Свойства обратной матрицы.

Лекция 4. Понятие обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы. Вывод общей формулы для обратной матрицы.

Квадратная матрица называется обратной по отношению к данной квадратной матрице, если ее умножение как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу. Для матрицы А обратная матрица обозначается . По определению, .

Квадратную матрицу называют особенной (или вырожденной), когда ее определитель равен нулю, и неособенной (или невырожденной), когда ее определитель отличен от нуля.

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от нуля, т.е. чтобы матрица А была неособенной (невырожденной).

Доказательство. Рассмотрим процесс обращения матрицы. Пусть А – неособенная квадратная матрица n-го порядка, определитель которой не равен нулю. Составим матрицу из алгебраических дополнений элементов данной матрицы и затем транспонируем ее. Полученная матрица называется союзной (или присоединенной) по отношению к матрице А и обозначается :

Вычисляя произведения по правилам умножения матриц, получим

Докажем справедливость этих равенств на примере матрицы третьего порядка. Пусть , тогда

Согласно свойствам определителя все элементы произведения, кроме диагональных, равны нулю. Таким образом, . Так как определитель матрицы А не равен нулю, то .

Пример 1. Найти обратную матрицу для матрицы .

1. Вычисляем определитель данной матрицы

Т.к. определитель не равен нулю, то обратная матрица существует.

2. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А.

3. Составляем союзную (присоединенную)матрицу

4. Вычисляем обратную матрицу .

5. Проверка:

Условия существования обратной матрицы.

1. может существовать только тогда, когда А – квадратная матрица.

2. существует только в том случае, когда определитель .

Свойства обратной матрицы.

Если А есть квадратная невырожденная (т.е. её определитель не равен нулю) матрица, то обратная к ней матрица обладает следующими свойствами:

1. Обратная матрица перестановочна с А. Оба произведения дают единичную матрицу .

2. Обратная к А матрица является единственной. , тогда и только тогда, когда .

3. Определитель обратной к А матрицы равен обратной величине определителя матрицы А: .

4. Обратная матрица является невырожденной.

5. Обратной матрицей к будет матрица

6. Матрица, обратная к транспонированной, равна транспонированной обратной матрице:

7. Если матрица симметрическая, то такой же будет обратная матрица.

8. Матрица, обратная к произведению матриц, равна произведению обратных матриц, взятых в обратном порядке при условии, что обратные матрицы существуют. Если существуют , то

Получение обратной матрицы с помощью ее расчленения на подматрицы.

Вычисление обратной матрицы часто может быть упрощено с помощью расчленения ее на четыре подматрицы, причем верхняя левая и нижняя правая подматрицы должны быть квадратными. , где A и D – квадратные подматрицы. Процедура получения обратной матрицы обусловлена тем фактом, что произведение этих матриц должно быть равно единичной матрице . Отсюда по правилу умножения матриц мы имеем:

При условии, что A и D- невырожденные матрицы, из (3) следует . Подставим в (1) получим . Аналогично из (2) и (4): .

. В соответствии с этими формулами в процессе вычислений потребуется найти четыре обратных матрицы.

Если же использовать другое тождество: , то мы получим более удобные для расчета выражения , откуда

Из (6) следует , а из (8) .

Поскольку все восемь уравнений справедливы, то мы можем воспользоваться любыми четырьмя уравнениями, достаточными для нахождения неизвестных матриц.

Первый вариант. Воспользуемся двумя уравнениями из первой четверки – первым и третьим, и двумя уравнениями из второй четверки шестым и восьмым. Соответственно из (1) и (3) получаем выражения для X и Y: , , а из (6) и (8) - и . При проведении расчетов по этим формулам необходимо определить только две обратные матрицы.

Порядок расчета следующий:

Второй вариант. Можно выбрать другую четверку уравнений (2),(4), (5) и (7). Из них мы получим следующие выражения , ,

, . Приведем полный порядок расчета:

При этом невырожденной в первом случае должна быть матрица D, а во втором A.

Выбор процедуры расчета определяется свойствами матрицы М и ее подматриц. В каждом отдельном случае используются те свойства, которые могут в наибольшей степени упростить расчеты. Например, если , то лучше пользоваться первым расчетом, т.к. в нем пользуются матрицами . Эти матрицы довольно легко найти поскольку D – диагональная матрица, а А имеет размеры 2х2.