которых позволяет оценить качество измерений и вычислить наиболее вероятное значение измеряемой величины. Перечислим их:

· сучайные погрешности по модулю не превышают определенного предела;

· малые по модулю случайные погрешности встречаются чаще крупных;

· появление равных по величине положительных и отрицательных случайных погрешностей равновероятно.

Из последнего свойства следует, что при возрастании числа измерений сумма случайных погрешностей будет близка к нулю и, следовательно, наиболее вероятным значением измеряемой величины будет среднее арифметическое из результатов измерений.

Эти свойства можно показать графиком. На рис. 3.1 по вертикальной оси отложены вероятности появления случайных погрешностей, по гори­зонтальной – величины погрешностей. Кривая графика называется коло­колом Гаусса или кривой нормального распределения.

Оценка точности прямых равноточных измерений

Непосредственное сравнение измеряемой величины с единицей меры называется прямым измерением. Так измеряют линию рулеткой, угол теодолитом. Равноточными называют измерения, выполненные одинаково надежно, т.е. одинаковыми по точности приборами, одинаковыми по квалификации исполнителями, при одинаковых внешних условиях. Степень доверия к результату измерения называется весом. Таким образом, равноточные измерения – это измерения с одинаковым весом, неравноточные – измерения с неравными весами. Обработка неравноточных измерений в данном пособии не рассматривается.

Для оценки точности измерений пользуются двумя показателями: средней квадратической и предельной прогрешностями.

Мерой точности измерений служит дисперсия D(x), т.е. рассеивание результатов. Это квадратичная величина:

при n ® ¥.

Корень квадратный из дисперсии называется стандартом s (сигма), или стандартным отклонением:

.

Стандартное отклонение – это норматив, задаваемый в инструкциях. В практической деятельности число измерений n всегда ограничено. Поэтому для оценки точности отдельного измерения из ряда, содержащего n прямых равноточных измерений, пользуются приближением стандарта – средней квадратической погрешностью m.

В метрологии среднюю квадратическую погрешность называют средним квадратическим отклонением ( СКО ) и вычисляют по формуле Гаусса

, (3.2)

где D определяют по формуле (3.1).

Если истинное значение X измеряемой величины l неизвестно, то вместо него используют среднее арифметическое как наиболее вероятное значение измеряемой величины, а СКО вычисляют по формуле Бесселя

 

, (3.3)

где v – отклонение результата измерения l от среднего арифметического : , (3.4)

. (3.5)

Среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического находят по формуле

. (3.6)

На всех инженерных калькуляторах есть клавиши с надписямиS x, n, для вычисления среднего арифметического по формуле (3.5), клавиша S x2 для нахождения числителя в формулах (3.2) и (3.3), клавиши s n и s n -1 для вычисления СКО по формулам (3.2), (3.3).

Вторым показателем точности измерений служит предельная погреш-ность D пред. Предельную погрешность находят по формуле

Dпред = t×m. (3.7)

68% всех случайных погрешностей не превышают значение средней квадратической погрешности m, 95,5% не превышают 2 m, а 99,7% укладываются в 3 m (рис. 3.1). Поэтому в геодезических измерениях нормированный коэффициент t принимают равным2 или 2,5 или 3 в зависимости от вида и назначения работ. В Строительных нормах и правилах (СНиП), Инструкциях и Наставлениях величина D пред называется допуском. Погрешности, превышающие допуск, считают грубыми и измерения с такими погрешностями бракуют.

Зная допуск, можно по формуле m = Dпред / t предвычислить СКО, подобрать нужные приборы и методику измерений, которые дадут возмож-ность обеспечить заданную точность.

Значение СКО указывается в обозначении марки (шифре) прибора. Например, шифр Т30 означает теодолит, с помощью которого можно измерить угол со средней квадратической погрешностью, не превышающей 30"; шифр Н-5 означает нивелир, с помощью которого можно измерить превышение со средней квадратической погрешностью, не превышающей 5 мм на один километр двойного хода.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-21 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: