Функциональные и степенные ряды




РЯДЫ

Цель работы: ознакомиться с возможностями MatLab при решении задач по разложению функций в ряд и определению суммы членов ряда.

Теоретические сведения

Числовые ряды

Числовой ряд – это последовательность чисел:

Элементы последовательности – члены ряда.

n -ая частичная сумма ряда – сумма первых членов ряда:

.

Если последовательность конечных сумм ряда имеет конечный предел, то ряд сходится.

Если предел последовательности частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится.

Для вычисления суммы ряда в MatLab используется функция: symsum(fun[,var,a,b]).

где fun – символьное выражение, обозначающее общий член суммы ряда, зависящий от переменной var, изменяющейся от a до b.

Пример. – обобщенный гармонический ряд, сходящийся при и расходящийся при .

 

>>f=sym('1/n^2');

>>symsum(f,'n',1,inf)

ans=

1/6*pi^2 – ряд сходится.

 

>>f=sym('1/n');

>>symsum(f,'n',1,inf)

ans=

Inf – ряд расходится.

 

Иногда для исследования сходимости одного положительного ряда его сравнивают с другим , о котором уже известно сходится он или расходится.

Если , то из сходимости следует сходимость и наоборот: из расходимости следует расходимость . Для сравнения гармонического ряда с заданным строят график, по которому определяют он больше или меньше заданного.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Сравним заданный ряд с гармоническим .

На графике показано, что гармонический ряд больше.

Гармонический ряд расходится, следовательно, расходится и заданный ряд.

 

>> f=sym('cos(n)/n');

>> symsum(f,'n',1,inf)

ans =

sum(cos(n)/n,n = 1.. inf)

 

>> f=sym('1/n');

>> symsum(f,'n',1,inf)

ans =

inf

Сходимость по Даламберу

Если в положительном ряде отношение (последующего члена к предыдущему) при имеет предел , то возможны три случая):

Пример. Исследовать ряд на сходимость: .

>> f=sym('n^2*sin(1/(2^n))');

>> symsum(f,'n',1,inf)

ans =

sum(n^2*sin(1/(2^n)),n = 1.. inf)

 

>> U1=sym('n^2*sin(1/(2^n))');

>> U2=sym('(n+1)^2*sin(1/2^(n+1))');

>> limit(U2/U1,'n',inf)

ans =

1/2

 

После соответствующих вычислений q =1/2<1, из чего вытекает, что ряд сходится.

Функция limit(fun,x,inf) возвращает предел символьного выражения fun в точке x, стремящейся к бесконечности.

Интегральный признак Коши

Если каждый член положительного ряда меньше предшествующего, то рассматривают несобственный интеграл:

,

где – непрерывная убывающая функция, принимающая при значения .

Ряд сходится или расходится, в зависимости от того, сходится или расходится несобственный интеграл.

Пример. Исследовать ряд на сходимость: .

>> f=sym('1/n*ln((n+1)/n)');

>> symsum(f,'n',1,inf)

ans =

sum(1/n*log((n+1)/n),n = 1.. inf) – неопределенность

 

>> I=int(f,'n',1,inf)

I =

1/12*pi^2

 

>> vpa(I,4)

ans =

0,8226

 

Несобственный интеграл сходится, так как имеет конечный предел, значит, сходится и ряд.

Функция int(f,'n',1,inf) используется для символьного вычисления неопределенных интегралов, где f – подынтегральное выражение, n – переменная интегрирования.

Функция vpa(I,4) – численное решение (оценка с точностью до 4-х знаков).

Функциональные и степенные ряды

Функциональный ряд – ряд, члены которого являются функциями независимой переменной х.

Степенной ряд – функциональный ряд

Радиус сходимости степенного ряда называют такое число R, при котором для всех x, степенной ряд сходится, а для всех x, – расходится.

Интервал сходимости – интервал от - R до R.

Пример. Вычислить интервал сходимости ряда .

По определению, при сходимости степенного ряда . Исследуем ряд, состоящий из абсолютных членов исходного, при помощи признака Даламбера. Если удастся найти предел отношения последующего члена к предыдущему, то в отличие от числового ряда, он будет содержать множитель или некоторую его степень. Для тех значений, при которых предел будет меньше единицы, ряд сходится, а для тех, при которых больше – расходится. Если найденный предел для любого , то ряд сходится при всех х. Если при всех предел окажется равным бесконечности, то ряд будет всюду расходиться.

 

>> syms n x

>> U1=sym('2^n*x^n/3^n/n');

>> U2=sym('2^(n+1)*x^(n+1)/3^(n+1)/(n+1)');

>> s=simplify(U2/U1)

% функция simplify применяется для того, чтобы упростить выражение (U2/U1)

s =

2/3*x/(n+1)*n

 

% нахождение предела s

>> limit(s,'n',inf)

ans =

2/3*x

 

>> limit(-s,'n',inf)

ans =

-2/3*x

 

>> t=solve(abs (2/3* x-1),x)

t =

3/2

 

% при t = 3/2 ряд расходится

>> symsum(subs(U1,x,t),'n',1,inf)

ans =

inf

 

% при t = -3/2 ряд сходится

>> symsum(subs(U1,x,-t),'n',1,inf)

ans =

-log(2)

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: