Отношение среднего значения магнитной индукции по сечению листа Вср к напряженности поля на поверхности листа На называют комплексной магнитной проницаемостью:
Она зависит от величины μ, частоты ω и толщины листа. При больших значениях аргумента 2ka sh 2ka 
ch 2ka, значения этих функций намного больше 1. Поэтому при больших значениях 2ka
и комплексная магнитная проницаемость μа = μа/ра
Напряженность поля в средней плоскости листа (при z = 0) Нz=0 = На/ chρа.
Отношение напряженности поля на краю листа (при z = d) к напряженности поля в средней плоскости листа:
Левая и правая части формулы (23.28) являются комплексами. Модуль ch pa показывает, во сколько раз модуль На больше модуля Нz=0. Найдем модуль ch pa.. С этой целью запишем два сопряженных комплекса: ch (ka + jka) = ch ka cos ka + j sin ka sin ka и ch (ka — jka)= ch ka cos ka — jsh ka sin ka
Произведение сопряженных комплексов дает квадрат модуля, Следовательно,
Таким образом, напряженность поля в средней плоскости листа может быть много меньше напряженности поля на краю листа., Явление неравномерного распределения поля по сечению проводящего тела, вызванное затуханием электромагнитной волны при ее распространении в проводящую среду, называют поверхностным эф-
фектом. Если вдоль листа направлен магнитный поток, то поверх- ностный эффект часто называют магнитным, если вдоль плоской шины направлен переменный ток, то поверхностный эффект часто называют электрическим поверхностным эффектом. Природа их одна и та же, а слова «магнитный» или «электрический» свидетельствуют лишь о тома, что направлено вдоль листа (шины): поток или ток.
На рис. 23.5, б построены две кривые. Кривая Н (z) характеризует изменение модуля напряженности магнитного поля в функции от z.
В средней плоскости листа Н до нуля не снижается, так как ch 0 
0. Кривая Н строится по уравнению (23.22). Кривая Е (z) характеризует изменение модуля напряженности электрического поля в функции от z. Эта кривая строится по (23.23); sh р 
z.0 = 0 и потому кривая проходит через нуль при z= 0. Кривая плотности вихревых токов 
= γЕ качественно повторяет кривую Е от z (разница только в масштабе).
§ 23.6. Электрический поверхностный эффект в плоской шине. Эффект близости. При электрическом поверхностном эффекте — рис. 23.6, а — вдоль пластины (шины) направлен синусоидальный ток.
Зависимость модуля H (z) в этом случае такая же, как и зависимость Е (z) на рис. 23.5, б, а зависимость Е (z) такая же, как и зависимость Н (z) на этом же рисунке.
Если по двум параллельным близко расположенным плоским шинам (см. рис. 23.6, б) будет протекать в противоположных направлениях синусоидально изменяющийся во времени ток I частоты ω, а размеры 2а 
h и 2b h, то, поместив начало декартовой системы координат в средней плоскости левой шины и учтя, что слева от левой шины напряженность поля Н = 0, а в пространстве между шинами
142
Эпюра модулей H и Е в функции от координаты z показана на рис. 23. 6, б. Поле одной шины влияет на распределение поля в другой шине. Это явление называют эффектом близости. Комплексное сопротивление единицы длины двух плоских шин, расположенных в воздухе, равно двум комплексным сопротивлениям самих шин плюс индуктивное сопротивление, обусловленное магнитным потоком, проходящим в пространстве между шинами,
§ 23.7. Неравномерное распределение тока в прямоугольной шине, находящейся в паазу электрической машины. Расположим оси декартовой системы в соответствии
| b-ширина, h-высота паза.Магнитная проницаемость шины проницаемость шины μа.Магнитную проницаемость ферромагнитного материала, в котором сделан паз, полагаем очень большой, теоретически стремящейся к бесконечности. При этом допущении индукция в ферромагнитном материале будет конечна, а напряженность поля в нем будет стремиться к нулю. В шине H направлена по оси у, Е — по оси х. Вектор Пойнтинга направлен по оси z. Электромагнитная волна проникает из диэлектрика в шину через наружную поверхность mnsq и по мере проникновения в шину затухает по амплитуде. Б По зако.ну полного тока при 2 = О Н— lib, при г= h H = 0. Для определения постоянных интегрирований Сх и Сг в выражении
|
с рис. 23.7. а. Обозначим: I—ток по шине;
Графики модулей Н и Е по высоте шины изображены на рис.23.7,б и в.
§ 23.8. Поверхностный эффект в цилиндрическом проводе. По цилиндрическому проводу радиусом а протекает синусоидальный ток I частотой ω, Требуется вывести формулы для определения плотности тока и напряженности Н в любой точке сечения провода. Полагаем обратный провод настолько далеко удаленным от прямого, что влияние обратного провода на поле в прямом проводе можно не учитывать. Решение проведем в цилиндрической системе координат (рис. 23.8).
Плотность тока направлена по оси z, поэтому = z0 
. Воспользуемся
уравнениями (23.1) и (23.2), предварительно умножив последнее на γ Получим
В установившемся режиме div 
= 0. Поэтому 
2 = jωγμа 
; Раскроем 2 в цилиндрической системе координат [см, формулу (19.30)] и учтем, что от α и от z не зависит. Получим
Уравнение (23.33) является частным случаем уравнения Бесселя (15.4) при р — 0. Роль х играет qr, а роль у —
Как известно из курса математики, решение уравнения (23.33) можно записать следующим образом:
где А и В — постоянные, интегрирования; J0 (qr)— функция Бесселя нулевого порядка первого рода; N0 (qr) — функция Бесселля нулевого порядка второго рода.
Функция N0 (qr) обладает той особенностью, что при qr — 0,(т. е. на оси провода при r = 0) она обращается в бесконечность. Но из физических соображений ясно, что плотность тока должна быть всюду конечна, в том числе и на оси провода. Поэтому слагаемое BN0 (qr) в решении отбрасываем (принимаем В = 0). Следовательно,
где J1 (qr)— функция Бесселя первого рода первого порядка. Определим постоянную интегрирования А. С этой целью по закону полного тока найдем Н на поверхности провода (при =а) и приравняем его значению Н, которое получается из формулы(23.36):
C помощью этих формул можно определить комплекс плотности тока 
и комплекс напряженности поля Н в любой точке сечения провода. Радиус г может принимать значения от 0 до а. Для точки на оси r = 0; для точек на поверхности r = а. Так как J (0) = 1,(см.табл.23.1) то плотность тока на оси провода:
| Таблица 23.1 | ||||
| Таблица модулей и аргументов функций (qr) и | J1(qr) | |||
rJ  а
| b0 | β0 b1 | Β1 | |
| 1,015 1,229 1,95 3,439 6,231 11,501 21,548 40,82 77,96. 149,8 | 14,22 52,28. 96,52 138,19 178,93 219,62 260,29 300,92 341,52 382,10 | 0,501 1,041 1,80 3,173 5,812 10,850 20,50 39,07 74,97 144,58 | —45,00 —37,84 — 16,73 + 15,71 53,90 93,55 133,45 173,51 213,69 253,95 294,27 |
Пример 222. По стальному проводу [γ = 107 (Ом • м)-1; μ= 103] диаметром 6,04 мм течет синусоидальный ток I = 100 А частотой 50 Гц. Определить плотность тока на поверхности и на оси провода.
Решение.
§ 23.9. Применение теоремы Умова — Пойнтинга для определения активного и внутреннего индуктивного сопротивления проводников при переменном токе. Активное и внутреннее индуктивное сопротивления проводников при переменном токе часто определяют с помощью теоремы Умова — Пойнтинга в комплексной форме. С этой целью подсчитывают поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность проводника на длине в 1 м и делят его на квадрат тока, протекающего по проводнику; получают комплексное сопротивление проводника на единицу длины.
§ 23.10. Экранирование в переменном электромагнитном поле.
Явление затухания электромагнитной волны в поверхностном слое металла используют для экранировки в переменном электромагнитном поле.
Электромагнитные экраны представляют собой полые цилиндрические, сферические или прямоугольные оболочки, внутрь которых помещают экранируемое устройство (например, катушку индуктивности, измерительный прибор и т. п.).
Экран выполняет две функции: 1) защищает устройство, заключенное в экран, от влияния внешнего по отношению к экрану электромагнитного поля; 2) защищает внешнее по отношению к экрану пространство от электромагнитного поля, создаваемого устройством заключенным в экране.
Поскольку на расстоянии, равном длине волны, электромагнитная волна в металле почти полностью затухает, то для хорошей экранировки толщина стенки экрана должна быть примерно равна длине волны в металле. Практически приходится учитывать и другие факторы (механическую прочность экрана, его стоимость и т. д.).
§ 23.11. Сопоставление принципов экранирования в электростатическом, магнитном и электромагнитном полях. Экранирование в переменном электромагнитном поле основано, главным образом, на том, что электромагнитная волна, проникающая в стенки экрана, быстро затухает, расходуя энергию на покрытие потерь, обусловленных вихревыми токами в стенках экрана.
Электростатическое экранирование основано на компенсации внешнего поля полем зарядов, выявившихся на стенках экрана из проводящего материала вследствие электростатической индукции (см. § 19.21).
Толщина стенок экрана при электростатическом экранировании в отличие от экранирования в магнитном и электромагнитном полях может быть сколь угодно малой. Экранирование в магнитном поле постоянного тока (см. § 21.21) основано, грубо говоря, на том, что силовые линии магнитного поля ре имущественно проходят по участкам с меньшим магнитным сопротивлением (по стенкам экрана).
23.12. Высокочастотный нагрев металлических деталей и не-
совершенных диэлектриков. Нагрев металлических деталей перед
ковкой и штамповкой, сушку древесины, наплавку и реставрацию ин-
струментов часто производят путем помещения этих предметов (деталей) электромагнитное поле сравнительно невысокой частоты (1—20 кГц).
Стальные изделия (например, валы, шестерёнки) нередко подвергают
поверхностной закалке, помещая их в электромагнитное поле более
высокой частоты (порядка 10—500 кГц). В соответствии с.§ 22.7 энергия выделяющаяся в виде тепла в проводящем теле, равна
Электромагнитная волна, проникая в толщу металла, быстро затухает. Поэтому теплота выделяется практически лишь в относительно тонком поверхностном слое стального изделия.Под действием теплоты, выделившейся в поверхностном слое, последний быстро разогревается до температуры, необходимой для поверхностной закалки. Область еще более высоких частот (1—30 МГц) используется для высокочастотного нагрев пластмасс перед штамповкой, для термической обработки пищевых продуктов, вулканизации резины и для других целей.
Вопросы для самопроверки
1. От каких факторов зависит постоянная распространения р = k + jk и волновое сопротивление ZB? 2. Чем физически объясняется затухание волны по мере ее проникновения в проводящую среду? 3. Нем следует руководствоваться при проектировании электромагнитного экрана? 4. Какой процесс отображает фазовая скорость?
5. 
В чем отличие между электрическим и магнитным, поверхностным эффектами?
6. 
В чем состоит эффект близости? 7. Составьте условие, при котором плотность тока |на поверхности цилиндрического провода находится в противофазе с плотностью тока на оси провода. 8. Как применить теорему Умова—Пойнтинга для определения комплексного сопротивления провода? 9. Почему сердечник высокочастотного трансформатора выполняют из феррита, а'низкочастотного — из листовогоs материала? 10. Решите задачи 22.12; 22.20; 22.24; 22.28.
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ОДНОРОДНОМ И ИЗОТРОПНОМ ДИЭЛЕКТРИКАХ И В ПОЛУПРОВОДЯЩИХ И ГИРОТРОПНЫХ СРЕДАХ
§ 24.1. Распространение электромагнитных волн в однородном и изотропном диэлектрике. Проводимость у идеального диэлектрика равна нулю. Поэтому в первом уравнении Максвелла (22.1) первое слагаемое правой части ( = уЕ) выпадает, и уравнения Максвелла для диэлектрика получают следующий вид:
Для однородных и изотропных диэлектриков μа = const и условие div μа H= 0 равносильно условию div H = 0. Решим совместно уравнения (24.1) и (24.2). С этой целью возьмем ротор от уравнения (24.1). Получим rot H = grad div H — 2 H =jωεа rotЕ
Так как div H = 0, то и grad div H = 0. В свою очередь rot E на основании второго уравнения Максвелла равен — jωεа Н: Поэтому
т.е. εаμа имеет размерность, обратную размерности квадрата скорости, и потому можно принять εаμа = 1/v2. После введения такого обозначения уравнение (24.3') получает следующий вид:
Для плоской электромагнитной волны, распространяющейся в направлении оси z в соответствии с предыдущим, можно принять, что напряженность магнитного поля направлена вдоль оси у т.е.
Слагаемое С1е _ i 
z - падающую волну, продвигающуюся в положительном направлении оси z, а слагаемое С1е _ i z - отраженную волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси z.
Напряженность электрического поля Е найдем по уравнению (24.1)
Присутствие единичного орта оси х (орта i) в формуле (24.7) свидетельствует о том, что вектор напряженности электрического поля направлен по оси х.
Таким образом, в плоской электромагнитной волне, распространяющейся в диэлектрике, как и для проводящей среды, Е и H взаимно
перпендикулярны: H направлено по оси у, Е — по оси х.
Запишем выражения для мгновенных значений H и Е падающей волны. Чтобы получить мгновенное значение падающей волны 
, не-
обходимо комплекс H = С2е i𝜓n е i z умножить на е iωt и от произведения взять мнимую часть. В результате получим
H = С2 sin (ωt + 𝜓n- - 
z); (24.8)
По мере продвижения падающей волны вдоль оси z амплитуды Е и Н остаются неизменными, т.е. затухания волны не происходит, так как в диэлектрике нет токов проводимости и выделения энергии в виде теплоты. Нарис. 24.1 изображены пространственные кривые, представляющие собой графики мгновенных значений H и Е. Эти графики построены по уравнениям (24.8) и (24.9) для момента времени ωt + 𝜓n= 0.
Для более позднего момента времени, например для (ωt + 𝜓n = 90°, аналогичные кривые изображены на рис. 24.2.
Как видно из рис. 24.1 и 24.2, вектор Е при его изменении остается направленным в плоской волне вдоль оси х, а вектор H — вдоль оси у, сдвига по фазе между H и Е нет.
Проверим правильность построения графика Е = f (z) на рис. 24.1. Кривые на рис. 24.1 построены при ωt + 𝜓n = 0, поэтому уравнением кривой Е — f (z) является выражение [в соответствии с (24.9)
т. е вектор Пойнтинга имеет постоянную составляющую С 
Z/2 и переменную, изменяющуюся во времени с двойной угловой частотой.
Фазовая скорость электромагнитной волны в диэлектрике:
Если волна распространяется в вакууме, то εа = ε0 и μа = μ0, и тогда фазовая скорость равна скорости света:
Таким образом, фазовая скорость электромагнитной волны
в диэлектрике очень велика, и она несоизмеримо больше фазо-
вой скорости плоской электромагнитной волны в проводящей
среде.
Длина волны λ есть расстояние вдоль оси z, на котором фаза колебания изменится на 2π.Ее находят из соотношения ω/v= 2π.
Отсюда λ=v/f.(24.11)
§ 24.2. Плоские волны в однородных и изотропных полупроводящих средах.
Кратко рассмотрим вопрос о распространении плоской электромагнитной волны в однородных и изотропных полупроводящих средах (морской воде, почве, ионосфере, ферритах). При достаточно высоких частотах токи проводимости и токи смещения
в полупроводящих средах оказываются соизмеримыми. Уравнения rot H= (γ +
Сдвиг по фазе между 
П и Нn находится в интервале от 0 до 45° в зависимостиот соотношения между 1 и ε/εa.Заметим, что параметры ε, γ и μ полупроводящих сред являются функцией частоты и комплексными числами (ср. с § 22.8). Эти зависимости должны быть известны перед проведением расчета. Для ферритов решение приближенно, так как μ ферритов зависит еще и от величины напряженности магнитного поля.Среды с потерями, для которых фазовая скорость и коэффициент затухания зависят от частоты, называют диспергирующими.
В заключение коснемся понятия групповой скорости. Оно используется главным образом при рассмотрении вопроса о распространении радиосигналов в среде с потерями. Так как радиосигнал образован совокупностью волн; имеющих разные частоты, а β и v1зависят от ω, то огибающая импульса при его движении в среде с потерями непрерывно деформируется. Групповой скоростью называют скорость перекрещения' максимума огибающей сигнала (импульса), так как скорость перемещения этого максимума характеризует скорость перемещения энергии группы воли. Выведем приближенную формулу для групповой скорости распространения волны Положим, что вдоль оси z распространяются два коле-
§ 24.3. Граничные условия на поверхности раздела двух полупроводящих сред
Граничные условия на поверхности раздела двух полупроводящих сред обобщают граничные условия на границе раздела-двух идеальных диэлектриков (см. § 19.24) и граничные условия на границе раздела двух проводящих сред (см. § 20.6).
|
|
Запишем граничные условия для синусоидально] изменяющегося поля (потому над Е ставим точку), частным случаем которого является поле, неизменное во времени. Формула (19.24), совпадающая с формулой (20.10), справедлива и для полупроводящей среды; только, учитывая синусоидальный характер поля во времени, ставим точки над E t,
§ 24.4. Переходные и релаксационные процессы в несовершенных диэлектриках. Процессы в полупроводящих средах должны удовлетворять уравнению непрерывности:.
Уравнение (24.18') является дифференциальным уравнением относительно сводного объемного заряда. Оно описывает переходные и установившиеся процессы в самой полу проводящей среде (не идеальном диэлектрике).
В установившемся режиме pCBo6= grad (εа /γ). Если среда однородна (εа /γ = const), то в установившемся режиме свободный объемный заряд не накапливается, т. е. Рсвоб = 0. Переходные процессы в однородной полупроводящей среде описываются уравнением-∂ /∂t + γ/εа 
Р своб = 0. Если к началу переходного процесса при t = 0 рСвоб.= Рсвоб (0-), то объемный заряд в этой точке поля рассасывается
по экспоненте р = pсвоб (0-_) e –γ/εа •t
Время уменьшения рсвоб ве= 2,72 раза называют временем релаксации. В несовершенной изоляции время релаксации может составлять от нескольких единиц нескольких десятков секунд. Если конденсатор с несовершенной изоляцией, находящийся под напряжением, отключить от источника напряжения, затем на некоторое время замкнуть проводником накоротко и этот проводник убрать, то на зажимах отключенного от сети конденсатора вновь появится напряжение за счет рассасывания объемного заряда. В металлах время релаксации составляет около 10-Ч с, рассасывание объемного заряда происходит практически мгновенно.
§ 24.5. О расчете полей в несовершенных диэлектриках и вязких хах при установившемся синусоидальном режиме. В соответствии 24.3 в синусоидально изменяющемся поле проводимость является комплексным числом γ =у + jωεа. Изменяющийся во времени ток, протекающий по несовершенному диэлектрику, создает в нем изменяющееся во времени магнитное поле, Однако если последнее слабо, то его влиянием на электрическое поле ервом приближении можно пренебречь и рассчитывать электрическое поле в полупроводящих средах по формулам для статических ей в проводящих средах, вводя в соответствующие формулы комплексную у вместо вещественной у. А.так.как формулы для расчета электрических полей в проводящих средах в условиях статики следуют формул для расчета соответствующих электростатических задач..§ 19.32—19.36, 19.39, 19.40 и др.), то надлежит использовать формулы электростатики, заменяя в них ε на у
Аналогичный подход применяют при расчетах квазистатических электрических полей в вязких диэлектриках, вводя комплексное εа, и при расчетах квазистатических магнитных полей в магнитно вязких материалах при отсутствии вихревых токов (в ферритах), вводя комплексное μа.
§ 24.6. Определение гиротропной среды. Гиротропными (вращающими) называют среды, в которых плоскость поляризации электромагнитной волны поворачивается по мере распространения волны вдоль некоторого направления.
В гиротропной среде μ или ε для малых переменных составляющих является тензором. Цаиболее распространенными.на практике магнитными гиротропными (гиромагнитными) средами, являются намагниченные постоянным магнитным полем
ферриты (у них тензором является μ.а) и намагниченные постоянным магнитным полем ионизованные газы — гиррэлектричёские среды (у них тензор —- εа). Далее в качестве гиротропной среды,будет использоваться феррит.
§24.7. Тензор магнитной проницаемости феррита. Сначала вспомним, что, на
зывают прецессией.
Из.механики известна, что скорость изменения момента количества движения (dM)l(df), вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью ω волчка (гироскопа), равна приложенному к нему вращающему моменту (рис. 24.3, а):
= 
"(24.19)
Здесь r—расстояние волчка от вертикальной оси z; F — сила тяжести.
Радиус R вращающегося волчка описывает боковую поверхность конуса. Такое движение называют прецессией.