построение картины плоскопараллельного поля. 1 глава

44 -

уравнение в частных производных (19.54) на два обыкновенных диф­ференциальных уравнения, из которых одно будет составлено отно­сительно М, другое — относительно N. Подставим (19.55) в (19.54), учтя, что

Поэтому

Умножим (19.66) на

Особенностью уравнения (19.57) является то, что первое слагаемое в нем представляет собой функцию только R, а второе слагаемое — функцию только θ. Сумма двух функций, из которых одна зависит только от R, а другая—только от θ, равна нулю для бесчисленного множества пар значений R и' θ [уравнение (19.57) годится для всех точек поля]. Это возможно тогда, когда каждая из данных функций равна нулю:

либо когда

Здесь р есть некоторое число, пока не известное.

Интеграл первого из них:

Найдем интеграл второго уравнения:

Таким образом, задача свелась к интегрированию уравнений (19.57') и (19.57"). Общее решение для φ согласно (19.55) равно произведению решений уравнений (19.57') плюс произведение решений для М и N по уравнениям (19.57"). Найдем решение уравнений (19.57'). Так как в (19.57') М зависит только от R, а N -—только от 9, то от част­ных производных можно перейти к простым (обыкновенным):

Покажем, что А₃ непременно должно равняться нулю, так как только в этом случае в решении отсутствует слагаемое А₃Intg

 

Потенциал есть функция непрерывная и на конечном отрезке он не может измениться на бесконечно большую величину. Из физических соображений ясно, что потенциал точек оси z вблизи шара не может быть равен бесконечности. Между тем, если бы А₃ 0, то в решении

для потенциала присутствовало бы слагаемое А₃ Intg , равное—

Полное решение:

для всех точек, у которых = 0 (tg θ =0; In tg θ = — ).

при 8 = 0 t при 6=0

Таким образом, частное решение для φ, вытекающее из ('19;57'), следующее:

Найдем решение уравнений (19.57"):

или,

 

Применим подстановку Эйлера М == CRⁿ:

Подставим производные в уравнение

Или n²+n-p=0

Определим корни квадратного уравнения:

Значение р определим при интегрировании второго уравнения
(19.57 :.

Следовательно, р = 2.

Решение его можно записать в виде N = В cos θ. Убедимся в этом путем подстановки и одновременно найдем значение р:

После нахождения числа р подставим его в (19.61) и найдем: п₁ = 1 и п_г = —2. Таким образом, совместное решение уравнений (19.57") дает следующее выражение для φ:

В (19.62) присутствуют четыре неизвестных постоянных: C_1, C₂, С₃ и С₄. Значения постоянных зависят от того, какой шар (проводя­щий или диэлектрический) внесен в поле *.

§ 19.40, Проводящий шар в равномерном поле. Для определения

четырех постоянных необходимо учесть не только условие на поверхности шара, но и условия на большом удалении от шара, теоретически

на бесконечно большом удалении от шара, или, как принято говорить,

условия на бесконечности.

Совокупность весьма удаленных от шара точек в условном смысле

рассматривается при этом как бесконечность. Если шар не заряжен,

то все. точки плоскости хоу, проходящей через центр шара, имеют

один и тот же потенциал. Обозначим его φ₀.

При удалении от шара на большое расстояние z = R cos θ, по сравнению с которым радиус шара α весьма мал, возмущающее действие шара на поле либо вовсе не проявится (если суммарный заряд шара будет равен нулю), либо проявится как возмущение от точечного заряда (если шар будет иметь на себе суммарный свободный заряд Q). Потенциал φ на бесконечности определим так:

Первое слагаемое правой части (19.63) дает составляющую потенциала от заряда шара Q, слагаемое E₀R cos θ учитывает прирост потенциала от напряженности равномерного поля Е₀ на пути z = R cos θ. Так как решение (19.62) годится и для точек поля, весьма далеко (бесконечно далеко) удаленных от шара, то можно сопоставить выражения (19.62) и (19.63). 0ни должны давать один и тот же ре­зультат. Это будет только в том случае, когда соответствующие сла­гаемые в обоих выражениях равны. Из сопоставления следует, что

Сопоставление на бесконечности не дает возможности найти вели­чину С₄, так как в (19.63) нет слагаемого, изменяющегося обратно пропорционально второй степени R. Для нахождения С₄ воспользу-

-------------------------------------------

* Задачи теории поля, в которых приходится решать уравнение в частных производных и из большого числа выбирать решения, удовлетворяющие граничным условиям, в математических работах принято называть краевыми задачами.

47

емся в условиях электростатики все точки поверхности шара имеют один и тот же потенциал. Это условие равносильно тому, что тангенциальная составляющая напряженности поля на поверхности шара равна нулю. При R= a

Правая часть будет постоянной с изменением θ только при усло-

вии, что

 

Таким образом, для всех точек диэлектрика

 

 

Если Q=0, то на поверхности шара (при R — а) Е_R = -3E₉ cos θ.

При θ=0 напряженность E_R = - 3 E_9; при == 180° Е_R = 3E_Q, т. е. в этих точках напряженность поля стала в три раза больше напряженности равномерного поля E_Q в которое был внесен шар. На «экваторе» при θ = 90° напряженность, напротив» стала равной нулю. Таким образом, капелька воды, попав в бак трансформатора с масляным заполнением, вызовет значительное местное увеличение напряженности поля.

§ 19.41. Диэлектрический шар в равномерном поле. Если в равномерное поле помещен незаряженный диэлектрический шар, то как внутри шара, так и вне его нет свободных зарядов и потому поле описывается уравнением Лапласа. Полное решение (19.62) пригодно и для данной задачи. Величины, служащие для описания поля внутри шара, обозначим с индексом i, а величины, с помощью которых записывается потенциал во внешней по отношению к шару области,— с индексом е. Таким образом, для внутренней области

Надо найти 8 постоянных интегрирования. Потенциал на бесконеч­
ности в этом случае φ= φ₀ + E₀R cos θ.

для внешней области

48,

Сопоставим последнее выражение с (19.66): C_2е = φ₀ и С_3е = Е₀ .
В § 19.14 было рассмотрено поле точечного заряда. Там было
показано, что потенциал в поле точечного, заряда изменяется обратно пропорционально R. Поэтому C_le/R — есть составляющая потен­циала от суммарного заряда шара, рассматриваемого как точечный заряд. Так как суммарный заряд шара равен нулю, то в выражении для φ_е составляющая должна выпасть, т. е. С_1е = 0.
Следовательно,

Отсюда С4 == —Е0а3.

В выражении (19.66) осталась неизвестной лишь постоянная C_4е.

Так как потенциал зависит только от R и 0, напряженность элек­трического поля имеет только две составляющих (см. § 19.8):

Рассмотрим выражение потенциала φ_i для внутренней области. Оно должно давать конечное значение для всех точек внутри шара. Это возможно только тогда, когда С_1i = 0 и С_4i =0 (если бы C₁i 0, то слагаемое С_1i/R в центре шара при R = 0 давало бы бесконечно большое значение). Постоянная С_2i с точностью до которой опре­деляется потенциал в рассматриваемом поле, равна аналогичной постоянной С_2е = φ₀ для внешней области. Таким образом, для внутренней области

Оставшиеся неизвестными постоянные С_4е и C_3i найдем из гранич-

НЫХ: УСЛОВИЙ. Из равенства потенциалов φ_i и φ_е при R == а (это условие, как нетрудно, убедиться, эквивалентно.условию E_1t=E_2t) следует, что

Из равенства нормальных составляющих вектора D на границе следует, что '

Совместное решение двух последних уравнений дает:

.

Т.е.

 

Потенциал внутренней области:

.Потенциал внутренней области:

.Потенциал внешней области:

 

Напряженность поля внутри шара:

Решая уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат, Получим следующие формулы для определения потенциала внутри

цилиндра (φi) и вне ци­линдра (φе):

Напряженность равномер- ного поля внутри цилиндра, направленная по оси х,

Напряженность Е направлена вдоль оси - z и не зависит от коор­динат точки. Это означает, что поле внутри шара однородное. На рис. 19.23 изображены линии вектора D и эквипотенциальные линии (картина поля) для трех случаев:

а) когда в равномерное (до внесения шара) поле помещен незаряженный проводящий шар (рис.19.23,а);

б) когда в равномерное (до внесения шара) поле помещен диэлектрический шар, ε _i которого больше ε_е окружающей среды (рис. 19.23, б);

в) когда ε _i диэлектрического шара меньше ε_е окружающей среды (рис.19.23,в)

Как известно из § 19. 15, линии вектора D начинаются на свободных зарядах.Эти линии прерываются на поверхности металлического шара (см.рис.19.23,а) и проходят, не прерываясь, через диэлектрический шар (см.рис.19.23,б и в).

Если на рис.19.23,б и в вместо линий вектора D изобразить линии вектора напряженности поля E, то линии E частично претерпевали бы разрыв на поверхности шаров,так как истоком для E являются не только свободные, но и связанные заряды (см.формулу (19.21')

§ 19.43. Диэлектрический цилиндр в равномерном поле. Аналогично формулам § 19.41 выводятся формулы, позволяющие определить потенциал и напряженность равномерного поля, возмущенного внесением в него диэлектрического цилиндра (ось цилиндра перпендикулярна E₀).

Пусть напряженность E₀ равномерного (до внесения цилиндра) поля направлена параллельно оси х декартовой системы (рис.19.24,а). Поместим в это поле диэлектрический цилиндр так, чтобы ось цилиндра совпала с осью z.

 

 

В заключение отметим,

что если в равномерное поле

напряженностью Е₀ внести

проводящий цилиндр радиу-

сом а, расположив его так, что продольная ось его будет перпендикулярна Е, то потенциал в области вне цилиндра

§ 19.43. Понятие о плоскопараллельном, плоскомеридианном и равномерном полях. В литературе можно встретить термины «пло­скопараллельное поле», «плоскомеридианное поле» и «равномерное

поле» *.

Под плоскопараллельным полем понимают поле, картина которого (т. е. совокупность силовых и эквипотенциальных линий) повторя­ется во всех плоскостях, перпендикулярных какой-либо одной оси декартовой системы координат, т. е. в плоскопараллельном поле кар­отина поля не зависит от какой-либо одной координаты декартовой системы.

В качестве примера плоскопараллельного поля можно назвать поле двухпроводной линии (двух параллельных проводов). Если ось z декартовой системы направить вдоль оси одного из проводов, то потен­циал φ не будет зависеть от координаты z.

* Физики и математики в термин «поле» вкладывают свое («профессиональное») содержание. Когда говорят о поле в физическом смысле (электромагнитном, грави­тационном, тепловом, поле ядерных сил), то под ним понимают вид материи. Когда о поле говорится в математическом смысле, то имеется в виду поле величины, кото­рой оно описывается. С чисто математической точки зрения поля могут быть век­торные и скалярные, вихревые и безвихревые, плоскопараллельные, плоскомериди­анные и др.

(51)

Под плоскомеридианным полем понимают поле, картина которого повторяется во всех меридианных плоскостях, т.е. картина поля не зависит от координаты а цилиндрической или сферической системы координат. В литературе встречается еще определение плоскомери-дианного поля как поля, образованного телами вращения с общей осью.

В качестве примера плоскомеридианного поля можно назвать поле образованное внесением металлического шара в равномерное до вне­сения шара поле (см. рис. 19.23), или поле диполя, о котором идет речь в примере 197. В обоих случаях потенциал зависит только от ра­диуса R и угла θ сферической системы координат, но не зависит от угла α.

Частным случаем плоскомеридианного поля является поле, в кото­ром потенциал зависит только от какой-либо одной координаты сфе­рической или цилиндрической системы координат.

В равномерном поле напряжённость одинакова во всех точках поля^; т. е. величина ее не зависит от координат точки.

Равномерное поле Образуется, например, между обкладками плоского конденсатора, если в пространстве между ними отсутствуют сво­бодные заряды и если пренебречь искажающим влиянием краев кон­
денсатора.

Следует иметь в виду, что большинство встречающихся на прак­тике полей не обладает ни одним из перечисленных видов симметрии и потому не может быть отнесено ни к плоскопараллельному, ни к пло­скомеридианному, ни к равномерному полям.

§ 19.44. Графическое

построение картины плоскопараллельного поля.

Аналитический расчет полей часто вызывает затруднения, например, кргда поверхности электродов имеют сложную форму.

В этом случае картину поля строят графически. С этой целью сначала выяс­няют, не обладает ли изучае­мое поле симметрией. Если она имеется, то картину поля строят только для одной из областей симметрии. Так, картина поля, образованного двумя проводящими взаимно

перпендикулярными относительно тонкими пластинками (электрода­ми), построена на рис. 19.25, а только для верхней полуплоскости (в нижней полуплоскости картина повторяется).

Для того чтобы слагаемые в скобке по величине были одинаковы, при построе-

нии должно быть выдержано соотношение

При построении руководствуются следующими правилами. 1. Силовые линии должны подходить к поверхностям электродов перпен­дикулярно. 2. Силовые и эквипотенциальные линии должны быть взаимно перпендикулярны и образовывать подобные ячейки поля (криволинейные прямоугольники), для.которых отношение средней длины
ячейки а к средней ширине этой ячейки b для всех ячеек должно быть приблизительно одинаковым, т. е. a ₁lb₁ = a₂/b₂ =....

Если число ячеек в силовой трубке обозначить п, а число тру­бок т (в примере п = 8, т = 2 х 10), то при соблюдении пере­численных правил разность потенциалов между соседними эквипотенциалями будет одинакова и равна = U/n, где U — напря­жение между электродами, а поток вектора D в каждой силовой трубке будет такой же, что и в соседней. Обозначим длину электро­дов в направлении, перпендикулярном рисунку, через l. Тогда

Отсюда

Напряжение между электродами U == E₁a₁ + Е₂а₂+... + Е_nа_n. Под­ставим в последнее выражение значения напряженностей поля Е₁ Е_п и учтем, что по построению a_1/b₁ = a₂/b₂ = a_n/b_n = a/b. Получим

Л -

Поток в одной силовой трубке

Емкость между электродами C=

§ 19.45. Графическое построение картины плоскомеридианного поля. В пло
скомеридианном поле силовые линии также должны подходить к поверхностям электродов под прямым углом, а силовые и эквипотенциальные линии должны быть взаимно перпендикулярны. Однако в отличие от плоскопараллельного поля в образующйхся при построении ячейках поля в меридианной плоскости отношение а_k к b_k не одинаково для всех ячеек, а зависит от расстояния центра этой ячейки до оси вращения.На рис. 19.25, б изображена часть картины поля между двумя шарами. Каждая силовая линия при вращении вокруг общей оси образует поверхность враще­ния, а каждая силовая трубка занимает пространство между смежными поверхностями вращения.

Обозначим а _k –длина ячейки вдоль силовой.трубки; b_k —ширина ячейки;
n-число ячеек.вдоль силовой трубки; т — число силовых трубок. Запишем условие
равенства потока вектора D через ячейки силовой трубки = 2πr₁b₁ε _aE₁ =

2πr₂b₂ε _aE_2=..'Напряжение между электродами

т.е. с увеличением

 

 

расстояния центра ячейки от оси вращения отношение_аk/bk должно возрастать. Если это соотношение выдержано, то

расстояния центра ячейки от оси вращения отношение_аk/bk должно возрастать. Если это соотношение выдержано, то

§ 19.46. Объемная плотность энергии электрического поля и выражение меха­нической силы в виде производной от энергии электрического поля по изменяющейся координате. Положим, что в некоторый момент времени напряжение на конден­саторе равно и. При увеличении напряжения на конденсаторе на величину du за­ряд на одной из пластин конденсатора увеличится на величину dQ, а на другой -на величину —dQ: dQ = Cdu, -где С— емкость конденсатора.'

Для переноса заряда dQ источник энергии должен совершить работу, равную udQ=Cudu, которая затрачивается на создание электрического поля в конден­саторе.

Энергия, доставленная легочником при заряде конденсатора от, напряжения и =0 до напряжения и = U и перешедшая в энергию электрическогополя конден­сатора,

Рассмотрим вопрос об объемной плотности энергии электрического поля. С этой адлью возьмем плоский конденсатор и положим, что расстояние между пластинами его равно х, а площадь каждой пластины с одной стороны равна S. Диэлектрическая проницаемость среды между пластинами ε_а. Напряжение между пластинами U. Пренебрежем искажающим влиянием краев конденсатора на поле [между пласти­нами. При этом условии поле моясно считать равномерным. Напряженность элек­трического поля по модулю Е = U/x.

Вектор электрической индукции по модулю D =ε_аЕ = Q/S. Емкость плоского

конденсатора С = Для нахождения объемной плотности энергии электрического поля разделим энергию W = ⁼ на объем V = Sх, «занятый полем». Получим

Таким образом, объемная плотность энергии электрического поля равна ,

Если поле неравномерно, то напряженность будет изменяться при переходе от одной точки поля к соседней, но объемная плотность энергии поля будет по-прежнему равна

так как в пределах бесконечно малого объема поле можно считать равномер­ным. Выделим в поле элементарный объем dV. Энергия в этом объеме равна dV.

Энергия, заключенная в объеме V любых размеров, равна

 

В электрическом поле между заряженными телами действуют механические силы и их можно выразить в, виде производной от энергии поля по изменяющейся координате. На рис, 19.24, б изображен плоский конденсатор, который присоединен к источнику напряжения U. В Соответствии с предыдущим расстояние между пла­стинами назовем х, а площадь пластины — S. На каждую пластину конденсатора действует сила F. Под действием этих сил пластины конденсатора стремятся сбли­зиться. Сила, действующая на нижнюю пластину, направлена вверх, на верхнюю пластину — вниз.

Положим, что под действием силы F нижняя пластина медленно, теоретически бесконечно медленно, переместилась вверх на расстояние dx и приняла положе­ние, показанное пунктиром на рис. 19.24, б. Составим уравнение для баланса энергии при таком перемещении пластины. На основании закона сохранения энергии достав­ленная источником питания энергия dW_и должна равняться сумме трех слагаемых: 1) работе силы F на расстоянии dx: Fdx= Fdx; 2) изменению энергии электриче­ского поля конденсатора dW₃; 3) тепловым потерям от тока , который протекает по проводам с сопротивлением R в течение времени от 0 до : dW_и = Fdx + dW + Rι²dt